精品解析：四川省达州市渠县天关中学2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题

四川省达州市渠县天关中学2023－2024学年九年级上学期期末数学模拟测试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，断臂维纳斯是一尊著名的古希腊大理石雕像，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．断臂维纳斯雕像是通过故意延长双腿，使之与身高的比值约为0.618，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．这体现了数学中的（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 中心对称 D. 黄金分割 3. 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（ ） A. 测量两条对角线是否相等 B. 度量两个角是否是90° C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D. 测量两组对边是否分别相等 4. 用配方法解一元二次方程时，以下变形正确的是（ ） A B. C. D. 5. 某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小明和小慧选择参加同一项目概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图像经过点 B. 图像分别位于第二、四象限内 C. 在每个象限内y的值随x的值增大而增大 D. 时， 8. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 已知是关于x的方程的一个实数根，且该方程的两实数根恰是等腰的两条边长，则的周长为（　　） A. 9 B. 10 C. 6或10 D. 8或10 10. 如图，在矩形中，点F是上一点，连结，然后沿着将矩形对折，使点C恰好落在边上的E处．若，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 已知，是方程的两个实数根，且，则______． 12. 如图，已知，若，，，则的长为________． 13. 如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于点，与坐标轴分别交于点，．若是的中点，则的值为___________． 14. 如图，在中，平分，于点F，D为的中点，连接延长交于点E．若，，则线段的长为_____． 15. 如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为________； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为________ 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （1）解方程：； （2）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 方程两边同时除以，得：．………………………………第一步 去括号，得：．………………………………第二步 移项、合并同类项，得：．…………………………第三步 任务一：以上解方程的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________； 任务二：请你写出正确的解答过程． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若m，n是方程的两根，且，求k的值； 18. 某商店销售一种进价为80元台灯，当销售价为120元/台时，平均每天可以卖出20件，为减少库存，扩大销售量，增加总利润，决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每件台灯降价1元，则每天可多售出2件，求当每件台灯降价多少元时，销售这种台灯平均每天可盈利1200元？ 19. 如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，于点E，于点F．求证：． 20. 实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，． （1）画出绕点B顺时针旋转后的； （2）点M是的中点，在（1）的条件下，M的对应点的坐标为________． （3）以点B为位似中心，相似比为，在x轴的上方画出放大后的． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若． （1）求点的坐标及的值； （2）若，求一次函数的表达式． 22. 2021年10月13日山西省教育厅下发了《山西省教育厅关于做好义务教育阶段学生作业管理的通知》，通知要求“初中每天书面作业完成时间平均不超过90分钟”．教导处从初中各年级学生中随机抽取200名学生，对“双减”以前作业情况进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图（不完整）． 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）请补全统计图； （2）若全校有2400名同学，请你估计“双减”以前，该校有多少名学生对作业情况“不满意”或“非常不满意”； （3）学校校长和书记分别从甲、乙、丙、丁四位班主任中随机选取一位进行个别座谈．请用列表或画树状图的方法求同时选中同一位班主任的概率． 23. 如图，在中，，为的中点，，，交于点，连接，． （1）求证：四边形菱形； （2）若，，则四边形的面积是 ． 24. 如图①，在中，，，点为边上的一点，连接，过点作于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）如图②，若，，求的值． 25. 综合与实践 问题情境： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程： 动手操作： 步骤一：将正方形纸片（边长为4cm）对折，使得点A与点D重合，折痕为，再将纸片展开，得到图1． 步骤二：将图1中的纸片的右上角沿着折叠，使点D落到点G的位置，连接，，得到图2． 步骤三：在图2的基础上，延长与边交于点H，得到图3． 问题解决： （1）在图3中，连接，则的度数为______，的长为______． （2）在图3的基础上延长与边交于点M，如图4，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）将图4中正方形纸片过点折叠，使点落在边上，然后再将正方形纸片展开，折痕分别与边，交于点，，求的长（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省达州市渠县天关中学2023－2024学年九年级上学期期末数学模拟测试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形， 又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线， 故选：B． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 2. 如图，断臂维纳斯是一尊著名的古希腊大理石雕像，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．断臂维纳斯雕像是通过故意延长双腿，使之与身高的比值约为0.618，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．这体现了数学中的（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 中心对称 D. 黄金分割 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和给出的数据得出结论即可． 【详解】解：0.618这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．这体现了数学中的黄金分割． 故选：D 【点睛】此题考查了黄金分割，熟知黄金分割比是，通常取0.618是解题的关键． 3. 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（ ） A. 测量两条对角线是否相等 B. 度量两个角是否是90° C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D. 测量两组对边是否分别相等 【答案】C 【解析】 【分析】由对角线的相等不能判定平行四边形，可判断A，两个角为不能判定矩形，可判断B，对角线的交点到四个顶点的距离相等，可判断矩形，从而可判断C，由两组对边分别相等判断的是平行四边形，可判断D，从而可得答案． 【详解】解：A、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项A不符合题意； B、度量两个角是否是90°，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意； C、测量对角线交点到四个顶点距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项C符合题意； D、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握“矩形的判定方法”是解本题的关键． 4. 用配方法解一元二次方程时，以下变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用配方法解方程的步骤一除二移三配进行配方即可． 【详解】解： 移项，得： 两边加上一次项系数一半的平方，即： 左边写成完全平方的形式，右边合并，得： 故选：C． 【点睛】本题考查用配方法，熟记配方法的几个关键步骤是本题的解题关键． 5. 某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小明和小慧选择参加同一项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意画出树状图，然后再根据概率的计算公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意画出树状图，如图所示： ∵共有9种等可能的情况，其中小明和小慧选择参加同一项目的有3种情况， ∴小明和小慧选择参加同一项目的概率为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了概率公式、画树状图或列表格求概率，根据题意画出树状图或列出表格，是解题的关键． 6. 如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判定，得到相似比为，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可． 【详解】解：∵D、E分别为线段BC、BA的中点， ∴， 又∵， ∴，相似比为， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 7. 已知反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图像经过点 B. 图像分别位于第二、四象限内 C. 在每个象限内y的值随x的值增大而增大 D. 时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质逐一判断即可． 【详解】因为， 所以A正确，不符合题意； 因为反比例函数， 所以图象分别位于第二、四象限内；在每个象限内y的值随x的值增大而增大； 所以B、C正确，不符合题意； 当时，或， 所以D错误，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的基本性质是解题的关键． 8. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作DE⊥BC，交x轴于点E，根据题中已知条件：四边形ABCD为菱形，，可得，在中，利用三角函数即可求得AB、AO，进一步即可确定CE、DE长，即可求得D点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥BC，交x轴于点E， ∵， ∴， ∵四边形ABCD为菱形，， ∴，， 在中， ，， ∴，， ∴菱形ABCD边长为2，， ∴， 点D坐标为：， 故选：D． 【点睛】题目主要考查菱形的性质、运用特殊角的三角函数求边长等，难点主要是在坐标系中灵活运用这些性质． 9. 已知是关于x的方程的一个实数根，且该方程的两实数根恰是等腰的两条边长，则的周长为（　　） A. 9 B. 10 C. 6或10 D. 8或10 【答案】B 【解析】 【分析】把代入方程，解之可得x的取值，进而可得三角形三边可能的边长，由此可得三角形的周长． 【详解】解：把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， ∵， ∴三角形三边为4、4、2， ∴的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程，等腰三角形的性质，能够熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键． 10. 如图，在矩形中，点F是上一点，连结，然后沿着将矩形对折，使点C恰好落在边上的E处．若，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由四边形是矩形，可得，，由，可得，设，由沿着将矩形对折，可得，在中，由勾股定理，可得，设，在中，由勾股定理，即，解得，可求． 【详解】解：∵由四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵沿着将矩形对折， ∴， 在中，由勾股定理， ∴， 设， 在中，由勾股定理，即，解得， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形性质，轴对称性质，勾股定理，方程思想的应用，掌握矩形性质，轴对称性质，勾股定理是解题关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 已知，是方程的两个实数根，且，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】把x=3代入方程求出m的值，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入进行计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴ ∴ 故答案为：2 【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系：，，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 12. 如图，已知，若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由于，可得，进而再由题干中的条件即可得出EF的长． 【详解】解：∵， ∴， 又，，，且 ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 13. 如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于点，与坐标轴分别交于点，．若是的中点，则的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出B，C坐标，再利用中点坐标公式求出点A坐标，再利用待定系数法求函数求k的值即可． 【详解】解：∵一次函数与坐标轴分别交于点B，C， ∴令，则， 解得：， ∴点B坐标为， 令，则， ∴点C坐标为， 又∵C是的中点， ∴点A为， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题综合考查一次函数与反比例函数的图象与性质，同时考查用待定系数法求函数解析式，关键是求出点A坐标． 14. 如图，在中，平分，于点F，D为的中点，连接延长交于点E．若，，则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线性质得到，结合角平分线推出，得到，进而证得是的中位线，求出即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵于点F，D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的应用，正确理解直角三角形斜边中线的性质及三角形中位线性质定理是解题的关键． 15. 如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为________； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为________ 【答案】 ①. 120°##120度 ②. 75°##75度 【解析】 【分析】如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．利用全等三角形性质证明∠BEP′＝90°，推出点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，再证明△BEO是等腰直角三角形，可得结论． 【详解】解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′． ∵△BPP′是等边三角形， ∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE， ∴∠ABP＝∠EBP′， 在△ABP和△EBP′中， ∴△ABP≌△EBP′（SAS）， ∴∠BAP＝∠BEP′＝90°， ∴点P′在射线EP′上运动， 如图1中，设EP′交BC于点O， 当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C＝180°－60°＝120°， 当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°， ∴EO＝OB，OP′＝OC， ∴EP′＝EO＋OP′＝OB＋OC＝BC， ∵BC＝2AB， ∴EP′＝AB＝EB， ∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°， ∴∠BP′C＝45°＋90°＝135°， ∴∠PP′C＝∠BP′C－∠BP′P＝135°－60°＝75°． 故答案为：120°，75°． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （1）解方程：； （2）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 方程两边同时除以，得：．………………………………第一步 去括号，得：．………………………………第二步 移项、合并同类项，得：．…………………………第三步 任务一：以上解方程的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________； 任务二：请你写出正确的解答过程． 【答案】（1），；（2）任务一：一、方程两边同时除以一个可能为0的代数式；任务二：， 【解析】 【分析】（1）原方程化为一般形式后，利用公式法进行求解即可； （2）根据解方程的方法得到错误之处和错因，利用因式分解法进行正确求解即可． 详解】（1）解：. 移项得：. 这里，，. ∵， ∴. 即，. （2）任务一：从第一步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以一个可能为0的代数式； 任务二：解：. ∴. ∴. 则. ∴， 【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若m，n是方程的两根，且，求k的值； 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，且k≠0，求出k的取值范围即可； （2）先用含k的代数式表示mn和m+n，再将整理得，代入计算即可． 【小问1详解】 ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：且． 小问2详解】 根据题意，. 由，得， ∴代入得：， 整理得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，掌握，是解题的关键． 18. 某商店销售一种进价为80元的台灯，当销售价为120元/台时，平均每天可以卖出20件，为减少库存，扩大销售量，增加总利润，决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每件台灯降价1元，则每天可多售出2件，求当每件台灯降价多少元时，销售这种台灯平均每天可盈利1200元？ 【答案】每件台灯降价20元时，销售这种台灯平均每天可盈利1200元 【解析】 【分析】设每件台灯降价x元时，销售这种台灯平均每天可盈利1200元，根据等量关系式：利润=单个的利润×销售量，列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设每件台灯降价x元时，销售这种台灯平均每天可盈利1200元，根据题意得： ， 解得：，， 为减少库存，扩大销售量，则舍去， 答：每件台灯降价20元时，销售这种台灯平均每天可盈利1200元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程，解方程得出答案，是解题的关键． 19. 如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，于点E，于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先根据正方形的性质可得，从而可得，再根据垂直的定义可得，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得证． 【详解】证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键． 20. 实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，． （1）画出绕点B顺时针旋转后的； （2）点M是的中点，在（1）的条件下，M的对应点的坐标为________． （3）以点B为位似中心，相似比为，在x轴的上方画出放大后的． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换、位似变换、中点坐标公式，熟练掌握旋转和位似的性质是解答本题的关键． （1）先作出点O、A绕点B顺时针旋转的对应点，然后再顺次连接即可； （2）由题意得，点是的中点，利用中点坐标公式求解即可． （3）根据位似的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：∵点是的中点， 点是的中点， 根据作图可知：，， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若． （1）求点的坐标及的值； （2）若，求一次函数的表达式． 【答案】（1）（2，0），m=-5；（2） 【解析】 【分析】（1）在直线y＝kx＋k中令y＝0可求得A点坐标；连接CO，得=3，根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解； （2）利用勾股定理求出OB=2，设C(b，2)，代入反比例函数，求出C点坐标，再利用待定系数法，即可求解． 【详解】解：（1）在中，令y＝0可得，解得x＝2， ∴A点坐标为（2，0）； 连接CO， ∵CB ⊥y轴， ∴CB∥x轴， ∴=3， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴，即：m=-5； （2）∵点A(2，0)， ∴OA=2， 又∵AB=， ∴在中，OB=， ∵CB ⊥y轴， ∴设C(b，2)， ∴，即b=-3，即C(-3，2)， 把C(-3，2)代入，得：，解得：k=， ∴一次函数的解析式为：． 【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数图象的交点坐标，掌握两函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题的关键，注意反比例函数y＝中k的几何意义的应用． 22. 2021年10月13日山西省教育厅下发了《山西省教育厅关于做好义务教育阶段学生作业管理的通知》，通知要求“初中每天书面作业完成时间平均不超过90分钟”．教导处从初中各年级学生中随机抽取200名学生，对“双减”以前作业情况进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图（不完整）． 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）请补全统计图； （2）若全校有2400名同学，请你估计“双减”以前，该校有多少名学生对作业情况“不满意”或“非常不满意”； （3）学校校长和书记分别从甲、乙、丙、丁四位班主任中随机选取一位进行个别座谈．请用列表或画树状图的方法求同时选中同一位班主任的概率． 【答案】（1）补全的统计图见解析 （2）720名 （3） 【解析】 【分析】（1）用样本的总数减去其他选项中的人数即可得出选项E的人数，之后再补全统计图即可； （2）用全校的2400名同学乘“不满意”或“非常不满意”所占样本的百分比即可； （3）画出树状图，根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 （人）， ∴选项E有35人， 补全统计图如图所示： 【小问2详解】 （人）， ∴“双减”以前，估计该校有720名学生对作业情况“不满意”或“非常不满意”； 【小问3详解】 画树状图如下： 由画树状图可知，共有16种等可能情况，选中同一个班主任的情况有4种， ∴同时选中同一位班主任的概率． 【点睛】本题考查了条形统计图、样本估计总体和用列表或画树状图的方法求概率，读懂题图中的信息和会用列表或画树状图是解题的关键． 23. 如图，在中，，为的中点，，，交于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形的面积是 ． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键． （1）利用直角三角形斜边中线的性质求得，证明四边形、是平行四边形，再根据菱形的判定定理即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质求得，再利用菱形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，为的中点， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形的面积是． 24. 如图①，在中，，，点为边上的一点，连接，过点作于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）如图②，若，，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，证明； （2）过点B作交的延长线于H，根据相似三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论； （3）证明，根据相似三角形的性质求出，根据平行线分线段成比例列出比例式，计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：如图①，过点B作交的延长线于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在中，，，， 则，， 设，则， 在中，， 则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得： (舍去)， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的解法，掌握相似三角形的判断定理是解题的关键． 25. 综合与实践 问题情境： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程： 动手操作： 步骤一：将正方形纸片（边长为4cm）对折，使得点A与点D重合，折痕为，再将纸片展开，得到图1． 步骤二：将图1中的纸片的右上角沿着折叠，使点D落到点G的位置，连接，，得到图2． 步骤三：在图2的基础上，延长与边交于点H，得到图3． 问题解决： （1）在图3中，连接，则的度数为______，的长为______． （2）在图3的基础上延长与边交于点M，如图4，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）将图4中的正方形纸片过点折叠，使点落在边上，然后再将正方形纸片展开，折痕分别与边，交于点，，求的长（直接写出答案）． 【答案】（1）， （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由翻折的性质可知，，，，，推出，证明，推出，，推出，设，则，，利用勾股定理构建方程求出即可． （2）结论：．证明，推出，设，则．在中，根据勾股定理得，由此构建方程求出，即可解决问题． （3）由，推出，可得答案． 【小问1详解】 解：如图3中， 四边形是正方形， ，， 由翻折的性质可知，，，，， ， ，， ， ，， ， 正方形纸片的边长为4．则． 设，则，， 在中，根据勾股定理得． ， 解得， ； 【小问2详解】 结论：． 理由：如图4中，连接，． 由折叠知，，， ， ，， ， ， 设， 则． 在中，根据勾股定理得． ， ， 解得， ，， ． 【小问3详解】 如图5中， ， ，即， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，翻转变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$