第2章 专题拓展 数轴的应用-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（苏科版2024）

数学 七年级上册 51 专题拓展 数轴的应用 例1 在数轴上点A 表示1,点B 表示-2.5.回答下面的问题: (1)点A,B 之间的距离是 ; (2)观察数轴,与点A 的距离为3的点表示的数是 ; (3)若将数轴折叠,使点A 与表示-4的点重合,则折叠点表示的数是 ,此时点 B 与数 表示的点重合; (4)若数轴上 M,N 两点之间的距离为2015(M 在N 的左侧),且 M,N 两点经过(3)中 折叠后互相重合,则 M,N 两点表示的数分别是 , . 点拨:(1)(2)可以借助数轴,直接得出结论;(3)点A 与表示-4的点相距5个单长度,其对称 点表示的数是-1.5,由此得出与点B 重合的点所表示的数;(4)点 M 在对称点左边,离对称 点2015÷2=1007.5个单位长度,点 N 在对称点右边,离对称点1007.5个单位长度,由此求 出 M,N 两点表示的数. 例2 小明从A 地出发向东走10 m,然后返回向西走3 m,又返回向东走6 m,则小明在A 地 的哪个方向? 距A 地多少米? 点拨:本题可以借助数轴来求解.以A 地为原点,1 m为单位长度,向东为正方向,在数轴上表 示出此人所走的路线即可确定此人最后的位置. 例3 已知数轴上的点A 和点B 之间的距离为28个单位长度,点A 在原点O 的左边,距离原 点8个单位长度,点B 在原点的右边. (1)求A,B 两点表示的数; (2)数轴上点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时点B 以每秒3个单位长度 的速度向左运动,在点C 处追上了点A,求点C 表示的数; (3)已知数轴上点 M 从点A 出发向右运动,速度为每秒1个单位长度,同时点 N 从点 B 出发向右运动,速度为每秒2个单位长度,设线段NO 的中点为P,在运动过程中 线段PO-AM 的值是否变化? 若不变,求出它的值;若变化,请说明理由. 点拨:(1)可借助数轴进行分析,易知A,B 两点所表示的数;(2)本小题可归结为行程问题中的 追及问题,利用速度差×时间=路程差,可得点A 和点B 的运动时间,从而求得点C 表示的 数学 七年级上册 52 数;(3)设点 M 运动时间为t秒,把 PO,AM 分别用含t 的式子表示,再计算 PO-AM 的 值即可. 1. 5个城市的国际标准时间(单位:时)在数轴上表示如图所示,那么北京时间2024年10月1 日20时应是 ( ) A. 纽约时间2024年10月1日5时 B. 巴黎时间2024年10月1日13时 C. 首尔时间2024年10月1日19时 D. 伦敦时间2024年10月1日11时 2. 点A1,A2,A3,…,An(n 为正整数)都在数轴上,点A1 在原点O 的左边,且A1O=1,点A2 在点A1 的右边,且A2A1=2;点A3 在点A2 的左边,且A3A2=3,点A4 在点A3 的右边, 且A4A3=4,……依照上述规律,点A2024,A2025 所表示的数分别为 ( ) A. 2024,-2025 B. -2024,2025 C. 1012,-1013 D. 1012,-1012 3. 如图,一质点P 从距原点1个单位长度的点A 处向原点O 方向跳动,第一次跳动到OA 的 中点A1 处,第二次从A1 点跳动到OA1 的中点A2 处,第三次从A2 点跳动到OA2 的中点 A3 处,如此不断跳动下去,则第5次跳动后,该质点到原点O 的距离为 . 4. 操作与探究: 对数轴上的点P 进行如下操作:先把点P 表示的数乘 1 3 ,再把所得数对应的点向右平移 1个单位长度,得到点P 的对应点P'.点A,B 在数轴上,对线段AB 上的每个点进行上述 操作后得到线段A'B',其中点A,B 的对应点分别为点A',B',如图所示.若点A 表示的数 是-3,则点A'表示的数是 ;若点B'表示的数是2,则点B 表示的数是 . 已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E'与点E 重合,则点E 表示的数 是 . 7. ±3 -2 8. 2 9. -6 1 10. > < 11. (-2012)5<(-2012)3<(-2012)4 12. (1) 311-1 2 (2)当x=1时,原式=101;当x≠1时,原式 = x101-1 x-1 . 13. (1)100×7×(7+1)+25 100×8×(8+1) +25 (2)100n(n+1)+25 (3)4060225 2.7 有理数的混合运算 典型例题 例1 原式=(-214+32+214)× 53×815×14× 9-36 ×132=32×(2-36)×132=-34 例2 (1)原式=(-200+2)×36=-7200+72= -7128 (2)原式= 20+58 ×(-8)=-160-5= -165 例3 设S=1+7+72+73+…+72024+72025① 所以7S=7+72+73+…+72025+72026② ②-①得:6S=72026-1,所以S= 72026-1 6 变式练习 (1)- 7 6 (2)- 35 6 (3)22 (4)-1014 基础提升 1. C 2. B 3. C 4. B 5. (1)-36 9 64 (2)-3 (3)-36 (4)-37 (5) 2 3 培优提高 6. 算式20138+82013 的个位数字是9.理由: 20132 的个 位 数 字 是9、20134 的 个 位 数 字 是1、 20138 的个位数字也是1;81=8,82=64,83=512, 84=4096,85=32768,86=262144,……可见8的正 整数次幂的个位数字按8、4、2、6的顺序每4个一循 环.∵2013÷4=503……1,所以82013 的个位数字是 8.因此算式20138+82013 的个位数字是1+8=9. 7. (1)原式= 35-12-712 ×60× 37-17+ 5 7 =35×60-12×60-712×60=36-30-35=-29 (2)原式= 43× 34 2 - -32 2 × 3 16 × -163 = 43×34×34-94×316 × -163 = 34- 9 4× 3 16 × -163 =-34×163+94×316×163= -1 3 4 专题拓展 数轴的应用 典型例题 例1 (1)3.5 (2)-2或4 (3)-1.5 -0.5 (4)-1009 1006 例2 小明在A 地的东边,距A 地13 m. 例3 (1)-8,20 (2)-22 (3)设点 M 运动时间 为t 秒,则 AM =t,OP= 20+2t 2 =10+t ,所以 PO-AM=10+t-t=10为定值,即PO-AM 的 值不变. 基础提升 1. 由图知,当北京时 间2024年10月1日 20时,纽约时间2024年10月1日7时,伦敦时间 2024年10月1日12时,巴黎时间2024年10月1 日13时,首尔时间2024年10月1日21时.故 选:B. 2. 根据题意得:A1=-1,A2=1,A3=-2, A4=2,……当n 为奇数时,An=- n+1 2 ,当n 为偶 数时,An= n 2. 当n=2024时,A2024=1012,A2025= -1013.故选:C. 3. 第一次跳动到OA 的中点A1 处,即在离原 点的1 2 处,第二次从A1 跳动到A2 处,即在离原点 的 12 2 处,……则跳动n 次后,即跳到了离原点的 1 2n 处,则第5次跳动后,该质点到原点O 的距离为 1 25 = 1 32. 故答案为:1 32. 培优提高 4. 点A':-3× 1 3+1=-1+1=0 ,设点B 表示 的数为a,则 1 3a+1=2 ,解得a=3,设点E 表示的数为 b,则 1 3b+1=b ,解得b= 3 2. 故答案为:0,3, 3 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·8·