精品解析：宁夏回族自治区吴忠市青铜峡五中、铝业、陕口联盟校2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题

2023-2024学年宁夏吴忠市青铜峡五中、铝业、陕口联盟校九年级（上）期末数学模拟试卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分．在题目所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列对二次函数的图象的描述，正确的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 在对称轴左侧y随x的增大而增大 D. 顶点 2. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是（　　） A. 24 B. 18 C. 16 D. 6 3. 如图，桌面上放置四张扑克牌（背面完全一样），将数字一面向下扣在桌面上，小明和小李做如下游戏．小明和小李依次随机从中抽出一张，将得到的数字相加．若和为偶数，则小明获胜；若和为奇数，则小李获胜．小明获胜的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 某校有一位同学感染了流感，经过两次感染后，全校共有144人染上了流感．设每一次感染中，平均一个人传染给了x人，列方程为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为 （ ） A. 5米 B. 8米 C. 7米 D. 米 6. 如图，将绕顶点A逆时针旋转一定角度得到，使点D落在边上，此时恰好，已知，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 点是外心，若，则的度数为（　　） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知二次函数的图象过点，若点，也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 一个不透明的袋中装有3个红球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出2球，则“摸出的球至少有1个黑球”是______事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 10. 在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是_____． 11. 一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黑球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从剩下的球中随机摸出一个球，则两次摸到相同颜色的球的概率为______ 12. 若关于x的一元二次方程的一根，另一根，则抛物线的顶点到x轴距离的最小值是___________________． 13. 圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面积为________． 14. 抛物线，经过两点，则这条抛物线的解析式为______________，它的对称轴为________． 15. 如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C ′与AB相交于点D，则C′D=______. 16. 中，已知，，在轴上，且，则点的坐标为___________________． 三．解答题（共10小题，满分72分） 17. 解方程： （1）； （2）﹒ 18. 在下面的正方形网格图中，，，，． （1）试在图中作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）若点B坐标为，试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标； （3）根据（2）中的坐标系作出与关于原点对称的图形，并标出、两点的坐标． 19. 为做好新型肺炎疫情防控，某社区开展新型肺炎疫情排查与宣传教育志愿服务活动，组织社区20名志愿者随机平均分配在4个院落门甲、乙、丙、丁处值守，并对进出人员进行测温度、劝导佩戴口罩、正确投放生活垃圾等服务. （1）志愿者小明被分配到甲处服务是（ ）事件； A.不可能事件 B.可能事件 C.必然事件 D.无法确定 （2）请用列表或树状图的方法，求出志愿者小明和小红被随机分配到同一处服务的概率. 20. 如图，正六边形的顶点都在以原点为圆心、以2为半径的圆上，点B在y轴正半轴上．求正六边形各顶点的坐标． 21. “靠山吃山，靠水吃水”，金丝峡景区的人民依靠制作手工艺品也走出了一条致富路，其经营模式一般为生产组的产品由商店代理销售． （1）据调研发现，竹制品生产组今七月份共生产1000套“竹编篮”，为增大生产量，该生产组平均每月生产量增加，则该生产组在九月份能生产多少套“竹编篮”? （2）已知某商店代理销售“竹编篮”平均每天可销售50套，每套盈利22元，在每套降价幅度不超过6元的情况下，每下降1元，则每天可多售4套.如果每天要盈利1160元，每套应降价多少元? 22. 如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，∠A=30°，以BC为直径⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E． （1）证明：DE为⊙O的切线； （2）若BC＝8，求阴影部分的面积． 23. 根据要求画出二次函数的图象并解决相关问题． （1）填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线； （2）请根据图像直接写出：当时，自变量的取值范围 ． 24. 如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点且与x轴交于点C，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A、点C． （1）求一次函数和二次函数的函数表达式； （2）连接OA，求∠OAB的正弦值； （3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在y轴的正半轴上，在x轴的正半轴上，的平分线交于点D，E为的中点．已知，二次函数的图象经过A，C两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）F，G分别为x轴、y轴上动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形，求四边形周长的最小值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，的半径为2，过点的直线与相切于点B，与y轴相交于点C． （1）求图中阴影部分周长； （2）将沿y轴正方向平移到和直线再次相切时，求扫过的区域的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年宁夏吴忠市青铜峡五中、铝业、陕口联盟校九年级（上）期末数学模拟试卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分．在题目所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列对二次函数的图象的描述，正确的是（　　） A 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 在对称轴左侧y随x的增大而增大 D. 顶点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，对各个选项逐一进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象开口向上，故选项A错误； 对称轴是直线，故选项B错误； 在对称轴左侧y随x的增大而减小，故选项C错误； 顶点坐标为，故选项D正确； 故选：D． 2. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是（　　） A. 24 B. 18 C. 16 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数频率频数计算白球的个数． 【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在和， ∴摸到白球的频率为， ∴口袋中白色球的个数可能是个． 故选：C． 【点睛】大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率． 3. 如图，桌面上放置四张扑克牌（背面完全一样），将数字一面向下扣在桌面上，小明和小李做如下游戏．小明和小李依次随机从中抽出一张，将得到的数字相加．若和为偶数，则小明获胜；若和为奇数，则小李获胜．小明获胜的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查树状图求概率，熟练掌握画树状图是解题的关键．根据树状图利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图： 共有12个等可能的结果，小明获胜的结果有4个， 小明获胜的概率为， 故选：B． 4. 某校有一位同学感染了流感，经过两次感染后，全校共有144人染上了流感．设每一次感染中，平均一个人传染给了x人，列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的． 设平均一个人传染给了人，根据一个人患了流感且经过两轮传染后共144人患了流感，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：解：设平均一个人传染给了人， 依题意，得：， 故选：C． 5. 如图，石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为 （ ） A. 5米 B. 8米 C. 7米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意作图，根据垂径定理和勾股定理求出OD的长度，再用OC减去OD即可得出答案． 【详解】 如图，由题意可知，AB=24米，OA=OC=13米 在RT△ADO中， ∴CD=OC-OD=8 故答案选择B． 【点睛】本题考查的是垂径定理，比较简单，需要熟练掌握垂径定理的基本性质． 6. 如图，将绕顶点A逆时针旋转一定角度得到，使点D落在边上，此时恰好，已知，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据旋转性质得，，，结合得到，判定是等边三角形，得到，结合，计算解答． 【详解】解：根据旋转性质得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7. 点是的外心，若，则的度数为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念以及圆周角定理，掌握三角形的外心的概念、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．根据题意画出图形、运用分情况讨论思想和圆周角定理解得即可． 【详解】解：，， ， ， 当是锐角三角形时，， 当是钝角三角形时，． 故选：C． 8. 已知二次函数的图象过点，若点，也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 由于的纵坐标相等，所以点与点是抛物线上的对称点，所以抛物线的对称轴为直线，然后通过比较点、、到直线的距离的大小来判断的大小． 【详解】∵二次函数图象过点， 注意到两点的纵坐标都是m， ∴二次函数的图象是开口向上，且对称轴为直线，即的抛物线， ∵点 也在二次函数的图象上， ∴． 故选：B． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 一个不透明的袋中装有3个红球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出2球，则“摸出的球至少有1个黑球”是______事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念作答． 【详解】解：一个不透明的袋中装有3个红球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出2球，共有以下2种情况： 1、2个红球； 2、1个红球，1个黑球； 所以从中任意摸出2球，“摸出的球至少有1个黑球”是随机事件， 故答案为：随机． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 10. 在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是_____． 【答案】相离 【解析】 【分析】欲求⊙P与x轴的位置关系，关键是求出点P到x轴的距离d再与⊙P的半径5比较大小即可． 【详解】解：在直角坐标系内，以P（4，8）为圆心，5为半径画圆，则点P到x轴的距离为d＝8， ∵r＝5， ∴d＞r， ∴⊙P与x轴的相离． 故答案为：相离． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．做好本题的关键是画出简图，明白圆心坐标到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值． 11. 一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黑球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从剩下的球中随机摸出一个球，则两次摸到相同颜色的球的概率为______ 【答案】## 【解析】 【分析】采用列表法列举即可求解． 【详解】列表如下： 总计有20种情况，颜色相同的情况有8种， 即：两次摸到相同颜色的球的概率为， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 12. 若关于x的一元二次方程的一根，另一根，则抛物线的顶点到x轴距离的最小值是___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，熟知一元二次方程的根与抛物线与轴的交点之间的关系是解答此题的关键． 先根据关于的一元二次方程的一根，另一根求出的取值范围，再得出抛物线顶点的纵坐标表达式，把的取值代入即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一根，另一根， 令 则， 即， 解得，． ∵抛物线的顶点纵坐标为， 当时，； 当a时，， ∵， ∴顶点到x轴距离的最小值是． 故答案为：． 13. 圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积． 【详解】解：根据圆锥侧面积公式：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆锥侧面积公式．熟记圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键． 14. 抛物线，经过两点，则这条抛物线的解析式为______________，它的对称轴为________． 【答案】 ①. ②. 直线 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的性质，先根据两点式求出二次函数解析式，再利用二次函数的性质求出对称轴即可． 【详解】解：抛物线的解析式为，即， 抛物线的对称轴为直线． 故答案为，直线． 15. 如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C ′与AB相交于点D，则C′D=______. 【答案】2.5 【解析】 【详解】解：∵∠A=30°， ∴BC=AC=×10=5， ∠C=90°-30°=60°， 由旋转的性质，BC=BC′， ∴△BCC′是等边三角形， ∴CC′=BC，∠CBC′=60°， ∴点C′是AC的中点， 又∵∠CBC′=∠A′C′B=60°， ∴A′C′∥BC， ∴C′D是△ABC的中位线， ∴C′D=BC=×5=2.5． 故答案为：2.5 16. 中，已知，，在轴上，且，则点的坐标为___________________． 【答案】或 【解析】 【分析】设线段的中点为，由点，，得，．进而分点在第一象限和点在第四象限两种情况讨论求解即可． 【详解】解：设线段的中点为， ∵点，， ∴，． 如图所示，过点在第一象限作，且，连接，则， ∴，，，，； ∴，， ∴， 以点为圆心，或长为半径作，与轴的正半轴交于点， ∵为的圆周角， ∴，即点即为所求． 过点作轴于点，则四边形是矩形， ∴，， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴点坐标为； 如图所示，在第四象限可以参照作同样操作，同理求得轴负半轴上的点坐标为． 综上所述，点坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，圆周角定理，矩形的判定及性质，垂径定理及勾股定理，熟练掌握圆周角定理，矩形的判定及性质，垂径定理是解题的关键． 三．解答题（共10小题，满分72分） 17. 解方程： （1）； （2）﹒ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将方程左边化成完全平方，再用求平方根方法求解； （2）先将常数项移到方程右边，再用配方法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 或． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 18. 在下面的正方形网格图中，，，，． （1）试在图中作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）若点B的坐标为，试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标； （3）根据（2）中的坐标系作出与关于原点对称的图形，并标出、两点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析，点A的坐标为，点C的坐标为； （3）见解析，的坐标为，的坐标． 【解析】 【分析】本题考查的是建立坐标系，画旋转图形，画中心对称图形，写出坐标系内点的坐标，掌握坐标系与旋转的性质是解本题的关键． （1）分别确定绕沿顺时针方向旋转后的对应点，再顺次连接即可； （2）根据点B的坐标为确定原点，再建立坐标系，再写出A、C两点的坐标即可； （3）分别确定关于原点对称的对称点，再顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，点A的坐标为，点C的坐标为； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求，其中的坐标为，的坐标． 19. 为做好新型肺炎疫情防控，某社区开展新型肺炎疫情排查与宣传教育志愿服务活动，组织社区20名志愿者随机平均分配在4个院落门甲、乙、丙、丁处值守，并对进出人员进行测温度、劝导佩戴口罩、正确投放生活垃圾等服务. （1）志愿者小明被分配到甲处服务是（ ）事件； A.不可能事件 B.可能事件 C.必然事件 D.无法确定 （2）请用列表或树状图的方法，求出志愿者小明和小红被随机分配到同一处服务的概率. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据事件发生的可能性大小判断即可． （2）列表或画树形图得到所有可能的结果，即可求出小明和小红被随机分配到同一处服务的概率． 【详解】（1）∵20名志愿者随机平均分配在4个院落门甲、乙、丙、丁处值守， ∴志愿者小明被分配到甲处服务是随机事件， 故答案为：B； （2）画树状图如图所示； 由树状图可知共有16种可能的情况，并且每种结果出现的可能性相等，其中分配在同一处服务的情形共有4种，则志愿者小明和小红被随机分配同一处服务的概率： 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率和必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握其概念和利用树状图法求概率的方法是解题的关键. 20. 如图，正六边形的顶点都在以原点为圆心、以2为半径的圆上，点B在y轴正半轴上．求正六边形各顶点的坐标． 【答案】，，，，， 【解析】 【分析】根据正六边形的性质得到，连接，过作于，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：的半径， ， ，， 多边形是正六边形， ， 连接，过作于， ，， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ，， 同理，，，，，． 故答案为：，，，，，． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 21. “靠山吃山，靠水吃水”，金丝峡景区的人民依靠制作手工艺品也走出了一条致富路，其经营模式一般为生产组的产品由商店代理销售． （1）据调研发现，竹制品生产组今七月份共生产1000套“竹编篮”，为增大生产量，该生产组平均每月生产量增加，则该生产组在九月份能生产多少套“竹编篮”? （2）已知某商店代理销售“竹编篮”平均每天可销售50套，每套盈利22元，在每套降价幅度不超过6元的情况下，每下降1元，则每天可多售4套.如果每天要盈利1160元，每套应降价多少元? 【答案】（1）该生产组在九月份能生产1440套“竹编篮” （2）每套应降价2元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用竹制品生产组在九月份生产的“竹编篮”数量=七月份生产的“竹编篮”数量×，即可求出结论； （2）设每套“竹编篮”降价元，则每套盈利元，平均每天可售出套，利用该商店每天销售“竹编篮”获得的利润=每套的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：（套）， 答：该生产组在九月份能生产1440套“竹编篮”； 【小问2详解】 解：设每套“竹编篮”降价元，则每套盈利元，平均每天可售出套 由题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）. 答：每套应降价2元. 22. 如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，∠A=30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E． （1）证明：DE为⊙O的切线； （2）若BC＝8，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD．根据等边对等角可证明出，即可证明．再根据，即得出，即证明DE为⊙O的切线； （2）连接CD．由直径所对圆周角为直角可知．再根据∠B=∠A=30°，即得出，．又易证，从而得出，．最后根据求解即可． 【小问1详解】 如图，连接OD． ∵AC＝BC， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴DE为⊙O的切线； 【小问2详解】 如图，连接CD． ∵BC直径， ∴． ∵∠B=∠A=30°， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． 由题意可知四边形ODEC为直角梯形， ∴ ． 【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，圆周角定理及其推论，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理．正确的作出辅助线是解题关键． 23. 根据要求画出二次函数的图象并解决相关问题． （1）填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线； （2）请根据图像直接写出：当时，自变量的取值范围 ． 【答案】（1）填表见解析，图象见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）取适当的的值根据函数解析式求出即可填写表格，再根据表格的数值描点、连线即可画出函数图象； （）根据函数图象即可求解； 本题考查了二次函数图象的画法，二次函数与不等式，掌握二次函数图象的画法是解题的关键． 【小问1详解】 解：填表如下： 描点、连线画出函数图象如图： 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为， 故答案为：． 24. 如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点且与x轴交于点C，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A、点C． （1）求一次函数和二次函数的函数表达式； （2）连接OA，求∠OAB的正弦值； （3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x﹣4，y＝﹣2x2+7x+4；（2）；（3）存在，（6，0）或（20，0） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后根据与x轴的交点y=0，求出C的坐标，然后根据A与C的坐标求出二次函数的解析式即可； （2）过O作OH⊥BC，垂足为H，证明△BOC为等腰直角三角形，求出OH＝BC＝2，然后求出OA，即可求出∠OAB的正弦值； （3）利用勾股定理求出AH，再求出AB＝，然后分情况求出D点的坐标即可. 【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点， ∴﹣5＝﹣k+b，b＝﹣4，k＝1， ∴一次函数解析式为：y＝x﹣4， ∵一次函数y＝x﹣4与x轴交于点C， ∴y＝0时，x＝4， ∴C（4，0）， ∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A（﹣1，﹣5）、点C（4，0）， ∴， 解得a＝﹣2，b＝7， ∴二次函数的函数表达式为y＝﹣2x2+7x+4； （2）过O作OH⊥BC，垂足为H， ∵C（4，0），B（0，﹣4）， ∴OB＝OC＝4，即△BOC为等腰直角三角形， ∴BC＝＝＝4， ∴OH＝BC＝2， 由点O（0，0），A（﹣1，﹣5），得：OA＝， 在Rt△OAH中，sin∠OAB＝＝＝； （3）存在， 由（2）可知，△OBC为等腰直角三角形，OH＝BH＝2， 在Rt△AOH中，根据勾股定理得：AH＝＝＝3， ∴AB＝AH﹣BH＝， ∴当点D在C点右侧时，∠OBA＝∠DCB＝135°， ①当，即时，解得CD＝2， ∵C（4，0），即OC＝4， ∴OD＝OC+CD＝2+4＝6， 此时D坐标为（6，0）； ②当，即时， 解得CD＝16， ∵C（4，0），即OC＝4，∴OD＝OC+CD＝16+4＝20， 此时D坐标（20，0）， 综上所述，若△BCD与△ABO相似，此时D坐标为（6，0）或（20，0）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，涉及了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的判定，综合性较强，熟练掌握各知识点并学会综合应用是解题的关键. 25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在y轴的正半轴上，在x轴的正半轴上，的平分线交于点D，E为的中点．已知，二次函数的图象经过A，C两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）F，G分别为x轴、y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形，求四边形周长的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法，二次函数图像的图像和性质，勾股定理以及利用轴对称求最短路径，熟练掌握二次函数图像的图像和性质是解题的关键． （1）将代入函数解析式即可求出答案； （2）利用轴对称求最短路径的相关概念，延长至，使，延长至，使，连接，交x轴于F点，交y轴于G点，得到即可求出答案． 【小问1详解】 解：将代入二次函数，得： ， 解得， 故二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，延长至，使，延长至，使，连接，交x轴于F点，交y轴于G点， ， ， 由图像可知，， E为的中点， E点坐标为， 的平分线交于点D， ， 故得， 由勾股定理，得 ， ， ． 26. 如图，在平面直角坐标系中，的半径为2，过点的直线与相切于点B，与y轴相交于点C． （1）求图中阴影部分的周长； （2）将沿y轴正方向平移到和直线再次相切时，求扫过的区域的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】对于（1），连接，根据切线的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据特殊角得三角函数求出，根据弧长公式得出，进而得出答案； 对于（2），先根据，求出，可得出点O向上平移时，与直线再次相切，进而得出答案． 【小问1详解】 连接，如图， ∵与相切于点B， ∴． ∵， ∴． 在中，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴图中阴影部分的周长为； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴点O向上平移时，与直线再次相切， ∴扫过区域的面积． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，特殊角的三角函数，弧长公式等，由题意得出平移图形是一个矩形和一个圆是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$