13.5.2.线段垂直平分线课件 2024-2025学年 华东师大版数学八年级上册

2.线段垂直平分线 基础 主干落实 重点 典例研析 素养 当堂测评 课时学习目标 素养目标达成 1.探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理,体会互逆定理之间的关系 几何直观、推理能力 2.会运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决简单的实际问题 几何直观、推理能力、应用意识 基础 主干落实 【新知要点】 【对点小练】 1.线段垂直平分线的性质定理   1.如图,PQ是线段AB的垂直 平分线,则下列结论一定正 确的是 ( )　　　　　　　　　　　 A.AP=BP B.BQ=AP C.AB=AP D.PQ=BP 图形 文字语言 几何语言 线段垂直平分 线上的点到 ____________ __________ ∵PQ是线段 AB的垂直平 分线, ∴________ 线段两端的 距离相等 PA=PB A 【新知要点】 【对点小练】 2.线段垂直平分线的判定定理   2.如图,AC=AD,BC=BD, 则正确的结论是( ) 　　　　　　　　 　　　　　　　 A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.以上说法都正确 图形 文字语言 几何语言 到__________ __________的 点在线段的垂 直平分线上 ∵________, ∴点P在线段 AB的垂直平 分线上 线段两端 距离相等 PA=PB A 重点 典例研析 重点1 线段垂直平分线的性质(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P96T2拓展) 如图,在△ABC中,EF是线段AB的垂直平分线,AD⊥BC, D为CE的中点. (1)求证:BE=AC; 【自主解答】(1)连结AE,如图所示, ∵AD⊥BC于点D,且D为线段CE的中点, ∴AD垂直平分CE,∴AC=AE, ∵EF垂直平分AB,∴AE=BE, ∴BE=AC; (2)若∠B=35°,求∠BAC的度数. 【自主解答】(2)∵AE=BE,∠B=35°, ∴∠BAE=∠B=35°, ∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°, ∴∠BAD=90°-35°=55°, ∴∠EAD=55°-35°=20°, ∵AC=AE,AD⊥BC, ∴∠EAD=∠CAD=20°, ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=75°. 【举一反三】 (2024·吕梁质检)如图,在△ABC中,分别以点B和点C为圆心,大于BC的长为半径 画弧,两弧相交于点M,N.作直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连结BD.若AC=18, BD=5,则AD的长为 ( ) A.11 B.12 C.13 D.14 C 重点2线段垂直平分线的判定(几何直观、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P96T3拓展) 在△BCN中,BC=BN,点N在线段AB上(如图位置),AB为Rt△ABC的斜边,MN⊥AB于N,MN交AC于M,连结BM,CN相交于F,∠ACB=90°. 求证:(1)Rt△MBC≌Rt△MBN; 【证明】(1)∵BN=BC, ∴点B在线段CN的垂直平分线上, ∵∠ACB=90°,MN⊥AB,∴∠MNB=∠ACB=90°, 在Rt△MBC和Rt△MBN中,, ∴Rt△MBC≌Rt△MBN(H.L.); 【典例2】(教材再开发·P96T3拓展) 在△BCN中,BC=BN,点N在线段AB上(如图位置),AB为Rt△ABC的斜边,MN⊥AB于N,MN交AC于M,连结BM,CN相交于F,∠ACB=90°. (2)BM垂直平分CN. 【证明】(2)由(1)知Rt△MBC≌Rt△MBN, ∴MC=MN, ∴点M在线段CN的垂直平分线上, ∵BC=BN. 点B在线段CN的垂直平分线上, ∴BM垂直平分CN. 【举一反三】 (2024·承德期末)如图是风筝的结构示意图,点D是等边三角形ABC的外部一点,且AD=CD,过点D作DE∥AB交AC于点F,交BC于点E. (1)求证:BD垂直平分线段AC; 【解析】(1)∵等边三角形ABC,∴BA=BC, 又∵AD=CD,∴BD垂直平分线段AC; (2)若BC=10,CF=4,求DE的长. 【解析】(2)∵等边三角形ABC, ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°, ∵BD垂直平分线段AC, ∴∠CBD=30°, ∵DE∥AB,∴∠FEC=∠ABC=60°, ∴△CEF是等边三角形, ∴CE=CF=4, ∴BE=BC-CE=6, ∵∠BDE=∠FEC-∠CBD=30°=∠CBD, ∴DE=BE=6,∴DE的长为6. 素养 当堂测评 1.(3分·几何直观、推理能力)如图,AD⊥BC,AB=AC,点C在 线段AE的垂直平分线上且点B,C,E三点共线,连结CE,若 AB=3,BC=4,则线段DE的长度为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 2.(3分·几何直观、推理能力)如图,依据尺规作图痕迹,计算∠ABC= ( )　　　 A.50° B.60° C.70° D.80° B C 3.(4分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=22.5°,DE垂直平分 AB交BC于点E,EC=2,则△ACE的面积为_______.  　2　 4.(4分·几何直观、推理能力)三名同学在玩抢凳子游戏,他们分别站在一个三角 形三个顶点处,要求在他们中间放一个凳子,抢到凳子者获胜,为使游戏公平,凳子 应放的最适当的位置是在三角形的________________________处.  　三边垂直平分线交点　 5.(6分·几何直观、推理能力)如图,在△AOB中,OC平分 ∠AOB,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,OB-OA=2BE. (1)求证:OD=OE; 【证明】(1)因为OC平分∠AOB,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E, 所以∠COE=∠COD,∠CEO=∠D=90°, 因为CO=CO, 所以△COE≌△COD(A.A.S.), 故OD=OE; 5.(6分·几何直观、推理能力)如图,在△AOB中,OC平分 ∠AOB,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,OB-OA=2BE. (2)求证:点C在AB的垂直平分线上. 【证明】(2)在BO上取点F,使OA=OF,连结CA,CF,如图, 因为OC平分∠AOB,所以∠COA=∠COF, 因为OA=OF,CO=CO, 所以△ACO≌△FCO(S.A.S.),得AC=FC, 因为OB-OA=2BE, 所以OB-OA=OB-OF=BF=2BE,则BE=FE, 因为CE⊥OB,所以∠CEB=∠CEF=90°,CE=CE, 则△CBE≌△CFE,得CB=CF, 因为AC=FC,所以AC=CB,故点C在AB的垂直平分线上. 本课结束 $$