模块05 平面向量与复数（测试卷）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

模块05平面向量与复数（测试卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．（2024•湖北模拟）设为虚数单位，若复数满足，则　　 A．1 B． C． D．2 2．（2024•故城县校级模拟）如图，在平行四边形中，为对角线的交点，为的中点，为的中点，若，则　　 A．1 B．2 C． D． 3．（2024•临渭区校级模拟）已知是虚数单位，则复数　　 A． B．1 C． D． 4．（2024•成都模拟）已知向量是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，称有序实数对为点的广义坐标．若点，的广义坐标分别为，，，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024•鼓楼区校级模拟）向量在向量上的投影为，且，则　　 A． B． C． D． 6．（2024•西宁二模）如图，在中，为的中点，则　　 A． B． C． D． 7．（2024•泰州模拟）在平行四边形中，，，，若，则的最小值为　　 A． B． C．1 D． 8．（2024•成都模拟）已知正方形的边长为1，，分别是边，上的点（均不与端点重合），记，的面积分别为，．若，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。 9．（2024•葫芦岛二模）已知向量为非零向量，下列说法正确的有　　 A．若，则 B．已知向量，则 C．若，则和在上的投影向量相等 D．已知，则点，，一定共线 10．（2024•浙江模拟）设，向量，向量，则　　 A．必不互为平行向量 B．必不互为垂直向量 C．存在，使 D．对任意 11．（2024•船营区校级模拟）设三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，，，使得：成立．我们把叫做基底，把有序实数组，，叫做基底下向量的斜坐标．已知三棱锥．以为坐标原点，以为轴正方向，以为轴正方向，以为轴正方向，以同方向上的单位向量为基底，建立斜坐标系，则下列结论正确的是　　 A． B．的重心坐标为 C．若，1，，则 D．异面直线与所成角的余弦值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．（2024•江苏模拟）设，为虚数单位．若集合，，，1，，且，则　　． 13．（2024•包河区校级三模）已知向量，，若，则　　． 14．（2024•太原三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以直角三角形的斜边为边得到的正方形）．类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点是内（含边界）一点，若，则的最大值为 　　． 四、解答题：本题共5小题（13+15+15+17+17 ）满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2024•乌鲁木齐模拟）在中，点，分别为，的中点，与交于点，，． （Ⅰ）若，求中线的长； （Ⅱ）若是锐角三角形，求四边形面积的取值范围． 16．（2024•阜阳模拟）在中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积． 17．（2024•龙凤区校级模拟）如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点，且． （1）求的大小； （2）求面积的最小值． 18．（2024•锦州模拟）已知，，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数的单调递增区间； （2）若锐角的内角，，的对边分别为，，，且，（B），求面积的取值范围． 19．（2024•苏州模拟）已知点，，和动点满足是，的等差中项． （1）求点的轨迹方程； （2）设点的轨迹为曲线按向量平移后得到曲线，曲线上不同的两点，的连线交轴于点，如果为坐标原点）为锐角，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，如果时，曲线在点和处的切线的交点为，求证：在一条定直线上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模块05平面向量与复数（测试卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．（2024•湖北模拟）设为虚数单位，若复数满足，则　　 A．1 B． C． D．2 【分析】根据复数的基本运算法则及复数的模的定义进行化简即可． 【解答】解：由已知得， ， 故， 故． 故选． 【点评】本题主要考查复数模长的计算，属于基础题． 2．（2024•故城县校级模拟）如图，在平行四边形中，为对角线的交点，为的中点，为的中点，若，则　　 A．1 B．2 C． D． 【分析】由平面向量的线性运算，结合题意及平面向量基本定理可求得，的值，从而可求的值． 【解答】解：由题可得：，， 所以， 因为， 所以， 所以． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，属于基础题． 3．（2024•临渭区校级模拟）已知是虚数单位，则复数　　 A． B．1 C． D． 【分析】利用复数的运算法则及周期性即可得出结论． 【解答】解：， ． 故选：． 【点评】本题考查了复数的运算法则及周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．（2024•成都模拟）已知向量是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，称有序实数对为点的广义坐标．若点，的广义坐标分别为，，，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据两个向量平行的条件与充要条件的定义，对两个结论进行正反推理论证，可得答案． 【解答】解：根据题意，可得，，，． 当中有零向量时，显然“”与“”都成立． 当均不为零向量时，若，则存在非零实数，使， 即，，时，可得，消去得，充分性成立； 若“”，则由不是零向量，可知、不全为零， 不妨设，则，，，，， 所以存在实数，使得，故“”，可知必要性成立． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 【点评】本题主要考查充要条件的定义与判断、两个平面向量平行及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 5．（2024•鼓楼区校级模拟）向量在向量上的投影为，且，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据得到和的关系，根据得到和的关系，求出． 【解答】解：由题意，， 即， 又， 则， 即， 所以， 则． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量夹角的运算，属中档题． 6．（2024•西宁二模）如图，在中，为的中点，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，以作为基底，依次表示出，然后根据三角形中线的性质算出答案． 【解答】解：根据题意，可得，， 因为是的中线，所以． 故选：． 【点评】本题主要考查三角形中线的性质、平面向量的线性运算法则等知识，属于中档题． 7．（2024•泰州模拟）在平行四边形中，，，，若，则的最小值为　　 A． B． C．1 D． 【分析】由，计算其平方，结合已知条件及二次函数性质即可求解． 【解答】解：因为，，，若， 所以 ， 所以当时，有最小值， 所以的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量模的计算，考查了转化思想，属于中档题． 8．（2024•成都模拟）已知正方形的边长为1，，分别是边，上的点（均不与端点重合），记，的面积分别为，．若，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】由三角形的面积公式，结合平面向量数量积的运算及重要不等式的应用求解． 【解答】解：设，，，， 则，， 由平面向量数量积的运算可得：，， 又， 则， 即， 即，当且仅当时取等号， 又， 即， 则， 则． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的面积公式，重点考查了平面向量数量积的运算及重要不等式的应用，属中档题． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。 9．（2024•葫芦岛二模）已知向量为非零向量，下列说法正确的有　　 A．若，则 B．已知向量，则 C．若，则和在上的投影向量相等 D．已知，则点，，一定共线 【分析】根据两个向量垂直的条件，列举出向量、、，从而判断出项的正误；根据向量的坐标运算法则加以计算，判断出项的正误；根据向量数量积的定义与投影向量的概念，判断出项的正误；根据向量的加法推导出，从而可得，进而判断出项的正误． 【解答】解：对于，设，，，此时，且与不垂直，故项不正确； 对于，若，则，，，，故项不正确； 对于，设的夹角为，的夹角为，若，则，约分得， 结合投影向量的概念，可知在上的投影向量相等，故项正确； 对于，由，可得， 所以，结合它们有公共点，可知、、三点共线，故项正确． 故选：． 【点评】本题主要考查平面向量垂直的条件、向量加减法的坐标运算、投影向量的概念、利用向量共线证明三点共线等知识，属于基础题． 10．（2024•浙江模拟）设，向量，向量，则　　 A．必不互为平行向量 B．必不互为垂直向量 C．存在，使 D．对任意 【分析】根据两个向量平行和垂直的条件，结合两角和与差的三角函数公式加以计算，判断出、两项的正误；根据向量相等，结合三角函数的定义判断出项的正误；通过计算出与的数量积，判断出与垂直，判断出项的正误． 【解答】解：若，则，即，可得，即， 结合，可知不存在满足条件的角，使，故项正确； 若，则，即，可得，即， 结合，可知存在，使，，互相垂直，故项不正确； 若，则且，则，， 结合，可知不存在满足条件的角，使，故项不正确； 因为都是单位向量，所以，可得， 因此，对任意成立，故项正确． 故选：． 【点评】本题主要考查平面向量平行与垂直的性质、两角和与差的三角函数公式、向量的数量积及其运算性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 11．（2024•船营区校级模拟）设三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，，，使得：成立．我们把叫做基底，把有序实数组，，叫做基底下向量的斜坐标．已知三棱锥．以为坐标原点，以为轴正方向，以为轴正方向，以为轴正方向，以同方向上的单位向量为基底，建立斜坐标系，则下列结论正确的是　　 A． B．的重心坐标为 C．若，1，，则 D．异面直线与所成角的余弦值为 【分析】根据新定义求出向量的坐标，从而判断出项的正误；求出、、三点的坐标，结合重心的坐标公式判断出项的正误，根据向量的数量积是否等于0，判断出项的正误；根据向量的夹角公式加以计算，判断出项的正误． 【解答】解：对于，根据，，可得， 所以，故项正确； 对于，根据，，可得，， 所以，0，，，0，，，1，， 的重心为，即，故项正确； 对于，因为，， 所以， 因此，不成立，故项错误； 对于，根据，，可得，， 设异面直线与所成角的为，由异面直线所成角的定义， 可知，，故项错误． 故选：． 【点评】本题主要考查空间向量的数量积及其运算性质、向量加减法的坐标表示、向量的夹角公式等知识，属于中档题． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．（2024•江苏模拟）设，为虚数单位．若集合，，，1，，且，则　1　． 【分析】由得，可得结果． 【解答】解：由题意得不成立舍去，则， 所以，解得． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于基础题． 13．（2024•包河区校级三模）已知向量，，若，则　　． 【分析】根据，可得，由此建立关于的方程，解之即可得到本题的答案． 【解答】解：由，，且， 可得，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算法则、两个向量垂直的条件等知识，属于基础题． 14．（2024•太原三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以直角三角形的斜边为边得到的正方形）．类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点是内（含边界）一点，若，则的最大值为 　　． 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，得到，取的中点，连接，可推导出，且，由此计算出的最大值． 【解答】解：若，则，即，取的中点，连接， 因为，所以，结合，可得， 所以，可知，当点与点重合时，的最大值等于， 综上所述，实数的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平行线的判定与性质、平面向量的线性运算法则、向量共线的条件等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力， 四、解答题：本题共5小题（13+15+15+17+17 ）满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2024•乌鲁木齐模拟）在中，点，分别为，的中点，与交于点，，． （Ⅰ）若，求中线的长； （Ⅱ）若是锐角三角形，求四边形面积的取值范围． 【分析】（1）根据题意，将的两边同时平方，可算出，然后由平面向量的线性运算法则算出，再将两边同时平方算出，可得答案； （2）根据已知条件推导出，结合、、均为锐角，由数量积的定义求出的范围，进而求出四边形面积的取值范围． 【解答】解：（1）因为点为的中点，所以，可得， 所以，即，解得不符合题意，舍去）， 又因为， 所以，即，可得； （2）， 根据是锐角三角形，可得是锐角，即，即， 所以，可得． 因为是锐角，即，可得， 所以，解得． 因为是锐角，即，即， 所以，可得，恒成立． 综上所述，，可得． 【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则、向量数量积的定义与运算性质、三角形面积公式及其性质，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 16．（2024•阜阳模拟）在中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积． 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，结合两角和与差的正弦公式得到，则有，则得到角的大小； （2）根据向量数量积的定义得到，结合余弦定理得到，，联立解得的值，再利用三角形面积公式即可得到答案． 【解答】解：（1）因为， 根据正弦定理得， ， ， 即， 即． ， ． 因为， 所以． （2）因为， 即． 因为， 所以①， 因为， 所以②， 联立①②可得， 解得（负舍）， 故的面积为． 【点评】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，向量数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题． 17．（2024•龙凤区校级模拟）如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点，且． （1）求的大小； （2）求面积的最小值． 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合已知条件求解即可； （2）由（1）利用基本不等式求出，再表示出的面积关于的函数，由函数单调性即可求解面积的最小值． 【解答】解：（1）如图，以为原点，、所在直线分别为、轴，建立平面直角坐标系， 因为正方形边长为1，，分别为边，上的点， 所以设，，其中，， 则，，， 因为，所以，即， 因为， 则． ，所以． （2）因为，即，当且仅当时等号成立， 所以， ， 所以当时，的面积最小，最小值为． 【点评】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了三角形的面积计算，考查了数形结合思想，属于中档题． 18．（2024•锦州模拟）已知，，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数的单调递增区间； （2）若锐角的内角，，的对边分别为，，，且，（B），求面积的取值范围． 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间； （2）由（B），得，由正弦定理和面积公式得，利用为锐角，得角的范围，由正弦函数的性质，得面积的取值范围． 【解答】解：（1）已知，，， 则， 由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为， 有， 得， 所以， 令， 解得， 所以函数的单调递增区间为． （2）已知， 由， 得， 由正弦定理， 得，， 则 ， 又是锐角三角形， 则， 即，， 则， 所以， 即面积的取值范围是． 【点评】本题考查了向量数量积的坐标运算及降幂公式和辅助角公式，重点考查了三角函数的性质及正弦定理和三角形的面积公式，属中档题． 19．（2024•苏州模拟）已知点，，和动点满足是，的等差中项． （1）求点的轨迹方程； （2）设点的轨迹为曲线按向量平移后得到曲线，曲线上不同的两点，的连线交轴于点，如果为坐标原点）为锐角，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，如果时，曲线在点和处的切线的交点为，求证：在一条定直线上． 【分析】（1）分别表示出的坐标，根据满足是，的等差中项，代入整理即可； （2）利用平移公式得出曲线的方程，与直线联立，利用韦达定理，结合数量积公式即可求解； （3）分别求出抛物线在点，处的切线方程，再联立方程组，得到交点的坐标，即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得，，， 则， ， 又是，的等差中项， ， 整理得：点的轨迹方程为． （2）由（1）知， 又， 平移公式为，即， 代入曲线的方程得到曲线的方程为：，即． 曲线的方程为，如图由题意可设，所在的直线方程为， 由消去得， 令，，，， 则， 点，在抛物线上， ， ，， 又为锐角， ， 即， ， 又， ， 得或， 实数的取值范围是，，． （3）证明：当时，由（2）可得， 对求导可得， 抛物线在点，处的切线的斜率分别为，， 在点，处的切线方程分别为，， 由， 解得交点的坐标， 满足， 即， 点在定直线上． 【点评】本题考查向量、导数、抛物线方程的综合应用，属于难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$