（总集篇）第一单元圆·总集篇·十六种阴影部分面积法【十八大考点】-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 34 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 8 月 19 日 2 / 34 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元圆·总集篇·十六种阴影部分面积法【十八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元圆·总集篇·十六种阴影部分面积法 专题内容 本专题内容考察含圆的不规则或组合图形周长以及阴影部分 图形的面积，一共总结了十六种常见的求阴影部分图形面积 方法，属于求不规则图形、组合图形、阴影部分图形面积的 总集篇。 总体评价 ＊ 讲解建议 本专题考点和考题综合性极强，难度极大，其中大多数以思 维拓展题型为主，建议根据学生实际掌握情况和总体水平， 选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】不规则图形或组合图形的周长其一：基础型 ................................................. 4 【考点二】不规则图形或组合图形的周长其二：拓展型 ................................................. 5 【考点三】面积法其一：直接求法（公式法） ................................................................ 6 【考点四】面积法其二：相加法（S 阴影=S1+S2） .......................................................... 8 【考点五】面积法其三：相减法（S 阴影=S 整体-S 空白） .................................................. 9 【考点六】面积法其四：加减混合与“混合型图形”（S 阴影=S1+S2-S3） ................ 10 【考点七】面积法其五：平移法 ..................................................................................... 12 3 / 34 【考点八】面积法其六：拼接法 ..................................................................................... 13 【考点九】面积法其七：旋转法（翻转法） .................................................................. 15 【考点十】面积法其八：割补法 ..................................................................................... 16 【考点十一】面积法其九：重组法 ..................................................................................18 【考点十二】面积法其十：整体代换法 ..........................................................................19 【考点十三】面积法其十一：辅助线法 ..........................................................................22 【考点十四】面积法其十二：容斥原理（重叠、分层思路） ........................................24 【考点十五】面积法其十三：差不变原理（差不变思想） ........................................... 25 【考点十六】面积法其十四：图示法（羊吃草问题） ................................................... 28 【考点十七】面积法其十五：平移运动问题 ＊ .......................................31 【考点十八】面积法其十六：旋转运动问题 ＊ .......................................32 4 / 34 【第三篇】典型例题篇 【考点一】不规则图形或组合图形的周长其一：基础型。 【方法点拨】 求不规则或组合图形的周长，要寻找该图形是由哪些边组合而成的，将这些边的 长度相互加起来，注意观察弧形是否可以组合一起构成半圆或整圆。 【典型例题】 求阴影部分的周长。（单位：cm）（ 取 3.14） 【对应练习 1】 求阴影部分的周长。（单位：cm) 【对应练习 2】 如图，已知圆心为 O的半圆里还有两个较小的半圆，其中半圆 A的半径为 3cm， 半圆 B的半径为 1cm，求阴影部分的周长。（单位：cm) 5 / 34 【对应练习 3】 求阴影部分的周长。（单位：dm) 【考点二】不规则图形或组合图形的周长其二：拓展型。 【方法点拨】 求不规则或组合图形的周长，要寻找该图形是由哪些边组合而成的，将这些边的 长度相互加起来，注意观察弧形是否可以组合一起构成半圆或整圆。 【典型例题】 将三根同样粗细的圆木像下图这样用铁丝在两头各捆一圈，如果每根圆木横截面 的直径都是 4分米，那么至少需要多长的铁丝？（接头处忽略不计） 【对应练习 1】 如图，将两根直径是 15cm的钢管用绳子捆在一起，每周需要绳子多少厘米？（接 口处不计） 6 / 34 【对应练习 2】 用一根绳子把 4个酒瓶捆扎起来（如下图），酒瓶的外直径是 6厘米，打结处需 要 15厘米长的绳子。问这根绳子长多少厘米？ 【对应练习 3】 把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方向看）的形状，图中每个 圆的直径都为 3厘米。 （1）像这样继续捆下去，第④组至少需要（ ）厘米的绳子。请说明理 由。 （2）按照这样的方法继续捆下去，捆 n组至少需要（ ）厘米的绳子。 【考点三】面积法其一：直接求法（公式法）。 【方法点拨】 直接求法，即根据已知条件，从整体出发，利用面积相关公式可以直接求出阴影 部分的面积，是最为简单的求面积方法，熟练掌握图形面积公式是解决问题的关 键。 【典型例题】 求圆的面积和周长。（单位：m) 7 / 34 【对应练习 1】 求圆的周长和面积。（单位：厘米） 【对应练习 2】 求下面各圆的周长和面积。（单位：cm) 【对应练习 3】 求下面各圆的周长。（单位：cm) 8 / 34 【考点四】面积法其二：相加法（S 阴影=S1+S2）。 【方法点拨】 相加法，即加法分割思路，把所求阴影部分面积分割成几块能用公式计算的规则 图形（三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形），分别计算出 面积，并相加得出阴影部分的面积。 【典型例题】 求下面图形的周长和面积。（单位：cm) 【对应练习 1】 图中爱心是由一个正方形和两个半圆拼成的，请计算出它的周长和面积。（单位： cm) 【对应练习 2】 求下面图形的周长和面积。（单位：cm) 9 / 34 【对应练习 3】 计算如图图形的周长和面积。（单位：cm) 【考点五】面积法其三：相减法（S 阴影=S 整体-S 空白）。 【方法点拨】 相减法，即减法拓展思路，是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的 规则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面 积之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。 【典型例题 1】基础型。 求图中阴影部分的面积。（单位：cm） 【典型例题 2】提高型。 如图，直角三角形 ABC的面积为 12平方厘米，半圆以 BC为直径，求阴影部分 的面积。 10 / 34 【对应练习 1】 求阴影部分的面积。（单位：cm） 【对应练习 2】 计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm) 【对应练习 3】 计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：m) 【考点六】面积法其四：加减混合与“混合型图形”（S 阴影 =S1+S2-S3）。 【方法点拨】 含圆的混合型图形，即在解决问题的过程需要多次使用相加法或相减法来求阴影 面积，这些图形往往看起来比较复杂，计算起来也较为困难，可以首先观察图形， 然后合理分解成部分可求的图形，最后再相加或相减。 11 / 34 【典型例题】 已知正方形的边长是 8cm，计算图中阴影部分的面积。 【对应练习 1】 如图，O为圆心，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。 【对应练习 2】 如图，两个相连的正方形的边长是 8厘米和 3厘米，求阴影部分的面积。（结果 保留 ） 12 / 34 【对应练习 3】 如图中的圆是以 O为圆心、半径是 10厘米的圆，求阴影部分的面积。 【考点七】面积法其五：平移法。 【方法点拨】 平移法，即通过把部分图形平行移动可以把不规则图形转变为已学的规则图形， 进而求出图形的面积。 【典型例题】 求阴影部分的周长和面积。（π取 3.14） 【对应练习 1】 求涂色部分的面积。（单位：cm。） 13 / 34 【对应练习 2】 求阴影部分的面积。 【对应练习 3】 先量出必要的数据，再计算涂色部分的面积。 【考点八】面积法其六：拼接法。 【方法点拨】 拼接法，即在部分扇形半径相等的情况下，可以通过移动扇形，把扇形拼接成一 个整体。 【典型例题】 下图中阴影部分面积之和是多少平方厘米？ 14 / 34 【对应练习 1】 计算下图中阴影部分的面积。 【对应练习 2】 计算阴影部分面积。（ 取 3.14） 【对应练习 3】 求涂色部分的面积。 15 / 34 【考点九】面积法其七：旋转法（翻转法）。 【方法点拨】 旋转法（翻转法），即根据图形的特征，将原图的某一部分进行翻转或旋转，最 后得到便于求解的新图形。 【典型例题】 求下图中阴影部分的周长和面积。（单位：cm） 【对应练习 1】 求如图阴影部分的面积。（单位：厘米） 【对应练习 2】 如图，求图中阴影部分面积。（单位：厘米）（小圆半径为 1厘米） 16 / 34 【对应练习 3】 如图，点 P是正方形 ABCD内部的一点，连接 PA、PB、PC。将 PAB 绕着点 B 顺时针旋转 90°到 P CB  的位置。设 AB m ，PB n ， m n ，求 PAB 旋转到 P CB  的过程中边 PA所扫过的区域（图中阴影部分）的面积。 【考点十】面积法其八：割补法。 【方法点拨】 割补法，即分割拼补的思路，是把不规则的阴影面积通过分割和拼补，使之变为 一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形。 【典型例题】 求下列阴影部分的面积。（单位：cm） 17 / 34 【对应练习 1】 求阴影部分的面积（图中的三角形都是等腰直角三角形）。（单位：分米） 【对应练习 2】 求下面图中涂色部分的面积。 【对应练习 3】 求图中阴影部分的面积。 18 / 34 【考点十一】面积法其九：重组法。 【方法点拨】 重组法，即根据具体情况和计算上的需要把原来图形拆开，并加以重新组合，使 之变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形，然后结合相减法 求出阴影面积。 【典型例题】 如图，大圆半径 R=8厘米，小圆的半径 r=4厘米．求阴影部分的面积。 【对应练习 1】 求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【对应练习 2】 求阴影部分的面积。（单位：cm） 19 / 34 如图，正方形 ABCD的面积是 36平方厘米，求阴影部分的面积． 【考点十二】面积法其十：整体代换法。 【方法点拨】 整体代换法，即通过平面图形之间的等量关系，将图形面积整体代换，再根据相 应面积公式求出面积。 【典型例题 1】圆与正方形。 如图，以圆的半径为边长的正方形面积是 10平方厘米，则圆的面积是（ ） 平方厘米。 【对应练习 1】 下中正方形部分是一个水池，其余部分是草坪。已知正方形的面积是 225m2，草 坪的面积是多少平方米？ 【对应练习 2】 已知下图正方形的面积是 50平方分米，圆的面积是（ ）平方分米。 20 / 34 【对应练习 3】 如图，已知正方形的面积是 9 cm2，这个圆的面积是（ )cm2。 【对应练习 4】 如图中正方形的面积是 16平方厘米，圆形的面积是（ ）平方厘米。 【典型例题 2】圆与长方形。 如图，圆的面积与长方形的面积相等，圆的半径是 3cm，长方形的长是 （ )cm。 【对应练习 1】 如图，圆的面积和长方形的面积相等，如果圆的半径是 6厘米，那么长方形的周 长是多少厘米？ 21 / 34 【对应练习 2】 如图所示，圆的周长是 18.84厘米，圆的面积等于长方形的面积，那么阴影部分 的周长是多少厘米？ 【对应练习 3】 如图，长方形面积和圆面积相等，已知圆的半径是 3厘米，求阴影部分的面积和 周长。 【典型例题 3】圆与三角形。 如图中，直角三角形（阴影部分）的面积是 12平方厘米，圆的面积是（ ） 平方厘米。 【对应练习 1】 下图中等腰直角三角形的两条直角边正好是半径，三角形的面积是 20平方厘米， 图中空白部分的面积是多少平方厘米？ 22 / 34 【对应练习 2】 图中，三角形 AOC的面积是 8平方厘米，求涂色部分的面积。 【对应练习 3】 如图，已知三角形 OAB的面积是 18平方厘米，求阴影部分的面积。 【考点十三】面积法其十一：辅助线法。 【方法点拨】 辅助线法，即在通常手段无法求出阴影部分面积时，需要尝试使用添加辅助线的 方法解决。 【典型例题】 如图，三角形 ABC是等腰直角三角形，点 D是半圆周的中点，BC是半圆的直 径，阴影部分的面积是多少？（单位：厘米） 23 / 34 【对应练习 1】 求图中阴影部分的周长和面积。（π取 3.14） 【对应练习 2】 计算下图中阴影部分的面积。（单位：cm) 【对应练习 3】 数学思考。 如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中 P为半圆周的中点，Q为正方形 BC边上的中点，求空白部分的面积。（单位：平方厘米） 24 / 34 【考点十四】面积法其十二：容斥原理（重叠、分层思路）。 【方法点拨】 容斥原理，即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用 不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图 形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。 【典型例题 2】 如图（单位：厘米），四边形 ABCD是长方形，其中弧 AE以点 B为圆心，AB 的长为半径，弧 AF的点 D为圆心，AD的长为半径。计算阴影部分的面积。 【对应练习 1】 如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米） 25 / 34 【对应练习 2】 如图，三角形 ABC是等腰直角三角形， 8cmAB AC  ，弧 AD是以 CA为半径 的圆的一部分， 45C  ，求图中阴影部分的面积。 【对应练习 3】 等腰直角三角形 ABC的面积是 8平方厘米，求阴影部分的面 积． 【考点十五】面积法其十三：差不变原理（差不变思想）。 【方法点拨】 差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果 S甲=S乙，那么 S甲+S空白=S 乙+S空白，反之亦可。 【典型例题 1】其一。 如图，是一个等腰直角三角形和一个半径为 4厘米、圆心角为 90°的扇形拼成的 图形，利用差不变思想计算下图中两个阴影部分的差是多少平方厘米？ 26 / 34 【典型例题 2】其二。 如图，半圆的直径是 10厘米，阴影部分甲比乙的面积少 1.25平方厘米，求直角 三角形 ABO的边 OA的长。 【典型例题 3】其三。 如下图，甲、乙两个阴影部分面积相等，BC长是 8厘米，求 AB长是多少厘米？ （本题π取值为 3） 27 / 34 【对应练习 1】 下图中，涂色部分甲比乙的面积大 211.25cm 。求 BC 的长。 【对应练习 2】 如图，三角形 ABC是直角三角形，AB长 20厘米，如果阴影（I）的面积比阴影 （II）的面积大 37平方厘米，求 BC的长。 【对应练习 3】 如图，已知：S1比 S2多 28平方厘米，求 BC长多少厘米？ 28 / 34 【对应练习 4】 如图，三角形 ABC是直角三角形，阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小 23 平方厘米。求 BC的长度。 【考点十六】面积法其十四：图示法（羊吃草问题）。 【方法点拨】 图示法，即先根据题意，画出图形的轨迹，再求面积。 【典型例题 1】旋转作图。 在等腰直角三角形 ABC 中，角 C是直角， 10AC BC  厘米，以 C点为中心逆时 针旋转 90°。求线段 AB 扫过的面积。 【对应练习】 如图，一枚半径是 1厘米的游戏币沿着边长是 4厘米的等边三角形的边绕一圈， 它扫过的面积是多少平方厘米？ 29 / 34 【典型例题 2】羊吃草问题其一。 在一块草坪地的木桩上拴着一只羊，绳长 2米，这只羊最多能吃着草地的面积是 多少平方米？ 【典型例题 3】羊吃草问题其二。 草场上有一个长 20m，宽 10m 的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 30m的绳子 拴着一只羊（见右图），这只羊能够活动的范围有多大？ 【典型例题 3】羊吃草问题其三。 墙角 O点处有一木桩上拴着一只羊（如图），拴羊的绳子长 4m，墙角两边的墙 长 2m。问这只羊能吃到草的面积最多是多少？ 30 / 34 【对应练习 1】 如图，一只狗被缚在一建筑物的墙角 O处，这个建筑物是边长 600厘米的正方 形，缚狗的绳子长 20米．现在狗从 A点出发，将绳拉紧顺时针跑，可跑多少米？ 【对应练习 2】 一块正方形的草地，边长是 3米，在两个对角的顶点处各种一棵树，树上各拴一 只羊，拴羊的绳子都是 3米。这两只羊都能吃到的草的面积有多大？ 【对应练习 3】 一块正方形的草地，边长 4米，一对角线的两个顶点各有一棵树，树上各拴着一 只羊，栓羊的绳子长都是 4米，两只羊都能吃到草的草地的面积是多少平方米？ 1 / 63 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 8 月 19 日 2 / 63 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元圆·总集篇·十六种阴影部分面积法【十八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元圆·总集篇·十六种阴影部分面积法 专题内容 本专题内容考察含圆的不规则或组合图形周长以及阴影部分 图形的面积，一共总结了十六种常见的求阴影部分图形面积 方法，属于求不规则图形、组合图形、阴影部分图形面积的 总集篇。 总体评价 ＊ 讲解建议 本专题考点和考题综合性极强，难度极大，其中大多数以思 维拓展题型为主，建议根据学生实际掌握情况和总体水平， 选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】不规则图形或组合图形的周长其一：基础型 ................................................. 4 【考点二】不规则图形或组合图形的周长其二：拓展型 ................................................. 6 【考点三】面积法其一：直接求法（公式法） ................................................................ 9 【考点四】面积法其二：相加法（S 阴影=S1+S2） ........................................................ 12 【考点五】面积法其三：相减法（S 阴影=S 整体-S 空白） .................................................15 【考点六】面积法其四：加减混合与“混合型图形”（S 阴影=S1+S2-S3） ................ 17 【考点七】面积法其五：平移法 ..................................................................................... 20 3 / 63 【考点八】面积法其六：拼接法 ..................................................................................... 22 【考点九】面积法其七：旋转法（翻转法） .................................................................. 25 【考点十】面积法其八：割补法 ..................................................................................... 28 【考点十一】面积法其九：重组法 ..................................................................................30 【考点十二】面积法其十：整体代换法 ..........................................................................33 【考点十三】面积法其十一：辅助线法 ..........................................................................38 【考点十四】面积法其十二：容斥原理（重叠、分层思路） ........................................42 【考点十五】面积法其十三：差不变原理（差不变思想） ........................................... 45 【考点十六】面积法其十四：图示法（羊吃草问题） ................................................... 49 【考点十七】面积法其十五：平移运动问题 ＊ .......................................54 【考点十八】面积法其十六：旋转运动问题 ＊ .......................................58 4 / 63 【第三篇】典型例题篇 【考点一】不规则图形或组合图形的周长其一：基础型。 【方法点拨】 求不规则或组合图形的周长，要寻找该图形是由哪些边组合而成的，将这些边的 长度相互加起来，注意观察弧形是否可以组合一起构成半圆或整圆。 【典型例题】 求阴影部分的周长。（单位：cm）（ 取 3.14） 解析： 大半圆弧：3.14×12÷2 ＝37.68÷2 ＝18.84（cm） 小半圆弧：3.14×8÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（cm） 18.84＋12.56＋（12－8） ＝31.4＋4 ＝35.4（cm） 【对应练习 1】 求阴影部分的周长。（单位：cm) 5 / 63 解析： 3.14×(3+5)÷2+3.14×3÷2+3.14×5÷2 =12.56+4.71+7.85 =25.12(cm) 【对应练习 2】 如图，已知圆心为 O的半圆里还有两个较小的半圆，其中半圆 A的半径为 3cm， 半圆 B的半径为 1cm，求阴影部分的周长。（单位：cm) 解析： 圆 O的直径：3×2＋1×2＝8（厘米）； 圆 A的直径：3×2＝6（厘米）； 圆 B的直径：1×2＝2（厘米） 阴影部分的周长：3.14×8÷2＋3.14×6÷2＋3.14×2÷2 ＝12.56＋9.42＋3.14 ＝25.12（厘米） 【对应练习 3】 求阴影部分的周长。（单位：dm) 解析： 24×2＋16＋3.14×16÷2 ＝48＋16＋25.12 ＝64＋25.12 ＝89.12（dm） 6 / 63 【考点二】不规则图形或组合图形的周长其二：拓展型。 【方法点拨】 求不规则或组合图形的周长，要寻找该图形是由哪些边组合而成的，将这些边的 长度相互加起来，注意观察弧形是否可以组合一起构成半圆或整圆。 【典型例题】 将三根同样粗细的圆木像下图这样用铁丝在两头各捆一圈，如果每根圆木横截面 的直径都是 4分米，那么至少需要多长的铁丝？（接头处忽略不计） 解析： （4×3＋3.14×4）×2 ＝（12＋12.56）×2 ＝24.56×2 ＝49.12（分米） 答：至少需要 49.12分米的铁丝。 【对应练习 1】 如图，将两根直径是 15cm的钢管用绳子捆在一起，每周需要绳子多少厘米？（接 口处不计） 解析： 3.14×15＋15×2 7 / 63 ＝47.1＋30 ＝77.1（cm） 答：每周需要绳子 77.1厘米。 【对应练习 2】 用一根绳子把 4个酒瓶捆扎起来（如下图），酒瓶的外直径是 6厘米，打结处需 要 15厘米长的绳子。问这根绳子长多少厘米？ 解析： 6×4＋3.14×6＋15 ＝24＋18.84＋15 ＝57.84（厘米） 答：这根绳子长 57.84厘米。 【对应练习 3】 把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方向看）的形状，图中每个 圆的直径都为 3厘米。 （1）像这样继续捆下去，第④组至少需要（ ）厘米的绳子。请说明理 由。 （2）按照这样的方法继续捆下去，捆 n组至少需要（ ）厘米的绳子。 【答案】（1）57.42，理由见详解 （2）（9.42＋12n） 【分析】如下图所示，第 1组中，四个角落为 4个 1 4 的圆，其可以组成一个完整 8 / 63 的圆，可以算出一个圆的周长，其次在两个 1 4 圆中间的部分，其长度是由两个圆 的半径组成，则可以组成为一个直径，图中有 4条边，那么共有 4条直径，则周 长为：一个圆的周长＋4条直径的长度； 第 2组与第 1组的区别为每边中间多了一个圆，即每条边多了一条直径，则比第 一组多了 4条直径，则周长为：一个圆的周长＋8条直径的长度 第 3组与第 2组比较，每条边又多了 1个圆，则周长比第 2组又多了 4条直径， 则周长为：一个圆的周长＋12条直径的长度； 由以上分析可得，每增加一组都会增加 4条直径，第 1组为 4条直径，第 2组为 2×4条直径，第 3组为 3×4条直径，由此规律可得第 n组为 n×4条直径，则可以 推算出第 n组的周长为：一个圆的周长＋4n条直径的长度，已知一个圆的直径 为 3厘米，则可以推算出第 n组的周长为：一个圆的周长＋3×4n，即一个圆的周 长＋12n，据此即可解答。 【详解】（1）理由： 第①组：3×3.14＋12×1 ＝9.42＋12 ＝21.42（厘米） 第②组 3×3.14＋12×2 ＝9.42＋24 ＝33.42（厘米） 第③组 3×3.14＋12×3 ＝9.42＋36 ＝45.42（厘米） 第④组 3×3.14＋12×4 9 / 63 ＝9.42＋48 ＝57.42（厘米） （2）3×3.14＋3×4×n ＝（9.42＋12n）厘米 【点睛】此题难度较大，找到图中每增加一组与增加直径的关系为解题的关键。 【考点三】面积法其一：直接求法（公式法）。 【方法点拨】 直接求法，即根据已知条件，从整体出发，利用面积相关公式可以直接求出阴影 部分的面积，是最为简单的求面积方法，熟练掌握图形面积公式是解决问题的关 键。 【典型例题】 求圆的面积和周长。（单位：m) 【答案】12.56平方米；12.56米 【分析】根据题意可知，圆的直径为 4米，根据圆的周长公式：C＝ d ，代入数 据求出圆的周长；圆的半径为（4÷2）米，根据圆的面积公式：S＝ 2r ，代入数 据求出圆的面积。 【详解】4÷2＝2（米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 3.14×4＝12.56（米） 即圆的面积是 12.56平方米，圆的周长是 12.56米。 【对应练习 1】 求圆的周长和面积。（单位：厘米） 10 / 63 【答案】20.096厘米；32.1536平方厘米； 28.26厘米；63.585平方厘米 【分析】根据圆的周长公式：C＝ 2 r 或 C＝ d ，圆的面积公式：S＝ 2r ，已知 图 1圆的半径为 3.2厘米，图 2的直径为 9厘米，半径为（9÷2）厘米，代入到 公式中，分别求出圆的周长和面积。 【详解】2×3.14×3.2 ＝6.28×3.2 ＝20.096（厘米） 3.14×3.22 ＝3.14×10.24 ＝32.1536（平方厘米） 图 1中圆的周长是 20.096厘米，面积是 32.1536平方厘米。 3.14×9＝28.26（厘米） 3.14×（9÷2）2 ＝3.14×4.52 ＝3.14×20.25 ＝63.585（平方厘米） 图 2中圆的周长是 28.26厘米，面积是 63.585平方厘米。 【对应练习 2】 求下面各圆的周长和面积。（单位：cm) 【答案】左图：周长是 31.4厘米；面积是 78.5平方厘米 11 / 63 右图：周长是 18.84厘米；面积是 28.26平方厘米 【分析】（1）已知直径，可根据圆的周长C πd= 求出圆的周长；根据圆的面积 22S d （ ）求出圆的面积。 （2）已知半径，可根据圆的周长 2C r 求出圆的周长；根据圆的面积 2rS  求 出圆的面积。 【详解】左图： 周长：3.14×10＝31.4（厘米） 面积：3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 右图： 周长：2×3.14×3＝18.84（厘米） 面积：3.14×33 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 【对应练习 3】 求下面各圆的周长。（单位：cm) 【答案】18.84cm；18.84cm；31.4cm 【分析】根据圆的周长公式 C＝2πr、C＝πd，代入数据计算求解。 【详解】（1）2×3.14×3＝18.84（cm） 圆的周长是 18.84cm。 （2）3.14×6＝18.84（cm） 圆的周长是 18.84cm。 12 / 63 （3）2×3.14×5＝31.4（cm） 圆的周长是 31.4cm。 【考点四】面积法其二：相加法（S 阴影=S1+S2）。 【方法点拨】 相加法，即加法分割思路，把所求阴影部分面积分割成几块能用公式计算的规则 图形（三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形），分别计算出 面积，并相加得出阴影部分的面积。 【典型例题】 求下面图形的周长和面积。（单位：cm) 【答案】63.7cm；218.5cm2 【分析】组合图形的周长＝长方形周长＋ 1 4 圆的周长，长方形周长＝（长＋宽） ×2，圆的周长＝2πr；组合图形的面积＝长方形面积＋ 1 4 圆的面积，长方形面积 ＝长×宽，圆的面积＝πr2，据此列式计算。 【详解】（14＋10）×2＋2×3.14×10× 1 4 ＝24×2＋15.7 ＝48＋15.7 ＝63.7（cm） 14×10＋3.14×102× 1 4 ＝140＋3.14×100× 1 4 ＝140＋78.5 ＝218.5（cm2） 【对应练习 1】 图中爱心是由一个正方形和两个半圆拼成的，请计算出它的周长和面积。（单位： 13 / 63 cm) 【答案】20.56cm；28.56cm2 【分析】组合图形的周长＝圆的周长＋正方形边长×2，圆的周长＝πd；组合图形 的面积＝圆的面积＋正方形面积，圆的面积＝πr2，正方形面积＝边长×边长，据 此列式计算。 【详解】3.14×4＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 3.14×（4÷2）2＋4×4 ＝3.14×22＋16 ＝3.14×4＋16 ＝12.56＋16 ＝28.56（cm2） 【对应练习 2】 求下面图形的周长和面积。（单位：cm) 【答案】周长：245.6厘米；面积：3656平方厘米 【分析】组合图形的周长是由一个直径为 40厘米的圆的周长和两条长为 60厘米 的长组合而成，利用圆的周长公式求出这个圆的周长，再加上（60×2）厘米，即 可求出组合图形的周长；组合图形的面积是由一个半径为（40÷2）厘米的圆的面 积和一个长为 60厘米，宽为 40厘米的长方形的面积组合而成，分别利用圆的面 14 / 63 积和长方形的面积公式求出这两个图形的面积，再相加即可求出组合图形的面积。 【详解】3.14×40＋60×2 ＝125.6＋120 ＝245.6（厘米） 3.14×（40÷2）2＋60×40 ＝3.14×202＋2400 ＝3.14×400＋2400 ＝1256＋2400 ＝3656（平方厘米） 即图形的周长是 245.6厘米，面积是 3656平方厘米。 【对应练习 3】 计算如图图形的周长和面积。（单位：cm) 【答案】35.7厘米；89.25平方厘米 【分析】通过观察可知本题的图形可以分成一个半圆形和一个长方形，计算周长 时，计算出半径为 5厘米的一个圆周长的一半，再加上长方形的一个长和两个宽， 计算面积时，计算出一个半圆的面积再加上一个长方形的面积即可。 【详解】周长：3.14×2×5÷2＋5×4 ＝15.7＋20 ＝35.7（厘米） 面积：3.14×52÷2＋2×5×5 ＝3.14×25÷2＋2×5×5 ＝39.25＋50 ＝89.25（平方厘米） 图形的周长为 35.7厘米；面积为 89.25平方厘米。 15 / 63 【考点五】面积法其三：相减法（S 阴影=S 整体-S 空白）。 【方法点拨】 相减法，即减法拓展思路，是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的 规则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面 积之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。 【典型例题 1】基础型。 求图中阴影部分的面积。（单位：cm） 解析： 3.14×82÷2﹣（8+8）×8÷2 =3.14×64÷2﹣16×8÷2 =100.48﹣64 =36.48（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 36.48平方厘米。 【典型例题 2】提高型。 如图，直角三角形 ABC的面积为 12平方厘米，半圆以 BC为直径，求阴影部分 的面积。 解析： 观察图形可知，直角三角形也是等腰三角形，所以 BC＝AC＝半圆的直径 d＝2r； 根据“三角形的面积＝底×高÷2”可求出半径的平方，代入圆的面积公式 S＝πr2， 再除以 2，即半圆的面积；根据阴影部分的面积＝半圆的面积－直角三角形 ABC 16 / 63 面积的一半，代入数据计算即可。 解：设半圆的半径为 r厘米。 2r×2r÷2＝12 4r2÷2＝12 2r2＝12 r2＝12÷2 r2＝6 阴影部分的面积： 3.14×6÷2－12÷2 ＝18.84÷2－6 ＝9.42－6 ＝3.42（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 3.42平方厘米。 【对应练习 1】 求阴影部分的面积。（单位：cm） 解析： 8÷2=4（厘米） （8+12）×4÷2﹣3.14×42÷2 =40﹣25.12 =14.88（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 14.88平方厘米。 【对应练习 2】 计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm) 17 / 63 解析： 1 2 ×3.14× [（2＋4）÷2] 2－ 1 2 ×3.14×（2÷2） 2－ 1 2 ×3.14×（4÷2） 2 ＝ 1 2 ×3.14×9－ 1 2 ×3.14×1－ 1 2 ×3.14×4 ＝ 1 2 ×3.14×（9－1－4） ＝ 1 2 ×3.14×4 ＝6.28（cm2） 【对应练习 3】 计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：m) 解析： 6×6－3.14×（6÷2）2 ＝36－3.14×32 ＝36－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74（m2） 【考点六】面积法其四：加减混合与“混合型图形”（S 阴影 =S1+S2-S3）。 【方法点拨】 含圆的混合型图形，即在解决问题的过程需要多次使用相加法或相减法来求阴影 18 / 63 面积，这些图形往往看起来比较复杂，计算起来也较为困难，可以首先观察图形， 然后合理分解成部分可求的图形，最后再相加或相减。 【典型例题】 已知正方形的边长是 8cm，计算图中阴影部分的面积。 【答案】38.88cm2 【详解】略 【对应练习 1】 如图，O为圆心，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。 【答案】20.56平方厘米 【分析】如图，将阴影部分进行拆分，先计算弓形面积，再计算三角形面积，相 加的阴影部分的面积。 【详解】如图所示，弓形面积可以用 1 4圆的面积减去三角形面积，右图三角形面 积直接利用底和高来计算； 8 2 4  （厘米） 19 / 63 2 21 1 13.14 4 4 4 8 4 2 2        12.56 8 16   20.56 （平方厘米） 【对应练习 2】 如图，两个相连的正方形的边长是 8厘米和 3厘米，求阴影部分的面积。（结果 保留 ） 【答案】 2 15 9 cm 2  （ ） 【分析】阴影部分包括大正方形里面的和小正方形里面的两部分。其中，大正方 形里面的阴影部分等于半径为 8厘米的 1 4 扇形面积减去空白小扇形（半径为 8－ 3＝5厘米）的面积，小正方形里面的阴影部分等于正方形的面积减去半径为 3 厘米的 1 4 扇形面积，最后把两部分阴影加起来即整个阴影部分的面积。根据圆的 面积＝πr2，正方形的面积＝边长×边长求出各部分的面积。 【详解】π×82÷4－π×（8－3）2÷4 ＝16π－ 254 π ＝ 39 4 π（平方厘米） 3×3－π×32÷4 ＝9－ 9 4 π（平方厘米） 39 4 π＋9－ 9 4 π ＝ 2 15 9 cm 2  （ ） 【对应练习 3】 如图中的圆是以 O为圆心、半径是 10厘米的圆，求阴影部分的面积。 20 / 63 【答案】100平方厘米 【分析】由图意可知：阴影部分的面积＝半径为 10厘米的圆面积的 ﹣（半径 为 AC的 圆的面积﹣三角形 ABC的面积），又因 AB＝20厘米，OC＝10厘米， 从而可以依据三角形 ABC的面积求出 AC的长度，进而求得阴影部分的面积． 【详解】三角形 ABC的面积为：所以 AC2÷2＝AB×OC÷2＝10×2×10÷2＝100（平 方厘米） 由上面计算可得：AC2＝100×2＝200， 所以阴影部分的面积是：3.14×10×10÷2﹣（ ×3.14×200﹣100） ＝157﹣（157﹣100） ＝157﹣57 ＝100（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 100平方厘米。 【点睛】此题考查圆的面积与扇形的面积公式的灵活应用，关键是根据三角形 ABC的面积得出 AC2的值。 【考点七】面积法其五：平移法。 【方法点拨】 平移法，即通过把部分图形平行移动可以把不规则图形转变为已学的规则图形， 进而求出图形的面积。 【典型例题】 求阴影部分的周长和面积。（π取 3.14） 21 / 63 【答案】49.12m；96m2 【分析】阴影的周长是长方形的两个长的和再加圆的周长，圆周长＝ d ，d表 示直径；通过平移半圆，阴影的面积等于长方形的面积，根据长方形面积＝长× 宽，计算得出答案。 【详解】阴影部分周长为： 3.14×8＋12×2 ＝25.12＋24 ＝49.12（m） 阴影部分面积为：12×8＝96（m2） 【对应练习 1】 求涂色部分的面积。（单位：cm。） 【答案】6cm2 【分析】如下图，把右边的涂色部分向左平移到空白部分，这样阴影部分组成一 个长（2＋1）cm、宽 2cm的长方形；根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算， 即可求出涂色部分的面积。 如图： 【详解】（2＋1）×2 ＝3×2 ＝6（cm2） 涂色部分的面积是 6cm2。 【对应练习 2】 求阴影部分的面积。 22 / 63 【答案】64cm2 【分析】通过平移可知，阴影部分的面积等于边长为 8cm的正方形的面积，正 方形的面积＝边长×边长，依此计算即可。 【详解】8×8＝64（cm2） 即阴影部分的面积是 64cm2。 【对应练习 3】 先量出必要的数据，再计算涂色部分的面积。 【答案】正方形的边长为 3厘米；面积是 9平方厘米 【分析】图中涂色部分有两块，左边涂色部分向右平移，两块涂色部分组成正方 形，测量得到边长是 3厘米，据此解答。 【详解】测得正方形边长是 3厘米 3×3＝9（平方厘米） 【考点八】面积法其六：拼接法。 【方法点拨】 拼接法，即在部分扇形半径相等的情况下，可以通过移动扇形，把扇形拼接成一 个整体。 【典型例题】 下图中阴影部分面积之和是多少平方厘米？ 23 / 63 【答案】6.28平方厘米 【分析】三个扇形可以拼成一个半径为 2厘米的半圆，那么阴影部分的面积＝半 圆的面积，然后根据圆的面积公式 S＝πr2把数据代入公式解答即可。 【详解】3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（平方厘米） 所以，图中阴影部分的面积之和是 6.28平方厘米。 【对应练习 1】 计算下图中阴影部分的面积。 【答案】39.25 2cm 【详解】3.14× 25 ÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25 2cm 【对应练习 2】 计算阴影部分面积。（ 取 3.14） 【答案】12.56平方厘米 24 / 63 【分析】根据三角形内角和 180度以及扇形的特点，两个圆的半径相等，图中两 个扇形加起来正好是一个圆心角是 90度的扇形，即一个圆的 1 4 。据此计算。 【详解】3.14×42× 1 4 ＝3.14×16× 1 4 ＝12.56（平方厘米） 【对应练习 3】 求涂色部分的面积。 【答案】14.13cm2； 13.76cm2 【分析】通过图可知，由于三角形的内角和是 180°，所以第一个图形的三个扇 形拼接在一起正好能够构成一个半径是 3厘米的半圆，根据半圆的面积公式：S ＝πr2÷2，把数代入即可求解； 通过图可知，两个半径构成一个正方形边长，即圆的半径：8÷2＝4厘米，正方 形里面相当于 4个 1 4 的圆，那拼在一起相当于一个半径是 4厘米的圆，用正方形 的面积－4个 1 4 圆的面积＝涂色部分面积；根据正方形的面积公式：边长×边长， 圆的面积公式：S＝πr2，把数代入即可求解。 【详解】第一个图形：3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（cm2） 第二个图形：8×8－3.14×（8÷2）2 ＝64－3.14×42 ＝64－3.14×16 ＝64－50.24 25 / 63 ＝13.76（cm2） 【考点九】面积法其七：旋转法（翻转法）。 【方法点拨】 旋转法（翻转法），即根据图形的特征，将原图的某一部分进行翻转或旋转，最 后得到便于求解的新图形。 【典型例题】 求下图中阴影部分的周长和面积。（单位：cm） 【答案】34.26cm； 214.13cm 【分析】结合图示可知， ①阴影部分周长由 6段弧及一条正方形的边长组成，且每段弧长是整个圆的周长 的 1 4 ，故可列式为：6 6 3.14 4 6    ； ②将左边的阴影部分绕正方形的中心顺时针旋转 180°，恰好与右边的合为半圆， 即阴影部分面积就是半圆的面积，故可列式为： 23.14 (6 2) 2   。 【详解】6 6 3.14 4 6    6 18.84 4 6    6 28.26  34.26( )cm 23.14 (6 2) 2   3.14 9 2   214.13( )cm 【对应练习 1】 求如图阴影部分的面积。（单位：厘米） 26 / 63 【答案】38.465平方厘米 【分析】把左上角扇形阴影部分移动到右下角，和圆环阴影部分组合在一起，两 块阴影部分的面积整体可以看成是一个半径为 5＋2＝7（厘米）的圆的面积的 1 4 ， 根据圆的面积 S＝πr2，把数据代入求解即可。 【详解】  21 3.14 5 24    21 3.14 7 4    0.785 49  38.465 （平方厘米） 【对应练习 2】 如图，求图中阴影部分面积。（单位：厘米）（小圆半径为 1厘米） 【答案】3.14平方厘米 【分析】将阴影部分拼在一起可知，阴影部分的面积是一个半径为（1＋1）厘米 的圆面积的 1 4 ，根据圆的面积公式求解即可。 【详解】1＋1＝2（厘米） 3.14×22× 1 4 ＝3.14×4× 1 4 27 / 63 ＝12.56× 1 4 ＝3.14（平方厘米） 阴影部分的面积是 3.14平方厘米。 【对应练习 3】 如图，点 P是正方形 ABCD内部的一点，连接 PA、PB、PC。将 PAB 绕着点 B 顺时针旋转 90°到 P CB  的位置。设 AB m ，PB n ， m n ，求 PAB 旋转到 P CB  的过程中边 PA所扫过的区域（图中阴影部分）的面积。 【答案】 1 4 π（m²－n²） 【分析】因为将 PAB 绕点 B顺时针旋转 90°到 P CB  ，所以 PAB 和 P CB  形状大 小均相等，所以 PAB 的面积＝ P CB  的面积，则阴影部分的面积等于以 AB为半 径的 1 4 圆的面积减去以 PB为半径的 1 4 圆的面积。据此即可求解。 【详解】以 AB为半径的 1 4 圆的面积： 1 4 ×π×m×m＝ 1 4 πm²； 以 PB为半径的 1 4 圆的面积： 1 4 ×π×n×n＝ 1 4 πn²； 阴影部分面积＝ 1 4 πm²－ 1 4 πn²＝ 1 4 π（m²－n²）。 答： PAB 旋转到 P CB  的过程中边 PA所扫过的区域（图中阴影部分）的面积是 1 4 π（m²－n²）。 【点睛】利用旋转后图形的大小和形状都不改变这个关键。再根据面积之间的关 系求出阴影部分面积。 28 / 63 【考点十】面积法其八：割补法。 【方法点拨】 割补法，即分割拼补的思路，是把不规则的阴影面积通过分割和拼补，使之变为 一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形。 【典型例题】 求下列阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】16cm2 【分析】通过对称，阴影部分可以拼成一个梯形，根据梯形面积＝（上底＋下底） ×高÷2，列式计算即可。 【详解】8÷2＝4（cm） （6－4＋6）×4÷2 ＝8×4÷2 ＝16（cm2） 【对应练习 1】 求阴影部分的面积（图中的三角形都是等腰直角三角形）。（单位：分米） 【答案】12.5平方分米 【分析】根据图形的特点，可以通过“旋转”把阴影部分拼在一起，阴影部分的面 积等于大三角形的面积减去正方形的面积，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2， 大三角形的高就是圆的直径，根据直角三角形斜边上的高等于斜边的一半可知， 大三角形的高为 10÷2＝5分米，则正方形的面积等于两个底为 5分米，高为（5÷2） 29 / 63 分米的三角形的面积；据此解答即可。 【详解】如图所示： 1 2 ×10×5－2× 1 2 ×（5÷2）×5 ＝25－2× 12 ×2.5×5 ＝25－1×2.5×5 ＝25－12.5 ＝12.5（平方分米） 【对应练习 2】 求下面图中涂色部分的面积。 【答案】8平方厘米 【分析】用“割补法”将右上角阴影部分移到左上角，那么此时阴影部分的面积为 左上角三角形的面积，即大长方形面积的 1 4，长方形的长为 8厘米，长为半圆的 直径，宽为半圆的半径，所以宽为：8÷2＝4（厘米），“长×宽÷4”即可求出阴影 部分面积。 【详解】由分析可知： 8÷2＝4（厘米） 8×4÷4 ＝32÷4 ＝8（平方厘米） 所以图中涂色部分的面积为 8平方厘米。 【对应练习 3】 求图中阴影部分的面积。 30 / 63 【答案】114cm2 【分析】把左下角的阴影平均分成两部分，分别移动到左上角和右上角，如图所 示： ，通过图可知，这个阴影部分的面积正好是圆面 积的 1 4 ，再减去一个直角边是 20cm的等腰直角三角形，根据圆的面积公式：S ＝πr2，三角形的面积公式：底×高÷2，把数代入即可求解。 【详解】如下图所示： 3.14×20×20÷4－20×20÷2 ＝314－200 ＝114（cm2） 阴影部分的面积是 114cm2。 【考点十一】面积法其九：重组法。 【方法点拨】 重组法，即根据具体情况和计算上的需要把原来图形拆开，并加以重新组合，使 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年8月19日 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元圆·总集篇·十六种阴影部分面积法【十八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元圆·总集篇·十六种阴影部分面积法 专题内容 本专题内容考察含圆的不规则或组合图形周长以及阴影部分图形的面积，一共总结了十六种常见的求阴影部分图形面积方法，属于求不规则图形、组合图形、阴影部分图形面积的总集篇。 总体评价 ＊ 讲解建议 本专题考点和考题综合性极强，难度极大，其中大多数以思维拓展题型为主，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】不规则图形或组合图形的周长其一：基础型 4 【考点二】不规则图形或组合图形的周长其二：拓展型 5 【考点三】面积法其一：直接求法（公式法） 6 【考点四】面积法其二：相加法（S阴影=S1+S2） 8 【考点五】面积法其三：相减法（S阴影=S整体-S空白） 9 【考点六】面积法其四：加减混合与“混合型图形”（S阴影=S1+S2-S3） 10 【考点七】面积法其五：平移法 12 【考点八】面积法其六：拼接法 13 【考点九】面积法其七：旋转法（翻转法） 15 【考点十】面积法其八：割补法 16 【考点十一】面积法其九：重组法 18 【考点十二】面积法其十：整体代换法 19 【考点十三】面积法其十一：辅助线法 22 【考点十四】面积法其十二：容斥原理（重叠、分层思路） 24 【考点十五】面积法其十三：差不变原理（差不变思想） 25 【考点十六】面积法其十四：图示法（羊吃草问题） 28 【考点十七】面积法其十五：平移运动问题＊ 31 【考点十八】面积法其十六：旋转运动问题＊ 32 【第三篇】典型例题篇 【考点一】不规则图形或组合图形的周长其一：基础型。 【方法点拨】 求不规则或组合图形的周长，要寻找该图形是由哪些边组合而成的，将这些边的长度相互加起来，注意观察弧形是否可以组合一起构成半圆或整圆。 【典型例题】 求阴影部分的周长。（单位：cm）（取3.14） 【对应练习1】 求阴影部分的周长。（单位：cm) 【对应练习2】 如图，已知圆心为O的半圆里还有两个较小的半圆，其中半圆A的半径为3cm，半圆B的半径为1cm，求阴影部分的周长。（单位：cm) 【对应练习3】 求阴影部分的周长。（单位：dm) 【考点二】不规则图形或组合图形的周长其二：拓展型。 【方法点拨】 求不规则或组合图形的周长，要寻找该图形是由哪些边组合而成的，将这些边的长度相互加起来，注意观察弧形是否可以组合一起构成半圆或整圆。 【典型例题】 将三根同样粗细的圆木像下图这样用铁丝在两头各捆一圈，如果每根圆木横截面的直径都是4分米，那么至少需要多长的铁丝？（接头处忽略不计） 【对应练习1】 如图，将两根直径是15cm的钢管用绳子捆在一起，每周需要绳子多少厘米？（接口处不计） 【对应练习2】 用一根绳子把4个酒瓶捆扎起来（如下图），酒瓶的外直径是6厘米，打结处需要15厘米长的绳子。问这根绳子长多少厘米？ 【对应练习3】 把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方向看）的形状，图中每个圆的直径都为3厘米。 （1）像这样继续捆下去，第④组至少需要（ ）厘米的绳子。请说明理由。 （2）按照这样的方法继续捆下去，捆n组至少需要（ ）厘米的绳子。 【考点三】面积法其一：直接求法（公式法）。 【方法点拨】 直接求法，即根据已知条件，从整体出发，利用面积相关公式可以直接求出阴影部分的面积，是最为简单的求面积方法，熟练掌握图形面积公式是解决问题的关键。 【典型例题】 求圆的面积和周长。（单位：m)    【对应练习1】 求圆的周长和面积。（单位：厘米） 【对应练习2】 求下面各圆的周长和面积。（单位：cm)    【对应练习3】 求下面各圆的周长。（单位：cm) 【考点四】面积法其二：相加法（S阴影=S1+S2）。 【方法点拨】 相加法，即加法分割思路，把所求阴影部分面积分割成几块能用公式计算的规则图形（三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形），分别计算出面积，并相加得出阴影部分的面积。 【典型例题】 求下面图形的周长和面积。（单位：cm) 【对应练习1】 图中爱心是由一个正方形和两个半圆拼成的，请计算出它的周长和面积。（单位：cm) 【对应练习2】 求下面图形的周长和面积。（单位：cm) 【对应练习3】 计算如图图形的周长和面积。（单位：cm) 【考点五】面积法其三：相减法（S阴影=S整体-S空白）。 【方法点拨】 相减法，即减法拓展思路，是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。 【典型例题1】基础型。 求图中阴影部分的面积。（单位：cm） 【典型例题2】提高型。 如图，直角三角形ABC的面积为12平方厘米，半圆以BC为直径，求阴影部分的面积。 【对应练习1】 求阴影部分的面积。（单位：cm） 【对应练习2】 计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm) 【对应练习3】 计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：m) 【考点六】面积法其四：加减混合与“混合型图形”（S阴影=S1+S2-S3）。 【方法点拨】 含圆的混合型图形，即在解决问题的过程需要多次使用相加法或相减法来求阴影面积，这些图形往往看起来比较复杂，计算起来也较为困难，可以首先观察图形，然后合理分解成部分可求的图形，最后再相加或相减。 【典型例题】 已知正方形的边长是8cm，计算图中阴影部分的面积。 【对应练习1】 如图，O为圆心，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。 【对应练习2】 如图，两个相连的正方形的边长是8厘米和3厘米，求阴影部分的面积。（结果保留） 【对应练习3】 如图中的圆是以O为圆心、半径是10厘米的圆，求阴影部分的面积。 【考点七】面积法其五：平移法。 【方法点拨】 平移法，即通过把部分图形平行移动可以把不规则图形转变为已学的规则图形，进而求出图形的面积。 【典型例题】 求阴影部分的周长和面积。（π取3.14） 【对应练习1】 求涂色部分的面积。（单位：cm。） 【对应练习2】 求阴影部分的面积。    【对应练习3】 先量出必要的数据，再计算涂色部分的面积。    【考点八】面积法其六：拼接法。 【方法点拨】 拼接法，即在部分扇形半径相等的情况下，可以通过移动扇形，把扇形拼接成一个整体。 【典型例题】 下图中阴影部分面积之和是多少平方厘米？ 【对应练习1】 计算下图中阴影部分的面积。 【对应练习2】 计算阴影部分面积。（取3.14） 【对应练习3】 求涂色部分的面积。 【考点九】面积法其七：旋转法（翻转法）。 【方法点拨】 旋转法（翻转法），即根据图形的特征，将原图的某一部分进行翻转或旋转，最后得到便于求解的新图形。 【典型例题】 求下图中阴影部分的周长和面积。（单位：cm） 【对应练习1】 求如图阴影部分的面积。（单位：厘米） 【对应练习2】 如图，求图中阴影部分面积。（单位：厘米）（小圆半径为1厘米） 【对应练习3】 如图，点P是正方形ABCD内部的一点，连接PA、PB、PC。将绕着点B顺时针旋转90°到的位置。设，，，求旋转到的过程中边PA所扫过的区域（图中阴影部分）的面积。 【考点十】面积法其八：割补法。 【方法点拨】 割补法，即分割拼补的思路，是把不规则的阴影面积通过分割和拼补，使之变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形。 【典型例题】 求下列阴影部分的面积。（单位：cm） 【对应练习1】 求阴影部分的面积（图中的三角形都是等腰直角三角形）。（单位：分米）    【对应练习2】 求下面图中涂色部分的面积。 【对应练习3】 求图中阴影部分的面积。     【考点十一】面积法其九：重组法。 【方法点拨】 重组法，即根据具体情况和计算上的需要把原来图形拆开，并加以重新组合，使之变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形，然后结合相减法求出阴影面积。 【典型例题】 如图，大圆半径R=8厘米，小圆的半径r=4厘米．求阴影部分的面积。 【对应练习1】 求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【对应练习2】 求阴影部分的面积。（单位：cm） 如图，正方形ABCD的面积是36平方厘米，求阴影部分的面积． 【考点十二】面积法其十：整体代换法。 【方法点拨】 整体代换法，即通过平面图形之间的等量关系，将图形面积整体代换，再根据相应面积公式求出面积。 【典型例题1】圆与正方形。 如图，以圆的半径为边长的正方形面积是10平方厘米，则圆的面积是（ ）平方厘米。 【对应练习1】 下中正方形部分是一个水池，其余部分是草坪。已知正方形的面积是225m2，草坪的面积是多少平方米？ 【对应练习2】 已知下图正方形的面积是50平方分米，圆的面积是（ ）平方分米。 【对应练习3】 如图，已知正方形的面积是9 cm2，这个圆的面积是（ )cm2。 【对应练习4】 如图中正方形的面积是16平方厘米，圆形的面积是（ ）平方厘米。 【典型例题2】圆与长方形。 如图，圆的面积与长方形的面积相等，圆的半径是3cm，长方形的长是（ )cm。 【对应练习1】 如图，圆的面积和长方形的面积相等，如果圆的半径是6厘米，那么长方形的周长是多少厘米？ 【对应练习2】 如图所示，圆的周长是18.84厘米，圆的面积等于长方形的面积，那么阴影部分的周长是多少厘米？ 【对应练习3】 如图，长方形面积和圆面积相等，已知圆的半径是3厘米，求阴影部分的面积和周长。 【典型例题3】圆与三角形。 如图中，直角三角形（阴影部分）的面积是12平方厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。 【对应练习1】 下图中等腰直角三角形的两条直角边正好是半径，三角形的面积是20平方厘米，图中空白部分的面积是多少平方厘米？ 【对应练习2】 图中，三角形的面积是8平方厘米，求涂色部分的面积。 【对应练习3】 如图，已知三角形OAB的面积是18平方厘米，求阴影部分的面积。 【考点十三】面积法其十一：辅助线法。 【方法点拨】 辅助线法，即在通常手段无法求出阴影部分面积时，需要尝试使用添加辅助线的方法解决。 【典型例题】 如图，三角形ABC是等腰直角三角形，点D是半圆周的中点，BC是半圆的直径，阴影部分的面积是多少？（单位：厘米） 【对应练习1】 求图中阴影部分的周长和面积。（π取3.14） 【对应练习2】 计算下图中阴影部分的面积。（单位：cm)                       【对应练习3】 数学思考。 如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分的面积。（单位：平方厘米） 【考点十四】面积法其十二：容斥原理（重叠、分层思路）。 【方法点拨】 容斥原理，即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。 【典型例题2】 如图（单位：厘米），四边形ABCD是长方形，其中弧AE以点B为圆心，AB的长为半径，弧AF的点D为圆心，AD的长为半径。计算阴影部分的面积。 【对应练习1】 如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米） 【对应练习2】 如图，三角形ABC是等腰直角三角形，，弧AD是以CA为半径的圆的一部分，，求图中阴影部分的面积。 【对应练习3】 等腰直角三角形ABC的面积是8平方厘米，求阴影部分的面积． 【考点十五】面积法其十三：差不变原理（差不变思想）。 【方法点拨】 差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。 【典型例题1】其一。 如图，是一个等腰直角三角形和一个半径为4厘米、圆心角为90°的扇形拼成的图形，利用差不变思想计算下图中两个阴影部分的差是多少平方厘米？ 【典型例题2】其二。 如图，半圆的直径是10厘米，阴影部分甲比乙的面积少1.25平方厘米，求直角三角形ABO的边OA的长。 【典型例题3】其三。 如下图，甲、乙两个阴影部分面积相等，BC长是8厘米，求AB长是多少厘米？（本题π取值为3） 【对应练习1】 下图中，涂色部分甲比乙的面积大。求的长。 【对应练习2】 如图，三角形ABC是直角三角形，AB长20厘米，如果阴影（I）的面积比阴影（II）的面积大37平方厘米，求BC的长。 【对应练习3】 如图，已知：S1比S2多28平方厘米，求BC长多少厘米？ 【对应练习4】 如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小23平方厘米。求BC的长度。 【考点十六】面积法其十四：图示法（羊吃草问题）。 【方法点拨】 图示法，即先根据题意，画出图形的轨迹，再求面积。 【典型例题1】旋转作图。 在等腰直角三角形中，角C是直角，厘米，以C点为中心逆时针旋转90°。求线段扫过的面积。 【对应练习】 如图，一枚半径是1厘米的游戏币沿着边长是4厘米的等边三角形的边绕一圈，它扫过的面积是多少平方厘米？ 【典型例题2】羊吃草问题其一。 在一块草坪地的木桩上拴着一只羊，绳长2米，这只羊最多能吃着草地的面积是多少平方米？ 【典型例题3】羊吃草问题其二。 草场上有一个长20m，宽10m 的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30m的绳子拴着一只羊（见右图），这只羊能够活动的范围有多大？ 【典型例题3】羊吃草问题其三。 墙角O点处有一木桩上拴着一只羊（如图），拴羊的绳子长4m，墙角两边的墙长2m。问这只羊能吃到草的面积最多是多少？ 【对应练习1】 如图，一只狗被缚在一建筑物的墙角O处，这个建筑物是边长600厘米的正方形，缚狗的绳子长20米．现在狗从A点出发，将绳拉紧顺时针跑，可跑多少米？ 【对应练习2】 一块正方形的草地，边长是3米，在两个对角的顶点处各种一棵树，树上各拴一只羊，拴羊的绳子都是3米。这两只羊都能吃到的草的面积有多大？ 【对应练习3】 一块正方形的草地，边长4米，一对角线的两个顶点各有一棵树，树上各拴着一只羊，栓羊的绳子长都是4米，两只羊都能吃到草的草地的面积是多少平方米？ 【考点十七】面积法其十五：平移运动问题。＊ 【方法点拨】 在平移运动过程中，图形的形状与面积都可能会发生变化，关键在于理解运动变换过程的规律，画出不同的示意图。 【典型例题】 如图所示，正方形和圆相距30厘米，正方形的边长和圆的直径都是10厘米，正方形沿着直线向右做平移运动，圆沿着直线向左做平移运动。正方形每秒运动3厘米，比圆的速度慢。当圆和正方形完全重叠时，没有重合部分的面积是多少？正方形与圆同时开始运动到最后完全分开经过的时间是多少秒？ 【对应练习1】 已知一个半圆工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径贴地面，再将它沿地面平移60米，半圆的直径为6米，则圆心O所经过的路线的长为( )米。 【对应练习2】 如下图所示，在相距12cm的两条平行线m和n之间，有一个边长为8厘米的正方形和直径为8厘米的圆O。正方形保持不动，圆O沿直线m以每秒2厘米的速度向右平移。 （1）在移动的过程中，圆O与正方形最大的重叠部分面积是多少？ （2）如图（2），圆和正方形有重叠部分的时间持续多少秒？ 【考点十八】面积法其十六：旋转运动问题。＊ 【方法点拨】 在旋转运动过程中，图形的形状与面积都可能会发生变化，关键在于理解运动变换过程的规律，画出不同的示意图。 【典型例题】 （桐庐县）物体平移的速度常用单位时间移动的距离来表示，如汽车每小时行60千米；物体旋转的速度常用单位时间转动的圈数或角度来表示，如钟面上的时针每天转2圈，或每小时转30°，分针每小时转1圈或每分钟转6°，还有电风扇每秒转2圈或720°（每秒转2圈，1圈是360°）． 我们在科学课中研究过一些简单的机械，下面是一个传送系统，由主动轮、从动轮和传送带组成，可以将货物从B传送到A．主动轮每秒转1圈． （1）观察该系统，如果主动轮顺时针转180°，那么从动轮就会逆时针转　 　． （2）这个系统把货物从B传送到A，大约要多少秒？（计算时，圆周率π取3） 【对应练习1】 如图所示，大圆不动，小圆贴合着大圆沿顺时针方向不断滚动。小圆的半径是，大圆的半径是。 （1）当小圆从大圆上的点出发，沿着大圆滚动，第一次回到点时，小圆的圆心走过路线的长度是多少厘米？ （2）小圆未滚动时，小圆上的点与大圆上的点重合，从小圆滚动后开始计算，当点第10次与大圆接触时，点更接近大圆上的点( )。（括号里填、、或。） 【对应练习2】 （1）图1中正方形的边长是4厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（л取3.14） （2）图2中等边三角形的边长是3厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（л取3.14）    【对应练习3】 如图，有一个电动玩具，它有一个8.28×5.14的长方形盘（单位：cm）和一个半径为1厘米的小圆盘（盘中画有娃娃脸），它们的连接点为A，E．如果小圆盘沿着长方形内壁，从A点出发不停的滚动（无滑动），直到回到原来位置． （1）小圆盘（娃娃脸）在B，C，D的位置是怎样的？请一一画出示意图． （2）小圆盘共自转了几圈？ （3）计算小圆盘绕长方形盘滚动一周，扫过长方形盘的面积． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年8月19日 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元圆·总集篇·十六种阴影部分面积法【十八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元圆·总集篇·十六种阴影部分面积法 专题内容 本专题内容考察含圆的不规则或组合图形周长以及阴影部分图形的面积，一共总结了十六种常见的求阴影部分图形面积方法，属于求不规则图形、组合图形、阴影部分图形面积的总集篇。 总体评价 ＊ 讲解建议 本专题考点和考题综合性极强，难度极大，其中大多数以思维拓展题型为主，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】不规则图形或组合图形的周长其一：基础型 4 【考点二】不规则图形或组合图形的周长其二：拓展型 6 【考点三】面积法其一：直接求法（公式法） 9 【考点四】面积法其二：相加法（S阴影=S1+S2） 12 【考点五】面积法其三：相减法（S阴影=S整体-S空白） 15 【考点六】面积法其四：加减混合与“混合型图形”（S阴影=S1+S2-S3） 17 【考点七】面积法其五：平移法 20 【考点八】面积法其六：拼接法 22 【考点九】面积法其七：旋转法（翻转法） 25 【考点十】面积法其八：割补法 28 【考点十一】面积法其九：重组法 30 【考点十二】面积法其十：整体代换法 33 【考点十三】面积法其十一：辅助线法 38 【考点十四】面积法其十二：容斥原理（重叠、分层思路） 42 【考点十五】面积法其十三：差不变原理（差不变思想） 45 【考点十六】面积法其十四：图示法（羊吃草问题） 49 【考点十七】面积法其十五：平移运动问题＊ 54 【考点十八】面积法其十六：旋转运动问题＊ 58 【第三篇】典型例题篇 【考点一】不规则图形或组合图形的周长其一：基础型。 【方法点拨】 求不规则或组合图形的周长，要寻找该图形是由哪些边组合而成的，将这些边的长度相互加起来，注意观察弧形是否可以组合一起构成半圆或整圆。 【典型例题】 求阴影部分的周长。（单位：cm）（取3.14） 解析： 大半圆弧：3.14×12÷2 ＝37.68÷2 ＝18.84（cm） 小半圆弧：3.14×8÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（cm） 18.84＋12.56＋（12－8） ＝31.4＋4 ＝35.4（cm） 【对应练习1】 求阴影部分的周长。（单位：cm) 解析： 3.14×(3+5)÷2+3.14×3÷2+3.14×5÷2 =12.56+4.71+7.85 =25.12(cm) 【对应练习2】 如图，已知圆心为O的半圆里还有两个较小的半圆，其中半圆A的半径为3cm，半圆B的半径为1cm，求阴影部分的周长。（单位：cm) 解析： 圆O的直径：3×2＋1×2＝8（厘米）； 圆A的直径：3×2＝6（厘米）； 圆B的直径：1×2＝2（厘米） 阴影部分的周长：3.14×8÷2＋3.14×6÷2＋3.14×2÷2 ＝12.56＋9.42＋3.14 ＝25.12（厘米） 【对应练习3】 求阴影部分的周长。（单位：dm) 解析： 24×2＋16＋3.14×16÷2 ＝48＋16＋25.12 ＝64＋25.12 ＝89.12（dm） 【考点二】不规则图形或组合图形的周长其二：拓展型。 【方法点拨】 求不规则或组合图形的周长，要寻找该图形是由哪些边组合而成的，将这些边的长度相互加起来，注意观察弧形是否可以组合一起构成半圆或整圆。 【典型例题】 将三根同样粗细的圆木像下图这样用铁丝在两头各捆一圈，如果每根圆木横截面的直径都是4分米，那么至少需要多长的铁丝？（接头处忽略不计） 解析： （4×3＋3.14×4）×2 ＝（12＋12.56）×2 ＝24.56×2 ＝49.12（分米） 答：至少需要49.12分米的铁丝。 【对应练习1】 如图，将两根直径是15cm的钢管用绳子捆在一起，每周需要绳子多少厘米？（接口处不计） 解析： 3.14×15＋15×2 ＝47.1＋30 ＝77.1（cm） 答：每周需要绳子77.1厘米。 【对应练习2】 用一根绳子把4个酒瓶捆扎起来（如下图），酒瓶的外直径是6厘米，打结处需要15厘米长的绳子。问这根绳子长多少厘米？ 解析： 6×4＋3.14×6＋15 ＝24＋18.84＋15 ＝57.84（厘米） 答：这根绳子长57.84厘米。 【对应练习3】 把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方向看）的形状，图中每个圆的直径都为3厘米。 （1）像这样继续捆下去，第④组至少需要（ ）厘米的绳子。请说明理由。 （2）按照这样的方法继续捆下去，捆n组至少需要（ ）厘米的绳子。 【答案】（1）57.42，理由见详解 （2）（9.42＋12n） 【分析】如下图所示，第1组中，四个角落为4个的圆，其可以组成一个完整的圆，可以算出一个圆的周长，其次在两个圆中间的部分，其长度是由两个圆的半径组成，则可以组成为一个直径，图中有4条边，那么共有4条直径，则周长为：一个圆的周长＋4条直径的长度； 第2组与第1组的区别为每边中间多了一个圆，即每条边多了一条直径，则比第一组多了4条直径，则周长为：一个圆的周长＋8条直径的长度 第3组与第2组比较，每条边又多了1个圆，则周长比第2组又多了4条直径，则周长为：一个圆的周长＋12条直径的长度； 由以上分析可得，每增加一组都会增加4条直径，第1组为4条直径，第2组为2×4条直径，第3组为3×4条直径，由此规律可得第n组为n×4条直径，则可以推算出第n组的周长为：一个圆的周长＋4n条直径的长度，已知一个圆的直径为3厘米，则可以推算出第n组的周长为：一个圆的周长＋3×4n，即一个圆的周长＋12n，据此即可解答。 【详解】（1）理由： 第①组：3×3.14＋12×1 ＝9.42＋12 ＝21.42（厘米） 第②组 3×3.14＋12×2 ＝9.42＋24 ＝33.42（厘米） 第③组 3×3.14＋12×3 ＝9.42＋36 ＝45.42（厘米） 第④组 3×3.14＋12×4 ＝9.42＋48 ＝57.42（厘米） （2）3×3.14＋3×4×n ＝（9.42＋12n）厘米 【点睛】此题难度较大，找到图中每增加一组与增加直径的关系为解题的关键。 【考点三】面积法其一：直接求法（公式法）。 【方法点拨】 直接求法，即根据已知条件，从整体出发，利用面积相关公式可以直接求出阴影部分的面积，是最为简单的求面积方法，熟练掌握图形面积公式是解决问题的关键。 【典型例题】 求圆的面积和周长。（单位：m)    【答案】12.56平方米；12.56米 【分析】根据题意可知，圆的直径为4米，根据圆的周长公式：C＝，代入数据求出圆的周长；圆的半径为（4÷2）米，根据圆的面积公式：S＝，代入数据求出圆的面积。 【详解】4÷2＝2（米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 3.14×4＝12.56（米） 即圆的面积是12.56平方米，圆的周长是12.56米。 【对应练习1】 求圆的周长和面积。（单位：厘米） 【答案】20.096厘米；32.1536平方厘米； 28.26厘米；63.585平方厘米 【分析】根据圆的周长公式：C＝或C＝，圆的面积公式：S＝，已知图1圆的半径为3.2厘米，图2的直径为9厘米，半径为（9÷2）厘米，代入到公式中，分别求出圆的周长和面积。 【详解】2×3.14×3.2 ＝6.28×3.2 ＝20.096（厘米） 3.14×3.22 ＝3.14×10.24 ＝32.1536（平方厘米） 图1中圆的周长是20.096厘米，面积是32.1536平方厘米。 3.14×9＝28.26（厘米） 3.14×（9÷2）2 ＝3.14×4.52 ＝3.14×20.25 ＝63.585（平方厘米） 图2中圆的周长是28.26厘米，面积是63.585平方厘米。 【对应练习2】 求下面各圆的周长和面积。（单位：cm)    【答案】左图：周长是31.4厘米；面积是78.5平方厘米 右图：周长是18.84厘米；面积是28.26平方厘米 【分析】（1）已知直径，可根据圆的周长求出圆的周长；根据圆的面积求出圆的面积。 （2）已知半径，可根据圆的周长求出圆的周长；根据圆的面积求出圆的面积。 【详解】左图： 周长：3.14×10＝31.4（厘米） 面积：3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 右图： 周长：2×3.14×3＝18.84（厘米） 面积：3.14×33 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 【对应练习3】 求下面各圆的周长。（单位：cm) 【答案】18.84cm；18.84cm；31.4cm 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr、C＝πd，代入数据计算求解。 【详解】（1）2×3.14×3＝18.84（cm） 圆的周长是18.84cm。 （2）3.14×6＝18.84（cm） 圆的周长是18.84cm。 （3）2×3.14×5＝31.4（cm） 圆的周长是31.4cm。 【考点四】面积法其二：相加法（S阴影=S1+S2）。 【方法点拨】 相加法，即加法分割思路，把所求阴影部分面积分割成几块能用公式计算的规则图形（三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形），分别计算出面积，并相加得出阴影部分的面积。 【典型例题】 求下面图形的周长和面积。（单位：cm) 【答案】63.7cm；218.5cm2 【分析】组合图形的周长＝长方形周长＋圆的周长，长方形周长＝（长＋宽）×2，圆的周长＝2πr；组合图形的面积＝长方形面积＋圆的面积，长方形面积＝长×宽，圆的面积＝πr2，据此列式计算。 【详解】（14＋10）×2＋2×3.14×10× ＝24×2＋15.7 ＝48＋15.7 ＝63.7（cm） 14×10＋3.14×102× ＝140＋3.14×100× ＝140＋78.5 ＝218.5（cm2） 【对应练习1】 图中爱心是由一个正方形和两个半圆拼成的，请计算出它的周长和面积。（单位：cm) 【答案】20.56cm；28.56cm2 【分析】组合图形的周长＝圆的周长＋正方形边长×2，圆的周长＝πd；组合图形的面积＝圆的面积＋正方形面积，圆的面积＝πr2，正方形面积＝边长×边长，据此列式计算。 【详解】3.14×4＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 3.14×（4÷2）2＋4×4 ＝3.14×22＋16 ＝3.14×4＋16 ＝12.56＋16 ＝28.56（cm2） 【对应练习2】 求下面图形的周长和面积。（单位：cm) 【答案】周长：245.6厘米；面积：3656平方厘米 【分析】组合图形的周长是由一个直径为40厘米的圆的周长和两条长为60厘米的长组合而成，利用圆的周长公式求出这个圆的周长，再加上（60×2）厘米，即可求出组合图形的周长；组合图形的面积是由一个半径为（40÷2）厘米的圆的面积和一个长为60厘米，宽为40厘米的长方形的面积组合而成，分别利用圆的面积和长方形的面积公式求出这两个图形的面积，再相加即可求出组合图形的面积。 【详解】3.14×40＋60×2 ＝125.6＋120 ＝245.6（厘米） 3.14×（40÷2）2＋60×40 ＝3.14×202＋2400 ＝3.14×400＋2400 ＝1256＋2400 ＝3656（平方厘米） 即图形的周长是245.6厘米，面积是3656平方厘米。 【对应练习3】 计算如图图形的周长和面积。（单位：cm) 【答案】35.7厘米；89.25平方厘米 【分析】通过观察可知本题的图形可以分成一个半圆形和一个长方形，计算周长时，计算出半径为5厘米的一个圆周长的一半，再加上长方形的一个长和两个宽，计算面积时，计算出一个半圆的面积再加上一个长方形的面积即可。 【详解】周长：3.14×2×5÷2＋5×4 ＝15.7＋20 ＝35.7（厘米） 面积：3.14×52÷2＋2×5×5 ＝3.14×25÷2＋2×5×5 ＝39.25＋50 ＝89.25（平方厘米） 图形的周长为35.7厘米；面积为89.25平方厘米。 【考点五】面积法其三：相减法（S阴影=S整体-S空白）。 【方法点拨】 相减法，即减法拓展思路，是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。 【典型例题1】基础型。 求图中阴影部分的面积。（单位：cm） 解析： 3.14×82÷2﹣（8+8）×8÷2 =3.14×64÷2﹣16×8÷2 =100.48﹣64 =36.48（平方厘米） 答：阴影部分的面积是36.48平方厘米。 【典型例题2】提高型。 如图，直角三角形ABC的面积为12平方厘米，半圆以BC为直径，求阴影部分的面积。 解析： 观察图形可知，直角三角形也是等腰三角形，所以BC＝AC＝半圆的直径d＝2r；根据“三角形的面积＝底×高÷2”可求出半径的平方，代入圆的面积公式S＝πr2，再除以2，即半圆的面积；根据阴影部分的面积＝半圆的面积－直角三角形ABC面积的一半，代入数据计算即可。 解：设半圆的半径为r厘米。 2r×2r÷2＝12 4r2÷2＝12 2r2＝12 r2＝12÷2 r2＝6 阴影部分的面积： 3.14×6÷2－12÷2 ＝18.84÷2－6 ＝9.42－6 ＝3.42（平方厘米） 答：阴影部分的面积是3.42平方厘米。 【对应练习1】 求阴影部分的面积。（单位：cm） 解析： 8÷2=4（厘米） （8+12）×4÷2﹣3.14×42÷2 =40﹣25.12 =14.88（平方厘米） 答：阴影部分的面积是14.88平方厘米。 【对应练习2】 计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm) 解析： ×3.14× [（2＋4）÷2]2－×3.14×（2÷2）2－×3.14×（4÷2）2 ＝×3.14×9－×3.14×1－×3.14×4 ＝×3.14×（9－1－4） ＝×3.14×4 ＝6.28（cm2） 【对应练习3】 计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：m) 解析： 6×6－3.14×（6÷2）2 ＝36－3.14×32 ＝36－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74（m2） 【考点六】面积法其四：加减混合与“混合型图形”（S阴影=S1+S2-S3）。 【方法点拨】 含圆的混合型图形，即在解决问题的过程需要多次使用相加法或相减法来求阴影面积，这些图形往往看起来比较复杂，计算起来也较为困难，可以首先观察图形，然后合理分解成部分可求的图形，最后再相加或相减。 【典型例题】 已知正方形的边长是8cm，计算图中阴影部分的面积。 【答案】38.88cm2 【详解】略 【对应练习1】 如图，O为圆心，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。 【答案】20.56平方厘米 【分析】如图，将阴影部分进行拆分，先计算弓形面积，再计算三角形面积，相加的阴影部分的面积。 【详解】如图所示，弓形面积可以用圆的面积减去三角形面积，右图三角形面积直接利用底和高来计算； （厘米） （平方厘米） 【对应练习2】 如图，两个相连的正方形的边长是8厘米和3厘米，求阴影部分的面积。（结果保留） 【答案】 【分析】阴影部分包括大正方形里面的和小正方形里面的两部分。其中，大正方形里面的阴影部分等于半径为8厘米的扇形面积减去空白小扇形（半径为8－3＝5厘米）的面积，小正方形里面的阴影部分等于正方形的面积减去半径为3厘米的扇形面积，最后把两部分阴影加起来即整个阴影部分的面积。根据圆的面积＝πr2，正方形的面积＝边长×边长求出各部分的面积。 【详解】π×82÷4－π×（8－3）2÷4 ＝16π－π ＝π（平方厘米） 3×3－π×32÷4 ＝9－π（平方厘米） π＋9－π ＝ 【对应练习3】 如图中的圆是以O为圆心、半径是10厘米的圆，求阴影部分的面积。 【答案】100平方厘米 【分析】由图意可知：阴影部分的面积＝半径为10厘米的圆面积的﹣（半径为AC的圆的面积﹣三角形ABC的面积），又因AB＝20厘米，OC＝10厘米，从而可以依据三角形ABC的面积求出AC的长度，进而求得阴影部分的面积． 【详解】三角形ABC的面积为：所以AC2÷2＝AB×OC÷2＝10×2×10÷2＝100（平方厘米） 由上面计算可得：AC2＝100×2＝200， 所以阴影部分的面积是：3.14×10×10÷2﹣（×3.14×200﹣100） ＝157﹣（157﹣100） ＝157﹣57 ＝100（平方厘米） 答：阴影部分的面积是100平方厘米。 【点睛】此题考查圆的面积与扇形的面积公式的灵活应用，关键是根据三角形ABC的面积得出AC2的值。 【考点七】面积法其五：平移法。 【方法点拨】 平移法，即通过把部分图形平行移动可以把不规则图形转变为已学的规则图形，进而求出图形的面积。 【典型例题】 求阴影部分的周长和面积。（π取3.14） 【答案】49.12m；96m2 【分析】阴影的周长是长方形的两个长的和再加圆的周长，圆周长＝，d表示直径；通过平移半圆，阴影的面积等于长方形的面积，根据长方形面积＝长×宽，计算得出答案。 【详解】阴影部分周长为： 3.14×8＋12×2 ＝25.12＋24 ＝49.12（m） 阴影部分面积为：12×8＝96（m2） 【对应练习1】 求涂色部分的面积。（单位：cm。） 【答案】6cm2 【分析】如下图，把右边的涂色部分向左平移到空白部分，这样阴影部分组成一个长（2＋1）cm、宽2cm的长方形；根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可求出涂色部分的面积。 如图： 【详解】（2＋1）×2 ＝3×2 ＝6（cm2） 涂色部分的面积是6cm2。 【对应练习2】 求阴影部分的面积。    【答案】64cm2 【分析】通过平移可知，阴影部分的面积等于边长为8cm的正方形的面积，正方形的面积＝边长×边长，依此计算即可。      【详解】8×8＝64（cm2） 即阴影部分的面积是64cm2。 【对应练习3】 先量出必要的数据，再计算涂色部分的面积。    【答案】正方形的边长为3厘米；面积是9平方厘米 【分析】图中涂色部分有两块，左边涂色部分向右平移，两块涂色部分组成正方形，测量得到边长是3厘米，据此解答。 【详解】测得正方形边长是3厘米 3×3＝9（平方厘米） 【考点八】面积法其六：拼接法。 【方法点拨】 拼接法，即在部分扇形半径相等的情况下，可以通过移动扇形，把扇形拼接成一个整体。 【典型例题】 下图中阴影部分面积之和是多少平方厘米？ 【答案】6.28平方厘米 【分析】三个扇形可以拼成一个半径为2厘米的半圆，那么阴影部分的面积＝半圆的面积，然后根据圆的面积公式 S＝πr2把数据代入公式解答即可。 【详解】3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（平方厘米） 所以，图中阴影部分的面积之和是6.28平方厘米。 【对应练习1】 计算下图中阴影部分的面积。 【答案】39.25 【详解】3.14×÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25 【对应练习2】 计算阴影部分面积。（取3.14） 【答案】12.56平方厘米 【分析】根据三角形内角和180度以及扇形的特点，两个圆的半径相等，图中两个扇形加起来正好是一个圆心角是90度的扇形，即一个圆的。据此计算。 【详解】3.14×42× ＝3.14×16× ＝12.56（平方厘米） 【对应练习3】 求涂色部分的面积。 【答案】14.13cm2； 13.76cm2 【分析】通过图可知，由于三角形的内角和是180°，所以第一个图形的三个扇形拼接在一起正好能够构成一个半径是3厘米的半圆，根据半圆的面积公式：S＝πr2÷2，把数代入即可求解； 通过图可知，两个半径构成一个正方形边长，即圆的半径：8÷2＝4厘米，正方形里面相当于4个的圆，那拼在一起相当于一个半径是4厘米的圆，用正方形的面积－4个圆的面积＝涂色部分面积；根据正方形的面积公式：边长×边长，圆的面积公式：S＝πr2，把数代入即可求解。 【详解】第一个图形：3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（cm2） 第二个图形：8×8－3.14×（8÷2）2 ＝64－3.14×42 ＝64－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76（cm2） 【考点九】面积法其七：旋转法（翻转法）。 【方法点拨】 旋转法（翻转法），即根据图形的特征，将原图的某一部分进行翻转或旋转，最后得到便于求解的新图形。 【典型例题】 求下图中阴影部分的周长和面积。（单位：cm） 【答案】； 【分析】结合图示可知， ①阴影部分周长由6段弧及一条正方形的边长组成，且每段弧长是整个圆的周长的，故可列式为：； ②将左边的阴影部分绕正方形的中心顺时针旋转180°，恰好与右边的合为半圆，即阴影部分面积就是半圆的面积，故可列式为：。 【详解】 【对应练习1】 求如图阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】38.465平方厘米 【分析】把左上角扇形阴影部分移动到右下角，和圆环阴影部分组合在一起，两块阴影部分的面积整体可以看成是一个半径为5＋2＝7（厘米）的圆的面积的，根据圆的面积S＝πr2，把数据代入求解即可。 【详解】 （平方厘米） 【对应练习2】 如图，求图中阴影部分面积。（单位：厘米）（小圆半径为1厘米） 【答案】3.14平方厘米 【分析】将阴影部分拼在一起可知，阴影部分的面积是一个半径为（1＋1）厘米的圆面积的，根据圆的面积公式求解即可。 【详解】1＋1＝2（厘米） 3.14×22× ＝3.14×4× ＝12.56× ＝3.14（平方厘米） 阴影部分的面积是3.14平方厘米。 【对应练习3】 如图，点P是正方形ABCD内部的一点，连接PA、PB、PC。将绕着点B顺时针旋转90°到的位置。设，，，求旋转到的过程中边PA所扫过的区域（图中阴影部分）的面积。 【答案】π（m²－n²） 【分析】因为将绕点B顺时针旋转90°到，所以和形状大小均相等，所以的面积＝的面积，则阴影部分的面积等于以AB为半径的圆的面积减去以PB为半径的圆的面积。据此即可求解。 【详解】以AB为半径的圆的面积：×π×m×m＝πm²； 以PB为半径的圆的面积：×π×n×n＝πn²； 阴影部分面积＝πm²－πn²＝π（m²－n²）。 答：旋转到的过程中边PA所扫过的区域（图中阴影部分）的面积是π（m²－n²）。 【点睛】利用旋转后图形的大小和形状都不改变这个关键。再根据面积之间的关系求出阴影部分面积。 【考点十】面积法其八：割补法。 【方法点拨】 割补法，即分割拼补的思路，是把不规则的阴影面积通过分割和拼补，使之变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形。 【典型例题】 求下列阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】16cm2 【分析】通过对称，阴影部分可以拼成一个梯形，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，列式计算即可。 【详解】8÷2＝4（cm） （6－4＋6）×4÷2 ＝8×4÷2 ＝16（cm2） 【对应练习1】 求阴影部分的面积（图中的三角形都是等腰直角三角形）。（单位：分米）    【答案】12.5平方分米 【分析】根据图形的特点，可以通过“旋转”把阴影部分拼在一起，阴影部分的面积等于大三角形的面积减去正方形的面积，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，大三角形的高就是圆的直径，根据直角三角形斜边上的高等于斜边的一半可知，大三角形的高为10÷2＝5分米，则正方形的面积等于两个底为5分米，高为（5÷2）分米的三角形的面积；据此解答即可。 【详解】如图所示：    ×10×5－2××（5÷2）×5 ＝25－2××2.5×5 ＝25－1×2.5×5 ＝25－12.5 ＝12.5（平方分米） 【对应练习2】 求下面图中涂色部分的面积。 【答案】8平方厘米 【分析】用“割补法”将右上角阴影部分移到左上角，那么此时阴影部分的面积为左上角三角形的面积，即大长方形面积的，长方形的长为8厘米，长为半圆的直径，宽为半圆的半径，所以宽为：8÷2＝4（厘米），“长×宽÷4”即可求出阴影部分面积。 【详解】由分析可知： 8÷2＝4（厘米） 8×4÷4 ＝32÷4 ＝8（平方厘米） 所以图中涂色部分的面积为8平方厘米。 【对应练习3】 求图中阴影部分的面积。     【答案】114cm2 【分析】把左下角的阴影平均分成两部分，分别移动到左上角和右上角，如图所示：，通过图可知，这个阴影部分的面积正好是圆面积的，再减去一个直角边是20cm的等腰直角三角形，根据圆的面积公式：S＝πr2，三角形的面积公式：底×高÷2，把数代入即可求解。 【详解】如下图所示： 3.14×20×20÷4－20×20÷2 ＝314－200 ＝114（cm2） 阴影部分的面积是114cm2。 【考点十一】面积法其九：重组法。 【方法点拨】 重组法，即根据具体情况和计算上的需要把原来图形拆开，并加以重新组合，使之变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形，然后结合相减法求出阴影面积。 【典型例题】 如图，大圆半径R=8厘米，小圆的半径r=4厘米．求阴影部分的面积。 【答案】37.68平方厘米 【详解】试题分析：如图所示，阴影①和空白①的面积相等，阴影②和空白②的面积相等，阴影③和空白③的面积相等，阴影④和空白④的面积相等，于是将4个阴影部分移到与其面积相等的空白部分，于是可以得出图中所有的阴影的面积和就等于大圆面积的减去小圆面积的，大小圆的半径已知，利用圆的面积公式即可求解． 解：×3.14×（82﹣42） =0.785×（64﹣16） =0.785×48 =37.68（平方厘米） 答：阴影部分的面积是37.68平方厘米。 点评：解答此题的关键是利用“动态”的眼光，将阴影部分移到与之面积相等的空白部分，从而容易求出阴影部分的总面积。 【对应练习1】 求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】4.28平方厘米 【分析】通过对称和平移，如图， 阴影部分的面积＝半圆面积－三角形面积，据此列式计算。 【详解】4÷2＝2（厘米） 3.14×2²÷2－2×1÷2×2 ＝6.28－2 ＝4.28（平方厘米） 【对应练习2】 求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】观察图形可知，图中阴影部分可以组合成一个三角形，组合成的三角形的面积正好是这个大正方形面积的，所以直接用正方形的面积除以4就可以求出阴影部分的面积。 【详解】5×5＝25（cm²） 25÷4＝6.25（cm²） 【对应练习3】 如图，正方形ABCD的面积是36平方厘米，求阴影部分的面积． 【答案】14.13平方厘米 【详解】解本题的关键是利用拼补法，得到阴影部分的面积是半个大圆的面积﹣半个小圆的面积．正方形的面积是36平方厘米，所以正方形的边长是6厘米，正方形的对角线是圆的直径，大圆的直径的平方是：62+62=72，半径的平方是72÷4=18，小圆的半径是正方形边长的一半，也就是3厘米．阴影部分的面积为：阴影部分的面积等=半个大圆的面积﹣半个小圆的面积． 解：正方形的面积是36平方厘米，所以正方形的边长是6厘米， 大圆的直径的平方是：62+62=72，半径的平方是72÷4=18， 3.14×18÷2﹣3.14×32÷2 =3.14×18÷2﹣3.14×9÷2 =56.52÷2﹣28.26÷2 =28.26﹣14.13 =14.13（平方厘米） 答：阴影部分的面积是14.13平方厘米． 【考点十二】面积法其十：整体代换法。 【方法点拨】 整体代换法，即通过平面图形之间的等量关系，将图形面积整体代换，再根据相应面积公式求出面积。 【典型例题1】圆与正方形。 如图，以圆的半径为边长的正方形面积是10平方厘米，则圆的面积是（ ）平方厘米。 解析： 3.14×10＝31.4（平方厘米） 【对应练习1】 下中正方形部分是一个水池，其余部分是草坪。已知正方形的面积是225m2，草坪的面积是多少平方米？ 解析： （m2） 答：草坪的面积是529.875平方米。 【对应练习2】 已知下图正方形的面积是50平方分米，圆的面积是（ ）平方分米。 解析：157 【对应练习3】 如图，已知正方形的面积是9 cm2，这个圆的面积是（ )cm2。 解析：28.26 【对应练习4】 如图中正方形的面积是16平方厘米，圆形的面积是（ ）平方厘米。 解析：50.24 【典型例题2】圆与长方形。 如图，圆的面积与长方形的面积相等，圆的半径是3cm，长方形的长是（ )cm。 解析： 长方形的长：3×3.14＝9.42（cm） 【对应练习1】 如图，圆的面积和长方形的面积相等，如果圆的半径是6厘米，那么长方形的周长是多少厘米？ 解析： 2×3.14×6÷2 ＝3.14×6 ＝18.84（厘米） （18.84＋6）×2 ＝24.84×2 ＝49.68（厘米） 答：长方形的周长是49.68平方厘米。 【对应练习2】 如图所示，圆的周长是18.84厘米，圆的面积等于长方形的面积，那么阴影部分的周长是多少厘米？ 解析： 阴影的周长=πr+πr-r+r+（18.84÷4）=2πr+4.71=18.84+4.71=23.55（厘米） 答：阴影部分的周长是23.55厘米 【对应练习3】 如图，长方形面积和圆面积相等，已知圆的半径是3厘米，求阴影部分的面积和周长。 解析： 面积：×3.14×32＝21.195（平方厘米） 周长：3.14×32÷3＝9.42（厘米） 9．42×2＋×3.14×3×2＝23.55（厘米） 【典型例题3】圆与三角形。 如图中，直角三角形（阴影部分）的面积是12平方厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。 解析： 解：设圆的半径是r厘米， 所以，r2=12，则：r2=24，把它代入圆的面积公式可得： 3.14×24=75.36（平方厘米） 答：圆的面积是75.36平方厘米。 【对应练习1】 下图中等腰直角三角形的两条直角边正好是半径，三角形的面积是20平方厘米，图中空白部分的面积是多少平方厘米？ 解析： 三角形面积＝底×高÷2，三角形面积×2＝r²，根据圆的面积＝πr²，求出圆的面积，圆的面积－三角形面积＝空白部分面积，据此分析。 3.14×（20×2）－20 ＝3.14×40－20 ＝125.6－20 ＝105.6（平方厘米） 答：图中空白部分的面积是105.6平方厘米。 【对应练习2】 图中，三角形的面积是8平方厘米，求涂色部分的面积。 解析： 半径的平方：（平方厘米） 圆的面积：（平方厘米） 涂色部分的面积：（平方厘米） 答：涂色部分的面积是37.68平方厘米。 【对应练习3】 如图，已知三角形OAB的面积是18平方厘米，求阴影部分的面积。 解析： S三角形＝r2 18＝r2 r2＝36 S阴影＝r2－πr2＝36－×3.14×36＝7.74（平方厘米） 【考点十三】面积法其十一：辅助线法。 【方法点拨】 辅助线法，即在通常手段无法求出阴影部分面积时，需要尝试使用添加辅助线的方法解决。 【典型例题】 如图，三角形ABC是等腰直角三角形，点D是半圆周的中点，BC是半圆的直径，阴影部分的面积是多少？（单位：厘米） 解析： 先作辅助线，如图所示。即可得出：阴影部分的面积＝（直径为10厘米的半圆的面积＋边长为10厘米的正方形的面积－等腰三角形AED的面积）÷2。圆的面积＝πr2，正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2。代入数值计算。 10÷2＝5（厘米） 3.14×5×5÷2＝39.25（平方厘米） 10×10＝100（平方厘米） 10＋5＝15（厘米） 10×15÷2＝75（平方厘米） 39.25＋100－75＝64.25（平方厘米） 64.25÷2＝32.125（平方厘米） 答：阴影部分的面积是32.125平方厘米。 【对应练习1】 求图中阴影部分的周长和面积。（π取3.14） 解析： 加两条辅助线，如图： 阴影部分的周长为： 3.14×（4÷2）×2＋3.14×4÷2 ＝3.14×2×2＋3.14×4÷2 ＝12.56＋6.28 ＝18.84（厘米） 阴影部分的面积为： [3.14×（4÷2）2÷4－（4÷2）×（4÷2）÷2]×2 ＝[3.14×4÷4－2×2÷2]×2 ＝[3.14－2]×2 ＝1.14×2 ＝2.28（平方厘米） 【对应练习2】 计算下图中阴影部分的面积。（单位：cm)                       【答案】22.26平方厘米 【分析】连接正方形的对角线，则阴影部分的面积等于半径为6厘米的圆的面积的减去底和高都为6厘米的三角形的面积，再加上底为4厘米，高为6厘米的三角形的面积即可，根据圆的面积公式：S＝πr2，三角形的面积公式：S＝ah÷2，据此进行计算即可。 【详解】如图： 3.14×62×－6×6÷2＋4×6÷2 ＝3.14×62×－36÷2＋24÷2 ＝3.14×36×－36÷2＋24÷2 ＝28.26－18＋12 ＝10.26＋12 ＝22.26（平方厘米） 【对应练习3】 数学思考。 如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分的面积。（单位：平方厘米） 【答案】87.5平方厘米 【分析】如下图所示；连接PB，P点为半圆周的中点，作三角形PAB的高PG，则G是AB的中点，所以PG的长度为正方形的边长加半圆的半径，正方形的边长是10厘米，半圆的直径是10厘米，所以PG的长度是10＋10÷2＝15厘米，所以三角形PAB的面积是10×15÷2＝75平方厘米；Q点为正方形一边的中点，所以三角形PBQ的面积是5×5÷2＝12.5平方厘米，据此列式解答即可。 【详解】10×15÷2 ＝150÷2 ＝75（平方厘米） 5×5÷2 ＝25÷2 ＝12.5（平方厘米） 75＋12.5＝87.5（平方厘米） 答：空白部分的面积是87.5平方厘米。 【点睛】此题考查了三角形、正方形和圆的面积公式的综合应用，连接BP，找出这两个白色三角形的高是解决本题的关键。 【考点十四】面积法其十二：容斥原理（重叠、分层思路）。 【方法点拨】 容斥原理，即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。 【典型例题2】 如图（单位：厘米），四边形ABCD是长方形，其中弧AE以点B为圆心，AB的长为半径，弧AF的点D为圆心，AD的长为半径。计算阴影部分的面积。 【答案】16.82平方厘米 【分析】阴影部分的面积等于两个扇形的面积和减去长方形的面积；据此解答即可。 【详解】3.14×62÷4＋3.14×42÷4－6×4 ＝28.26＋12.56－24 ＝16.82（平方厘米） 【对应练习1】 如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米） 【答案】16.82平方厘米 【分析】阴影部分的面积＝半径为6厘米的圆的面积－左下角空白部分的面积；其中左下角空白部分的面积＝长方形的面积－半径为4厘米的圆的面积；根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。 【详解】左下角空白部分的面积： 6×4－×3.14×42 ＝24－12.56 ＝11.44（平方厘米） 阴影部分的面积： ×3.14×62－11.44 ＝28.26－11.44 ＝16.82（平方厘米） 【对应练习2】 如图，三角形ABC是等腰直角三角形，，弧AD是以CA为半径的圆的一部分，，求图中阴影部分的面积。 【答案】18.24平方厘米 【分析】观察可知，阴影部分的面积有一部分是重合的，阴影部分的面积＝直径8厘米的半圆面积＋弧AD半径CA的扇形面积－三角形面积。 【详解】3.14×（8÷2）²÷2＋3.14×8²×－8×8÷2 ＝3.14×16÷2＋3.14×64×－32 ＝25.12＋25.12－32 ＝18.24（平方厘米） 【对应练习3】 等腰直角三角形ABC的面积是8平方厘米，求阴影部分的面积． 【答案】4.56平方厘米 【详解】试题分析：要求阴影部分的面积，可用半圆面积减去里面的空白面积，求空白面积可用三角形面积减去扇形面积， 解：设等腰直角三角形ABC的直角边为r， =8，r2=16； 扇形ABD的面积：=2π=6.28（平方厘米）， 空白面积BCD的面积：8﹣6.28=1.72（平方厘米）， 半圆面积：πr2×=×3.14×16=6.28（平方厘米）， 阴影面积：6.28﹣1.72=4.56（平方厘米）； 答：阴影部分面积是4.56平方厘米． 点评：此题主要考查求阴影部分的面积，可以按一般思路去解答，就是用半圆面积减去里面的空白面积，而空白面积可用三角形面积减去扇形面积． 【考点十五】面积法其十三：差不变原理（差不变思想）。 【方法点拨】 差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。 【典型例题1】其一。 如图，是一个等腰直角三角形和一个半径为4厘米、圆心角为90°的扇形拼成的图形，利用差不变思想计算下图中两个阴影部分的差是多少平方厘米？ 解析：甲、乙两部分同时加上空白扇形，就相当于圆-三角形。 3.14×42×-4×4÷2=4.56（平方厘米） 【典型例题2】其二。 如图，半圆的直径是10厘米，阴影部分甲比乙的面积少1.25平方厘米，求直角三角形ABO的边OA的长。 解析： 根据题意可知，乙的面积－甲的面积＝1.25平方厘米，给甲、乙分别补上空白部分，它们的面积差不变，即（乙的面积＋空白部分的面积）－（甲的面积＋空白部分的面积）＝1.25平方厘米，可以得出：直角三角形ABO的面积－半圆的面积＝1.25平方厘米； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积，然后除以2，即半圆的面积，再加上1.25，求出直角三角形ABO的面积；已知直角三角形ABO的面积和高，根据三角形的底＝面积×2÷高，即可求出直角三角形ABO的边OA的长。 半圆的面积： 3.14×（10÷2）2÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 直角三角形的面积： 39.25＋1.25＝40.5（平方厘米） OA的长： 40.5×2÷10 ＝81÷10 ＝8.1（厘米） 答：直角三角形ABO的边OA的长是8.1厘米。 【典型例题3】其三。 如下图，甲、乙两个阴影部分面积相等，BC长是8厘米，求AB长是多少厘米？（本题π取值为3） 解析： 已知甲乙两个阴影部分面积相等，S甲＝S乙，根据等式的性质有S甲＋S空白部分＝S乙＋S空白部分，即S直角三角形＝S半圆；又知直径BC＝8厘米，可先结合圆的面积公式求得半圆的面积，因为BC是三角形的底，AB是三角形的高，再逆用三角形的面积公式，求得AB的长。 S半圆＝3×（8÷2）2÷2 ＝3×16÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） S直角三角形＝24（平方厘米） 24×2÷8 ＝48÷8 ＝6（厘米） 答：AB的长是6厘米。 【对应练习1】 下图中，涂色部分甲比乙的面积大。求的长。 解析： 根据分析，列式如下： [3.14×（10÷2）2÷2－11.25]×2÷10 ＝[39.25－11.25]×2÷10 ＝28×2÷10 ＝5.6（厘米） 答：的长是5.6厘米。 【对应练习2】 如图，三角形ABC是直角三角形，AB长20厘米，如果阴影（I）的面积比阴影（II）的面积大37平方厘米，求BC的长。 解析： 20÷2＝10（厘米） 3.14×102÷2－37 ＝157－37 ＝120（平方厘米） 120×2÷20 ＝240÷20 ＝12（厘米） 答：求BC的长是12厘米。 【对应练习3】 如图，已知：S1比S2多28平方厘米，求BC长多少厘米？ 解析： 解：设BC长x厘米。 （40÷2）²×3.14÷2－40x÷2＝28 628－20x＝28 20x＝600 x＝30； 答：BC长30厘米。 【对应练习4】 如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小23平方厘米。求BC的长度。 解：设BC长x厘米。 20x÷2－3.14×（20÷2）²÷2＝23 10x－3.14×100÷2＝23 10x－157＋157＝23＋157 10x÷10＝180÷10 x＝18 【考点十六】面积法其十四：图示法（羊吃草问题）。 【方法点拨】 图示法，即先根据题意，画出图形的轨迹，再求面积。 【典型例题1】旋转作图。 在等腰直角三角形中，角C是直角，厘米，以C点为中心逆时针旋转90°。求线段扫过的面积。 【答案】67.75平方厘米 【分析】根据题意可以画出图形。三角形ABC以C为中心逆时针旋转90°得到三角形，A和重合。扫过的面积就是阴影部分的面积＝是个以CB为半径的半圆－两个小三角形的面积－圆的面积。半圆的面积＝所在圆的面积÷2＝÷2。这个圆的半径是两个小三角形组成的正方形的边长，则圆的面积＝××正方形的边长的平方，正方形边长的平方等于正方形面积，圆的面积＝××正方形的面积。这两个小正方形的组成的正方形的面积是三角形ABC和三角形面积和的一半即为50平方厘米。而两个小三角形的面积也是三角形ABC和三角形面积和的一半。 【详解】 半圆的面积：3.14×102÷2 ＝3.14×100÷2 ＝314÷2 ＝157（平方厘米） 两个三角形的面积：10×10÷2×2＝100（平方厘米） 正方形的面积：100÷2＝50（平方厘米）也是两个小三角形的面积 圆的面积：×3.14×50＝39.25（平方厘米） 157－50－39.25＝67.75（平方厘米） 答：线段扫过的面积是67.75平方厘米。 【对应练习】 如图，一枚半径是1厘米的游戏币沿着边长是4厘米的等边三角形的边绕一圈，它扫过的面积是多少平方厘米？ 【答案】36.56平方厘米 【分析】如图，它扫过的面积是3个边长4厘米，宽1×2厘米的长方形和一个圆的面积，长方形面积＝长×宽，圆的面积＝πr2，据此列式解答。 【详解】1×2＝2（厘米） 2×4×3＋3.14×22 ＝24＋3.14×4 ＝24＋12.56 ＝36.56（平方厘米） 答：它扫过的面积是36.56平方厘米。 【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，掌握并灵活运用长方形和圆的面积公式。 【典型例题2】羊吃草问题其一。 在一块草坪地的木桩上拴着一只羊，绳长2米，这只羊最多能吃着草地的面积是多少平方米？ 解析： 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 答：这只羊最多可以吃到的草地的面积是12.56平方米。 【典型例题3】羊吃草问题其二。 草场上有一个长20m，宽10m 的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30m的绳子拴着一只羊（见右图），这只羊能够活动的范围有多大？ 解析：羊活动的范围受到绳长的影响，从图中可以分析得到，羊活动的范围由四分之三个半径为30米的圆的面积、四分之一个半径为20米的圆、四分之一个半径为10米的圆的面积组成。 【典型例题3】羊吃草问题其三。 墙角O点处有一木桩上拴着一只羊（如图），拴羊的绳子长4m，墙角两边的墙长2m。问这只羊能吃到草的面积最多是多少？ 解析： 先画出羊吃草的范围（如图），可见羊吃草的面积是由三部分组成的：一部分是半径为4m的圆的；另两部分都是半径为2m的圆的，这两部分合起来正好是半径为2m的半圆。 3.14×42÷4＋3.14×22÷2 ＝12.56＋6.28 ＝18.84（m2） 答：这只羊能吃到草的面积最多是18.84平方米。 【对应练习1】 如图，一只狗被缚在一建筑物的墙角O处，这个建筑物是边长600厘米的正方形，缚狗的绳子长20米．现在狗从A点出发，将绳拉紧顺时针跑，可跑多少米？ 解析： 600厘米=6米 20×2=40（米） 20-6=14（米） 14×2=28（米） 20-6-6=8（米） 8×2=16（米） 20-6-6-6=2（米） 2×2=4（米） ×3.14×(40＋28＋16＋4)＝×3.14×88＝69.08（米） 【对应练习2】 一块正方形的草地，边长是3米，在两个对角的顶点处各种一棵树，树上各拴一只羊，拴羊的绳子都是3米。这两只羊都能吃到的草的面积有多大？ 解析： 根据所画图形可知，两只羊都能吃到的草的面积＝（圆的面积的 －正方形面积的一半）×2，其中圆的半径是3米，据此解答。 （3.14×32×－3×3÷2）×2 ＝（7.065－4.5）×2 ＝2.565×2 ＝5.13（平方米） 答：这两只羊都能吃到的草的面积有5.13平方米。 【对应练习3】 一块正方形的草地，边长4米，一对角线的两个顶点各有一棵树，树上各拴着一只羊，栓羊的绳子长都是4米，两只羊都能吃到草的草地的面积是多少平方米？ 解析： 3.14×4×4÷2－4×4 ＝25.12－16 ＝9.12（平方米） 答：两只羊都能吃到草的草地的面积是9.12平方米。 【考点十七】面积法其十五：平移运动问题。＊ 【方法点拨】 在平移运动过程中，图形的形状与面积都可能会发生变化，关键在于理解运动变换过程的规律，画出不同的示意图。 【典型例题】 如图所示，正方形和圆相距30厘米，正方形的边长和圆的直径都是10厘米，正方形沿着直线向右做平移运动，圆沿着直线向左做平移运动。正方形每秒运动3厘米，比圆的速度慢。当圆和正方形完全重叠时，没有重合部分的面积是多少？正方形与圆同时开始运动到最后完全分开经过的时间是多少秒？ 【答案】21.5平方厘米；6.25秒 【分析】（1）当圆和正方形完全重叠时，此时是一个外方内圆的图形，那么没有重合部分的面积＝正方形的面积－圆的面积；根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可求解。 （2）已知正方形每秒运动3厘米，比圆的速度慢，把圆的速度看作单位“1”，则正方形的速度是圆的（1－），单位“1”未知，用正方形的速度除以（1－），即可求出圆的速度。 正方形与圆同时开始运动到最后完全分开，总路程＝相距的30厘米＋正方形的边长＋圆的直径；根据时间＝路程÷速度，即可求出正方形与圆同时开始运动到最后完全分开经过的时间。 【详解】（1）10×10－3.14×（10÷2）2 ＝100－3.14×25 ＝100－78.5 ＝21.5（平方厘米） （2）圆每秒运动： 3÷（1－） ＝3÷ ＝3× ＝5（厘米） 经过的时间： （30＋10＋10）÷（3＋5） ＝50÷8 ＝6.25（秒） 答：当圆和正方形完全重叠时，没有重合部分的面积是21.5平方厘米。 正方形与圆同时开始运动到最后完全分开经过的时间是6.25秒。 【点睛】（1）本题考查圆的面积、正方形的面积公式的运用，明白当圆和正方形完全重叠时是一个外方内圆的图形是解题的关键。 （2）本题考查分数除法的应用以及行程问题，先根据分数除法的意义求出圆的速度，再根据速度、时间、路程之间的关系解答。 【对应练习1】 已知一个半圆工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径贴地面，再将它沿地面平移60米，半圆的直径为6米，则圆心O所经过的路线的长为( )米。 【答案】69.42 【分析】由图形可知，圆心先向前走O1O2的长度即圆的周长，然后沿着弧O2O3旋转圆的周长，然后后向右平移60米，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上60米，根据半圆弧周长公式：C＝πd÷2，把数代入即可求解。 【详解】由分析可知，圆心O所经过的路线为： 6×3.14÷2＋60 ＝18.84÷2＋60 ＝9.42＋60 ＝69.42（米） 【点睛】本题主要考查弧长的公式同时考查了平移的知识，解题关键得出半圆形的弧长＝半圆作无滑动翻转所经过的路线长 【对应练习2】 如下图所示，在相距12cm的两条平行线m和n之间，有一个边长为8厘米的正方形和直径为8厘米的圆O。正方形保持不动，圆O沿直线m以每秒2厘米的速度向右平移。 （1）在移动的过程中，圆O与正方形最大的重叠部分面积是多少？ （2）如图（2），圆和正方形有重叠部分的时间持续多少秒？ 【答案】（1）25.12平方厘米 （2）8秒 【分析】（1）在移动的过程中，圆O与正方形最大的重叠部分是个半圆，根据半圆面积＝πr2÷2，列式解答即可。 （2）类似火车过桥，从圆和正方形开始重叠到完全分开，圆的移动距离＝正方形边长＋圆的直径，据此根据时间＝路程÷速度，列式解答即可。 【详解】（1）8÷2＝4（厘米） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方厘米） 答：圆O与正方形最大的重叠部分面积是25.12平方厘米。 （2）8×2÷2＝8（秒） 答：圆和正方形有重叠部分的时间持续8秒。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的面积公式，理解速度、时间、路程之间的关系。 【考点十八】面积法其十六：旋转运动问题。＊ 【方法点拨】 在旋转运动过程中，图形的形状与面积都可能会发生变化，关键在于理解运动变换过程的规律，画出不同的示意图。 【典型例题】 （桐庐县）物体平移的速度常用单位时间移动的距离来表示，如汽车每小时行60千米；物体旋转的速度常用单位时间转动的圈数或角度来表示，如钟面上的时针每天转2圈，或每小时转30°，分针每小时转1圈或每分钟转6°，还有电风扇每秒转2圈或720°（每秒转2圈，1圈是360°）． 我们在科学课中研究过一些简单的机械，下面是一个传送系统，由主动轮、从动轮和传送带组成，可以将货物从B传送到A．主动轮每秒转1圈． （1）观察该系统，如果主动轮顺时针转180°，那么从动轮就会逆时针转　 　． （2）这个系统把货物从B传送到A，大约要多少秒？（计算时，圆周率π取3） 【答案】（1）90°；（2）这个系统把货物从B传送到A，大约要20秒 【详解】试题分析：（1）根据图知道，主动轮有12个齿，从动轮有24个齿，主动轮与从动轮的齿数的比是12：24=1：2，所以如果主动轮顺时针转180°，那么从动轮就会逆时针转180°÷2=90°； （2）由“主动轮与从动轮的齿数的比是12：24=1：2，”知道主动轮转一圈，从动轮转半圈，而主动轮每秒转1圈，所以从动轮转半圈用1秒，即转1圈用2秒；所以根据圆的周长公式C=πd求出从动轮的周长，再用18除以从动轮转一圈的路程再乘2就是这个系统把货物从B传送到A，大约要用的时间． 解答：解：（1）主动轮与从动轮的齿数的比是：12：24=1：2， 从动轮就会逆时针转：180°÷2=90°； （2）18÷（3×0.6）×2， =18÷1.8×2， =20（秒）， 答：从动轮就会逆时针转90°，这个系统把货物从B传送到A，大约要20秒． 故答案为90°． 点评：解答此题的关键是根据图得出主动轮与从动轮的齿数的比，进而求出主动轮与从动轮转动的圈数的比，进而得出答案． 【对应练习1】 如图所示，大圆不动，小圆贴合着大圆沿顺时针方向不断滚动。小圆的半径是，大圆的半径是。 （1）当小圆从大圆上的点出发，沿着大圆滚动，第一次回到点时，小圆的圆心走过路线的长度是多少厘米？ （2）小圆未滚动时，小圆上的点与大圆上的点重合，从小圆滚动后开始计算，当点第10次与大圆接触时，点更接近大圆上的点( )。（括号里填、、或。） 【答案】（1）50.24厘米 （2）B 【分析】（1）当小圆从大圆上的点 A 出发，沿着大圆滚动，第一次回到点 A 时，小圆的圆心走过路线的长度是半径为6＋2＝8厘米的圆一周的长度； （2）小圆的半径是 2cm ，大圆的半径是 6cm，则小圆滚动3圈后才能回到A点，这个过程中M点与大圆接触3次；M第9次与大圆接触时，小圆又回到A点，小圆第10次与大圆接触时，是走了大圆一周的，即12.56厘米，更接近于B点。 【详解】（1）2×3.14×（2＋6） ＝2×3.14×8 ＝50.24（厘米） 答：小圆的圆心走过路线的长度是50.24厘米。 （2）根据分析可得，当点 M 第10次与大圆接触时，点 M 更接近大圆上的点B。 【点睛】本题考查圆的周长，解答本题的关键是分析圆的运动轨迹。 【对应练习2】 （1）图1中正方形的边长是4厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（л取3.14） （2）图2中等边三角形的边长是3厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（л取3.14）    【答案】（1）44.56平方厘米（2）30.56平方厘米 【分析】（1）根据题意和图形可知：硬币扫过的面积是长4厘米，宽2厘米的四个长方形的面积＋半径是2厘米的圆的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答即可。 （2）从图中可以看出圆经过的面积是环绕正三角形外面的一个带圆角的三角宽带，宽度等于圆的直径，可以在三角形的三个顶点分别作两边的垂线，这样，就把图形分割成6部分，三块长方形，三块扇形，而扇形的角可算出是120度，三块扇形合成一个半径为2厘米的圆，由此列式解答即可。 【详解】（1）4×2×4＋3.14×22 ＝8×4＋3.14×4 ＝32＋12.56 ＝44.56（平方厘米） 答：扫过的面积是44.56平方厘米。 （2）3块长方形的面积是：3×2×3 ＝6×3 ＝18（平方厘米） 扇形的面积是：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 总面积是：18＋12.56＝30.56（平方厘米） 答：圆经过的面积是30.56平方厘米。 【点睛】熟练掌握圆和长方形的面积公式是解题的关键。 【对应练习3】 如图，有一个电动玩具，它有一个8.28×5.14的长方形盘（单位：cm）和一个半径为1厘米的小圆盘（盘中画有娃娃脸），它们的连接点为A，E．如果小圆盘沿着长方形内壁，从A点出发不停的滚动（无滑动），直到回到原来位置． （1）小圆盘（娃娃脸）在B，C，D的位置是怎样的？请一一画出示意图． （2）小圆盘共自转了几圈？ （3）计算小圆盘绕长方形盘滚动一周，扫过长方形盘的面积． 【答案】，3圈，36.82平方厘米 【详解】试题分析：（1）A到B转了（8.28﹣1﹣1）÷（2×3.14）=1（圈），娃娃脸在B位置同A位置；B到C转了（5.14﹣1﹣1）÷（2×3.14）=0.5（圈），娃娃脸在C位置与A位置相反（眼睛在下，嘴在上）；C到D转了（8.28﹣1﹣1）÷（2×3.14）=1（圈），娃娃脸在D位置同C位置；D到A转了（5.14﹣1﹣1）÷（2×3.14）=0.5（圈），娃娃脸回到A位置时同原A位置（眼睛在上，嘴在下）； （2）小圆盘共自转了1+0.5+1+0.5=3（圈）． （3）观察图形可知，小圆盘滚动一周扫过的长方形的面积为阴影部分面积，根据利用面积差即可求出答案． 解：（1）A到B转了（8.28﹣1﹣1）÷（2×3.14）=1（圈），娃娃脸同A； B到C转了（5.14﹣1﹣1）÷（2×3.14）=0.5（圈），娃娃与A上下相反； C到D转了（8.28﹣1﹣1）÷（2×3.14）=1（圈），娃娃脸同C； D到A转了（5.14﹣1﹣1）÷（2×3.14）=0.5（圈），娃娃脸回到A位置； （2）小圆盘共自转了1+0.5+1+0.5=3（圈）； 画图如下： ， （3）8.28×5.14=42.5592（平方厘米）， 8.28﹣4=4.28（厘米）， 5.14﹣4=1.14（厘米）， 4.28×1.14=4.8792（平方厘米）， 2×2﹣3.14×1×1=0.86（平方厘米）， 42.5592﹣4.8792﹣0.86=36.82（平方厘米） 答：转过的面积是36.82平方厘米． 点评：本题的知识点有：旋转、圆的周长等．小圆盘（娃娃脸）在B、C、D位置是怎样的，关键是看转了几圈．解答（3）题的关键是把滚过的面积分割拼凑为圆形与长方形解决问题． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$