第四章 三角函数与解三角形 基础知识默写课件-2025届高三数学一轮复习

数学基础知识 默写小纸条 第四章 三角函数与解三角形 角的概念 1.定义：角可以看成一条射线绕着它的　　　旋转所成的图形. 2.分类 按旋转方向不同分为　　　、　　　、　　　. 按终边位置不同分为　　　　和轴线角. 端点 正角 负角 零角 象限角 3.相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转　　　的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为　　　. 4.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝　　　　　　　　　　　　. 相同 －α {β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 角的概念 1.定义：角可以看成一条射线绕着它的　　　旋转所成的图形. 2.分类 按旋转方向不同分为　　　、　　　、　　　. 按终边位置不同分为　　　　和轴线角. 端点 正角 负角 零角 象限角 3.相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转　　　的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为　　　. 4.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝　　　　　　　　　　　　. 相同 －α {β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 弧度制 1.定义：把长度等于　　　　的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示. 半径长 2.公式 角α的弧度数公式 |α|＝ (弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝______ 弧长公式 弧长l＝____ 扇形面积公式 S＝ ＝______ |α|r 弧度制 1.定义：把长度等于　　　　的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示. 半径长 2.公式 角α的弧度数公式 |α|＝ (弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝______ 弧长公式 弧长l＝____ 扇形面积公式 S＝ ＝______ |α|r 任意角的三角函数 1.定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝ ，x＝ ，＝ (x≠0). 2.三角函数值在各象限内的符号:一 、二 、三 、四 . 3.定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点,它到原点的距离为r(r>0),那 么sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x≠0). sin α cos α tan α 全正 正弦 正切 余弦 任意角的三角函数 1.定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝ ，x＝ ，＝ (x≠0). 2.三角函数值在各象限内的符号:一 、二 、三 、四 . 3.定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点,它到原点的距离为r(r>0),那 么sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x≠0). sin α cos α tan α 全正 正弦 正切 余弦 象限角与轴线角 象限角与轴线角 同角三角函数关系 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： . (2)商数关系： . 2.同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α ＝ ； cos2α＝ ＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝ . 同角三角函数关系 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： . (2)商数关系： . sin2α＋cos2α＝1 2.同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α ＝ ； cos2α＝ ＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝ . (1＋cos α)(1－cos α) 1－sin2α 1±2sin αcos α tanαcos α 三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α 正弦 sin α _______ _______ ______ ______ ______ 余弦 cos α _______ _____ _______ _____ _______ 正切 tan α _____ _______ －tan α     口诀 。 三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α 正弦 sin α _______ _______ ______ ______ ______ 余弦 cos α _______ _____ _______ _____ _______ 正切 tan α _____ _______ －tan α     口诀 。 －sin α －sin α sin α cos α cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α tan α －tan α 奇变偶不变，符号看象限 两角和差公式1 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ； (2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； (3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝ ； (4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝ ； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ . 两角和差公式1 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ； (2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； (3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝ ； (4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝ ； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ . cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β sin αcos β－cos αsin β sin αcos β＋cos αsin β 两角和差公式2 2.辅助角公式 3.两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝ . (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝ . (3)tan α±tan β＝ . 两角和差公式2 2.辅助角公式 3.两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝ . (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝ . (3)tan α±tan β＝ . cos αcos β sin αcos β tan(α±β)(1∓tan αtan β) 常见三角函数值 角度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 正弦 余弦 正切 常见三角函数值 角度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 正弦 0 1 0 余弦 1 0 -1 正切 0 1 -1 0 二倍角公式 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝ .(2)cos 2α＝ ＝ ＝ . (3)tan 2α＝ . 2.二倍角公式的变形公式 *3.半角正切公式的有理化 二倍角公式 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝ .(2)cos 2α＝ ＝ ＝ . (3)tan 2α＝ . 2sin αcos α cos2α－sin 2α 2cos2α－1 1－2sin2α 2.二倍角公式的变形公式 *3.半角正切公式的有理化 三角函数的图像与性质1 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象       定义域 R R ______________ 值域 ________ ________ ___ 周期性 ___ ___ ___ 三角函数的图像与性质1 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象       定义域 R R ______________ 值域 ________ ________ ___ 周期性 ___ ___ ___ [－1,1] [－1,1] R 2π 2π π 三角函数的图像与性质2 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 奇偶性 _______ _______ 奇函数 单调增区间 ______ ______ _______ 单调增区间 ______ ______ 对称中心 ______ ______ ______ 对称轴方程 ______ ______ 三角函数的图像与性质2 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 奇偶性 _______ _______ 奇函数 单调增区间 ______ ______ _______ 单调减区间 ______ ______ 对称中心 ______ ______ ______ 对称轴方程 ______ ______ 奇函数 偶函数 [2kπ－π，2kπ] [2kπ，2kπ＋π] (kπ，0) x＝kπ 三角函数性质常用结论 1.对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是 个周期. 2.与三角函数的奇偶性相关的结论(k∈Z) (1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数,则φ＝ ;若为奇函数，则φ＝ . (2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数,则φ＝ ;若为奇函数，则φ＝ . (3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数,则φ＝ . 三角函数性质常用结论 1.对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是 个周期. 2.与三角函数的奇偶性相关的结论(k∈Z) (1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数,则φ＝ ;若为奇函数，则φ＝ . (2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数,则φ＝ ;若为奇函数，则φ＝ . (3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数,则φ＝ . 函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0) 1.简谐运动的有关概念 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝___ ωx＋φ φ 2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时,要找五个特殊点 ωx＋φ 0 π 2π x y＝Asin(ωx＋φ) 0 函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0) 1.简谐运动的有关概念 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝___ ωx＋φ φ 2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时,要找五个特殊点 ωx＋φ 0 π 2π x y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0) 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 |φ| 平移的规律：“ ， ” 函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0) 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 |φ| A A |φ| 平移的规律：“左加右减，上加下减”. 正、余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a2＝ ； b2＝ ； c2＝_________________ 变形 (1)a＝2Rsin A,b＝ ,c＝ ； (2)sin A＝ ,sin B＝ ,sin C＝ ； (3)a∶b∶c＝__________________ cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝____________ 正、余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a2＝ ； b2＝ ； c2＝_________________ b2＋c2－2bccos A c2＋a2－2cacos B a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A,b＝ ,c＝ ； (2)sin A＝ ,sin B＝ ,sin C＝ ； (3)a∶b∶c＝__________________ cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝____________ 2Rsin B 2Rsin C sin A∶sin B∶sin C 三角形解的判断   A为锐角 A为钝角或直角 图形         关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 三角形解的判断   A为锐角 A为钝角或直角 图形         关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 三角形中常用结论 (2)S＝ ＝ ＝ ； (3)S＝ (r为三角形的内切圆半径). 2.在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝ . (2)任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边. (3)a>b⇔A B⇔sin A sin B，cos A cos B. 三角形中常用结论 (2)S＝ ＝ ＝ ； (3)S＝ (r为三角形的内切圆半径). 2.在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝ . (2)任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边. (3)a>b⇔A B⇔sin A sin B，cos A cos B. π 大于 小于 > > < 三角形中的诱导公式 在ABC中，有以下结论： 1. ; ; (); 2. ; ; (); 3. ; ; . 4.在三角形中，若sinA=sinB,或cosA=cosB,则 必有 。 （任意角中不一定成立） 三角形中的诱导公式 在ABC中，有以下结论： 1. ; ; (); 2. ; ; (); 3. ; ; . 4.在三角形中，若sinA=sinB,或cosA=cosB,则 必有 。 （任意角中不一定成立） A=B ° lr |α|r2 ° lr |α|r2             (2)sin α＝ . ＝tan α (2)sin α＝ . －α ＋α －α ＋α asin α＋bcos α＝ ，其中sin φ＝， cos φ＝，，与点(a,b)同象限. (4)tan αtan β＝1－＝－1. asin α＋bcos α＝ ，其中sin φ＝， cos φ＝，，与点(a,b)同象限. sin(α＋φ) (4)tan αtan β＝1－＝－1. (1)1－cos α＝ ，1＋cos α＝ .(升幂公式) (2)1±sin α＝ .(升幂公式) (3)sin2α＝ ，cos2α＝ ，tan2α＝ .(降幂公式) tan ＝ ＝. (1)1－cos α＝2sin2，1＋cos α＝2cos2.(升幂公式) (2)1±sin α＝2.(升幂公式) (3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式) tan ＝＝.  x＝kπ＋  f＝＝  f＝＝ ＝ ＝ ＝2R ＝ ＝ ＝2R 1.三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； r(a＋b＋c) 1.三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； absin C acsin B bcsin A $$