第2章 专题拓展 解读绝对值-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（苏科版2024）

数学 七年级上册 53 专题拓展 解读绝对值 例1 已知实数a 在数轴上的位置如图所示,则 a+1 a -1 的值是 . 点拨:观察数轴可知-1<a<0,所以|a+1|=a+1,|a|=-a,从而可以得到 a+1 a -1 的值. 变式练习 已知有理数a,b,c在数轴上的对应位置如图所示,则|c-1|+|a-c|+|a-b|化 简后的结果是 . 例2 点A,B 在数轴上分别表示有理数a,b,A,B 两点之间的距离表示为AB.在数轴上, A,B 两点之间的距离AB=|a-b|. 回答下列问题: (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ,数轴上表示1和-3的两点之间 的距离是 ; (2)数轴上表示x 和-2的两点之间的距离是 ; (3)若x 表示一个有理数,则|x-1|+|x+3|有最小值吗? 若有,请求出最小值;若没 有,请说明理由. 点拨:(1)可以直接套用两点之间的距离公式;(2)根据绝对值的定义可求解;(3)解决本小题的 关键是弄清|x-1|+|x+3|的几何意义是点x 到1与-3两点的距离之和. 变式练习 阅读下列材料并解决有关问题: 我们知道:|x|= x (x>0) 0 (x=0) -x (x<0) 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 ,现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式, 如化简代数式|x+1|+|x-2|时,可令x+1=0和x-2=0,分别求得x=-1,x=2(称-1, 2分别为|x+1|与|x-2|的零点值).在有理数范围内,零点值x=-1,x=2可将全体有理数 分成不重复且不遗漏的如下三种情况: ①x<-1;②-1≤x<2;③x≥2. 数学 七年级上册 54 从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下三种情况: ①当x<-1时,原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1; ②当-1≤x<2时,原式=x+1-(x-2)=3; ③当x≥2时,原式=x+1+x-2=2x-1. 综上所述,原式= -2x+1(x<-1), 3(-1≤x<2), 2x-1(x≥2). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 通过以上阅读,请解决以下问题: (1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值; (2)化简代数式|x+2|+|x-4|. 1. 若m 是有理数,则|m|-m 一定是 ( ) A. 零 B. 非负数 C. 正数 D. 负数 2. 已知|a|=-a,化简|a-1|-|a-2|所得的结果是 ( ) A. -1 B. 1 C. 2a-3 D. 3-2a 3. 有理数a,b,c的大小关系如图所示,则下列式子中一定成立的是 ( ) A. a+b+c>0 B. |a+b|<c C. |a-c|=|a|+c D. |b-c|>|c-a| 4. |x-2|+|x-1|+|x-3|的最小值是 . 5. 已知整数a1,a2,a3,a4,…满足下列条件:a1=0,a2=-|a1+1|,a3=-|a2+2|,a4= -|a3+3|,…依次类推,则a2025 的值为 . 6. 若x>0,y<0,求|x-y+2|-|y-x-3|的值. 7. 在数轴上表示a,0,1,b 四个数的点如图所示,已知O 为AB 的中点.求|a+b|+| a b|+ |a+1|的值. 专题拓展 解读绝对值 典型例题 例1 -1 变式练习 ∵c<1,a>c,a<b,∴ |c-1|+|a-c |+ |a-b |=1-c+a-c+b-a=b-2c+1. 例2 (1)3 4 (2)|x+2| (3)因为|x-1|+ |x+3|可表示为点x 到1与-3两点的距离之和, 所以当x 在-3与1之间时,|x-1|+|x+3|有最 小值4. 变式练习 (1)x+2的零点值是-2,x-4的零点值是4 (2)①当x<-2时,原式=-2x+2;②当-2≤ x<4时,原式=6;③当x≥4时,原式=2x-2. 基础提升 1. 若m≥0,则|m|-m=0,若m<0,则|m|- m=-m-m=-2m>0,即|m|-m≥0.故选:B. 2. ∵|a|=-a,∴a≤0.则|a-1|-|a-2|= -(a-1)+(a-2)=-1.故选:A. 3. 根据数轴可知,a<b<0<c.A. a+b+c<0, 本选项错误;B. |a+b|>c,本选项错误;C. |a-c| 表示数a的点与数c的点之间的距离,可以用|a|+c 表示,本选项正确;D. |b-c|<|c-a|,本选项错误. 故选:C. 4. 由绝对值的几何意义知,当x=2时,|x-2|+ |x-1|+|x-3|的最小值为2. 5. 由题知,a1=0,a2=-|a1+1|=-|0+1|= -1,a3=-|a2+2|=-|-1+2|=-1,a4= -|a3+3|=-|-1+3|=-2,a5=-|a4+4|= -|-2+4|=-2,……依次类推,a2n=a2n+1= -n(n 为 正 整 数).当 2n+1=2025 时,a2025= -1012. 培优提高 6. ∵x>0,y<0,∴x-y+2>0,y-x-3< 0,∴|x-y+2|-|y-x-3|=x-y+2+(y- x-3)=-1. 7. ∵O 为AB 的中点,则a+b=0,a=-b,有 |a+b|=0, a b =1. 由数轴可知:a<-1,则|a+1|=-a-1.∴原 式=0+1-a-1=-a. 专题拓展 有理数的计算 典型例题 例1 总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+ 1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+ 1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1= 1799(分),平均分为90+(-1)÷20=89.95(分). 例2 用字母S 表示所求算式,即S=1+3+5+… +2023+2025.① 再将S 各项倒过来写,为S=2025+2023+… +3+1.② 将①,②两式左右两边分别相加,得2S=(1+ 2025)+(3+2023)+…+(2023+3)+(2025+ 1)=2026+2026+…+2026 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁 1013个2026 = 2026 × 1013 = 2052338.从而有S=1026169. 变式练习 (1)4995 (2)10045 (3) 63 64 (4)885 例3 将1,2,3,…,2024每连续四个数分为一组,使 每组之和为0,即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+… +(2021-2022-2023+2024)=0.所以,所求最小非 负数是0. 基础提升 1. B 2. A 3. D 4. D 5. C 6. C 7. 这前100个连续整数是-44,-43,-42,…, 53,54,55,则 这 些 数 字 的 和 为-44+(-43)+ (-42)+…+53+54+55=(-44+55)+(-43+ 54)+(-42+53)+…+55=11×50=550,故应 填:550. 8. (1)- 1 6 (2)1 (3)-20 13 25 (4)45 培优提高 9. (1)∵ 1 1+2= 2 2×3=2× 12-13 , 11+2+3 = 2 3×4=2× 13-14 , 11+2+3+4= 24×5=2× 14-15 ,…,∴ 11+2+3+…+n= 2n(n+1)=2× 1n - 1n+1 ,∴1+ 11+2+ 11+2+3+ … + 1 1+2+3+…+100=1+2× 12-13+13-14+… + 1 100- 1 101 =1+2× 12- 1101 =200101; (2)设a= 1 2+ 1 3+ …+ 1 2025 ,b= 1 2+ 1 3 +… + 1 2024 ,原式=a(1+b)-(1+a)b=a+ab-b- ab=a-b= 1 2025. 10. 10个分数分别是 1 2 ,1 6 ,1 12 ,1 20 ,1 30 ,1 42 ,1 56 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·9·