第2章 专题拓展 有理数的计算-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（苏科版2024）

数学 七年级上册 55 专题拓展 有理数的计算 例1 某班20名学生的数学期末考试成绩如下,请计算他们的总分与平均分. 87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88. 点拨:考虑到这些数均接近90,故以90为基准数,大于90的数记为“正”,小于90的数记为 “负”,这样计算可以简化运算. 例2 计算1+3+5+7+…+2023+2025的值. 点拨:观察算式,可以发现从第二项开始,后一项减去前一项的差都等于2,首末两项之和与距 首末两项等距离的两项之和都等于2026,所以可将算式倒过来写,与原算式相加得到1013个 2026,从而求出原算式的值. 变式练习 计算. (1)11+12+13+14+15+16+…+99+100; (2)1+4+7+10+…+244; (3) 1 2+ 1 4+ 1 8+ 1 16+ 1 32+ 1 64 ; 数学 七年级上册 56 (4) 1 2+ 1 3+ 2 3 + 1 4+ 2 4+ 3 4 +…+ 1 60+ 2 60+ 3 60+ …+ 59 60 . 例3 在数1,2,3,…,2024前添加符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是 多少? 点拨:由于若干个整数和的奇偶性,只与奇数的个数有关,所以在1,2,3,…,2024之前任意添 加符号“+”和“-”,不会改变和的奇偶性.在1,2,3,…,2024中有2024÷2个奇数,即有1012 个奇数,所以任意添加符号“+”或“-”之后,所得的代数和总为偶数,故最小非负数为0. 1. 计算1 5× (-5)÷ -15 ×5= ( ) A. 1 B. 25 C. -5 D. 35 2. 计算-2×32-(-2×32)= ( ) A. 0 B. -54 C. -72 D. -18 3. 若a,b为有理数,a 与b的差为正数,且a 与b两数均不为0,那么 ( ) A. 被减数a 为正数,减数b为负数 B. a 与b均为正数,且被减数a 大于减数b C. a 与b两数均为负数,且减数b的绝对值大 D. 以上答案都可能 4. 若a,b表示有理数,且a>0,b<0,a+b<0,则下列各式正确的是 ( ) A. -b<-a<b<a B. -a<b<a<-b C. b<-a<-b<a D. b<-a<a<-b 5. 我国古代的“河图”是由3×3的方格构成,每个方格内均有数目不同的点图,每一行、每一 列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等.如图给出了“河图”的部分点图,请 你推算出P 处所对应的点图是 ( ) A. B. C. D. 数学 七年级上册 57 6. (-8)2025+(-8)2026 能被下列数整除的是 ( ) A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 7. 在-44,-43,-42,…,1995,1996这一串连续的整数中,前100个连续整数的和等 于 . 8. 计算. (1)1 7 8÷ (-10)× -313 ÷ -3 3 4 ; (2) - 5 6+ 2 3 ÷ - 7 12 ×3 1 2 ; (3)-52- -4+ 1-0.2×15 ÷(-2) ; (4)(-6)× 1 6÷ - 1 6 ×6-(-3)3× 1 3. 9. 计算. (1)1+ 1 1+2+ 1 1+2+3+ …+ 1 1+2+3+…+100 ; (2) 12+ 1 3+ …+ 1 2025 1+ 1 2+ …+ 1 2024 - 1+ 1 2+ …+ 1 2025 1 2+ 1 3+ …+ 1 2024 . 10. 数学欣赏:埃及独特的分数. 埃及同中国一样,也是世界上著名的文明古国,古代埃及人处理分数与众不同,他们一般只使用 分子为1的分数,例如:用 1 3+ 1 15 来表示2 5 ,用1 4+ 1 7+ 1 28 来表示3 7 等.现在有90个埃及分数: 1 2 ,1 3 ,1 4 ,1 5 ,…,1 90 ,1 91 ,你能从中挑出10个,加上正负号,使它们的和为-1吗? 专题拓展 解读绝对值 典型例题 例1 -1 变式练习 ∵c<1,a>c,a<b,∴ |c-1|+|a-c |+ |a-b |=1-c+a-c+b-a=b-2c+1. 例2 (1)3 4 (2)|x+2| (3)因为|x-1|+ |x+3|可表示为点x 到1与-3两点的距离之和, 所以当x 在-3与1之间时,|x-1|+|x+3|有最 小值4. 变式练习 (1)x+2的零点值是-2,x-4的零点值是4 (2)①当x<-2时,原式=-2x+2;②当-2≤ x<4时,原式=6;③当x≥4时,原式=2x-2. 基础提升 1. 若m≥0,则|m|-m=0,若m<0,则|m|- m=-m-m=-2m>0,即|m|-m≥0.故选:B. 2. ∵|a|=-a,∴a≤0.则|a-1|-|a-2|= -(a-1)+(a-2)=-1.故选:A. 3. 根据数轴可知,a<b<0<c.A. a+b+c<0, 本选项错误;B. |a+b|>c,本选项错误;C. |a-c| 表示数a的点与数c的点之间的距离,可以用|a|+c 表示,本选项正确;D. |b-c|<|c-a|,本选项错误. 故选:C. 4. 由绝对值的几何意义知,当x=2时,|x-2|+ |x-1|+|x-3|的最小值为2. 5. 由题知,a1=0,a2=-|a1+1|=-|0+1|= -1,a3=-|a2+2|=-|-1+2|=-1,a4= -|a3+3|=-|-1+3|=-2,a5=-|a4+4|= -|-2+4|=-2,……依次类推,a2n=a2n+1= -n(n 为 正 整 数).当 2n+1=2025 时,a2025= -1012. 培优提高 6. ∵x>0,y<0,∴x-y+2>0,y-x-3< 0,∴|x-y+2|-|y-x-3|=x-y+2+(y- x-3)=-1. 7. ∵O 为AB 的中点,则a+b=0,a=-b,有 |a+b|=0, a b =1. 由数轴可知:a<-1,则|a+1|=-a-1.∴原 式=0+1-a-1=-a. 专题拓展 有理数的计算 典型例题 例1 总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+ 1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+ 1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1= 1799(分),平均分为90+(-1)÷20=89.95(分). 例2 用字母S 表示所求算式,即S=1+3+5+… +2023+2025.① 再将S 各项倒过来写,为S=2025+2023+… +3+1.② 将①,②两式左右两边分别相加,得2S=(1+ 2025)+(3+2023)+…+(2023+3)+(2025+ 1)=2026+2026+…+2026 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁 1013个2026 = 2026 × 1013 = 2052338.从而有S=1026169. 变式练习 (1)4995 (2)10045 (3) 63 64 (4)885 例3 将1,2,3,…,2024每连续四个数分为一组,使 每组之和为0,即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+… +(2021-2022-2023+2024)=0.所以,所求最小非 负数是0. 基础提升 1. B 2. A 3. D 4. D 5. C 6. C 7. 这前100个连续整数是-44,-43,-42,…, 53,54,55,则 这 些 数 字 的 和 为-44+(-43)+ (-42)+…+53+54+55=(-44+55)+(-43+ 54)+(-42+53)+…+55=11×50=550,故应 填:550. 8. (1)- 1 6 (2)1 (3)-20 13 25 (4)45 培优提高 9. (1)∵ 1 1+2= 2 2×3=2× 12-13 , 11+2+3 = 2 3×4=2× 13-14 , 11+2+3+4= 24×5=2× 14-15 ,…,∴ 11+2+3+…+n= 2n(n+1)=2× 1n - 1n+1 ,∴1+ 11+2+ 11+2+3+ … + 1 1+2+3+…+100=1+2× 12-13+13-14+… + 1 100- 1 101 =1+2× 12- 1101 =200101; (2)设a= 1 2+ 1 3+ …+ 1 2025 ,b= 1 2+ 1 3 +… + 1 2024 ,原式=a(1+b)-(1+a)b=a+ab-b- ab=a-b= 1 2025. 10. 10个分数分别是 1 2 ,1 6 ,1 12 ,1 20 ,1 30 ,1 42 ,1 56 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·9· 1 72 ,1 90 ,1 10 ,则- 1 2- 1 6- 1 12- 1 20- 1 30- 1 42- 1 56- 1 72- 1 90- 1 10=-1. 周末拓展 有理数 一、 1. C 2. D 3. B 4. B 5. D 6. D 7. B 8. B 二、 9. -0.02 10. 3或-5 11. 由题意可得保存温度的范围是23 ℃~ 27 ℃,则适合该食品保存的温度为25 ℃,故答案 为:25(答案不唯一). 12. -5 13. 2a-4 14. 3 -6 15. PQ 的中点或点P 16. 7 17. -6 三、 18. 正整数集合:15,123 负整数集合:-5, -80 正分数集合: 2 15 ,0.1,2.333 负分数集合: - 1 9 ,- 13 8 ,-5.32 19. 数轴上表示略,-4<-|-3|<-2 3 4<12 20. (1)-(-1)>-(+2) (2)- 8 21>- 3 7 (3)-(-0.3)< - 1 3 (4)- -2 <-(-2) 21. a=-1.5,b=1,c=2.5,|a|+|c-3|+ |b|=1.5+0.5+1=3 22. (1)由题意可得标准质量为70.7-0.7= 70(克),补充完整表格如图. 第n 枚 1 2 3 4 5 6 质量 -1.6 +1.3 +0.7 -1.4 -0.9 +2 (2)70×6-1.6+1.3+0.7-1.4-0.9+2= 420+0.1=420.1,∵420-5<420.1<420+5, ∴这盒点心的实际总质量是合格的. 23. 由题意得,翻转1次,B 落在1,翻转2次, A 落在2,翻转3次,C 落在3,周期为3,∵2023÷ 3=674……1,且翻转一次后B 落在1处,∴正三角 形向右翻转2023次,此时B 落在数轴上,则其对应 的数字为1+674×3=2023. 24. (1)|3-(-1)|=|3+1|=4,故答案为:4; (2)①∵|x+1|=3,∴x+1=3或x+1=-3, 解得:x=2或x=-4,故答案为:2或-4;②|x- 3|+|x+2|=5,当x>3时,x-3+x+2=5,解 得:x=3(舍去),当-2≤x≤3时,3-x+x+2=5, 当x<-2时,3-x-x-2=5,解得x=-2(舍 去).则可得符合要求的整数x 是-2,-1,0,1,2, 3.③存在;要使|x+1|-|x-3|有最大值,则可知 为-1与3之间的距离,即最大值为3-(-1)=4, 此时x 的值可以是8(x≥3). 周末拓展 有理数的运算 一、 1. B 2. B 3. D 4. A 5. A 6. C 7. A 8. B 9. 设一月份的标准价格为a 元,则三月份的价 格为(1+60%)×80%×a=1.28a.1.28a-a= 0.28a.即该商品三月份价格比一月份价格高28%. 故选:D. 10. 100! 98! = 100×99×98×…×2×1 98×97×…×2×1 =100× 99=9900.故选:C. 二、 11. 2055 12. -12 1 13. -3 14. 24 15. 50 16. 第一次输入-2,输出为(-2)2+1=5;第 二次输入5,输出为52+1=26.故填:26. 17. 没有参加数学兴趣小组的有48-42= 6(人),没 有 参 加 语 文 兴 趣 小 组 的 有48-34= 14(人),既参加数学兴趣小组,又参加语文兴趣小 组的有48-(14+6)= 28(人).故填:28. 18. 3,4,9,10 5,6,7,8 19. 设这杯饮料为1,根据题意得第一次后剩下 饮料是原来的:1- 1 2= 1 2 ,第二次后剩下饮料是原 来的:1- 1 2- 1 2 1-12 = 1-12 2 = 1 4 ,第三次 后剩下饮料是原来的: 1-12 -12 1-12 - 1 2 1-12-12 1-12 = 1-12 3 = 1 8 ,……∴第 8次后剩下饮料是原来的: 1-12 8 = 1 256. 20. 根据题意可得:1⊕2=2⊕1=3= 2 1+ 2 2 , (-3)⊕(-4)=(-4)⊕(-3)=- 7 6= 2 -3+ 2 -4 , (-3)⊕5=5⊕(-3)=- 4 15= 2 -3+ 2 5 ,则a⊕b= 2 a+ 2 b= 2a+2b ab . 故答案为:2a+2b ab . 三、 21. (1)- 3 4 (2)- 1 6 (3)-2.9 (4)- 1 12 (5)-13 22. 根据相反数的定义将-10,7,-2分别填 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·01·