2.6 有理数的乘方-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（苏科版2024）

数学 七年级上册 44 2.6 有理数的乘方 例1 计算:-22-(-2)2-23+ (-2)3-2 . 点拨:本题解决问题的关键是正确理解幂的概念,先分清-22 与(-2)2 之间的区别,算出它们 的幂,再按照运算顺序进行计算. 变式练习 计算. (1)-14- 1 6× [2-(-3)2]; (2)(-2)2003+(-2)2002; (3)(-0.25)2006×42004. 例2 有一根32米长的钢筋,第一次截去一半,第二次截去剩下的一半,如此下去,截第六次 后剩下的钢筋长多少米? 点拨:分别列举前几项,探索规律.截第一次后剩下的钢筋长是原来的 1 2 ,截第二次后剩下的钢 筋长是原来的 1 4 ,即 12 2 ,截第三次后剩下的钢筋长是原来的1 8 ,即 12 3 ,由此可以得到截第 六次后剩下的钢筋长是原来的 12 6 . 数学 七年级上册 45 变式练习 你喜欢吃拉面吗? 拉面馆的师傅用一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸再捏 合,再拉伸,反复几次,就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条,如图所示: 这样捏合到第7次后可拉出细面条 ( ) A. 14根 B. 49根 C. 64根 D. 128根 例3 用科学记数法表示56410000万. 点拨:科学记数法有其表示的标准形式:a×10n,其中1≤ a <10,n 为正整数.本题需要注意 数据中出现的“万”. 变式练习 1. 若一个数等于5.8×1021,则这个数的整数位数是 ( ) A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 2. 一个数用科学记数法表示为-3.02×105,则这个数是 . 3. 18克水里含有水分子的个数约为602300…0 ︸ 20个0 ,用科学记数法表示为 . 例4 用科学记数法表示1502. 点拨:先求出1502 的值,再用科学记数法表示. 1. 对任意实数a,下列各式一定不成立的是 ( ) A. a2=(-a)2 B. a3=(-a)3 C. a = -a D. a2≥0 2. 下列说法正确的是 ( ) A. 23 表示2×3的积 数学 七年级上册 46 B. 任何一个有理数的偶次幂是正数 C. -32 与 (-3)2 互为相反数 D. 一个数的平方是4 9 ,这个数一定是2 3 3. 两个有理数互为相反数,那么它们的n 次幂的值 ( ) A. 相等 B. 不相等 C. 绝对值相等 D. 没有任何关系 4. 党的十六大报告提出,全面建设小康社会的目标之一就是使人均国民生产总值超过3000 美元;若100美元可兑换880元人民币,则3000美元兑换成人民币用科学记数法表示为 ( ) A. 26.4×104 元 B. 2.64×104 元 C. 2.64×106 元 D. 0.264×105 元 5. 我省残疾人工作会议在郑州举行.会议提出继续开展全省各级残联扶残助残活动,计划投 入8966万元,惠及107万残疾人.8966万用科学记数法表示正确的是 ( ) A. 9.0×107 B. 9.0×106 C. 8.966×107 D. 8.966×108 6. 国家投资建设的泰州长江大桥已经开工,据泰州日报报道,大桥预算总造价是9370000000 元人民币,用科学记数法表示为 ( ) A. 93.7×109 元 B. 9.37×109 元 C. 9.37×1010 元 D. 0.937×1010 元 7. 若x2=9,则x 的值是 ;若a3=-8,则a 的值是 . 8. 若a,b互为相反数,c,d 互为倒数,且a≠0,则(a+b)2007+(cd)2008- ab 2009 = . 9. x+1 -6的最小值是 ,此时x2016= . 10. 比较大小:- 2 3 - 3 4 ,(-2)3 -12 2 . 11. 比较(-2012)3,(-2012)4,(-2012)5 的大小关系,并用“<”连接. 数学 七年级上册 47 12. 观察下列解题过程: 计算:1+5+52+53+…+524+525 的值. 解:设S=1+5+52+53+…+524+525, ① 则5S=5+52+53+…+525+526, ② ②-①,得4S=526-1,∴S= 526-1 4 . 通过阅读,你一定学会了一种解决问题的方法,请用你学到的方法计算. (1)1+3+32+33+…+39+310 (2)1+x+x2+x3+…+x99+x100 13. 问题:你能很快算出20152 吗? 为了解决这个问题,我们考虑个位上的数字为5的自然数的平方,任意一个个位数是5的 自然数的平方可写成(10n+5)2 的值(n 为自然数).请你试着分析n=1,n=2,n=3…… 这些简单情况,从中探索其规律,并归纳、猜想出结论(在下面空格内填上你的探索结果). (1)通过计算,探索规律: 152=225可写成100×1×(1+1)+25; 252=625可写成100×2×(2+1)+25; 352=1225可写成100×3×(3+1)+25; 452=2025可写成100×4×(4+1)+25; …… 752=5625可写成 ; 852=7225可写成 . (2)从第(1)题的结果,归纳、猜想得:(10n+5)2= . (3)根据上面的归纳、猜想,请算出:20152= . 20 60 ×60=2360×60=23 解法二: 14-15+13 ÷160= 14-15+13 × 60= 1 4×60- 1 5×60+ 1 3×60=15-12+20=23 (2)解法一: 1 60÷ 14-15+13 =160÷ 1560- 12 60+ 20 60 =160÷2360=123 解法二:因为 14-15+13 ÷160= 1560-1260+ 20 60 ×60=2360×60=23 所以根据倒数的定义有:1 60÷ 14-15+13 =123 变式练习 (1)3 6 7 (2)154 例3 因为a≠0,b≠0,c≠0,所以 a a =±1 ,b b = ±1, c c =±1.① 当a,b,c都是正数时, a a + b b + c c =3 ;②当a,b,c 中有两个正数,一个负数时, a a + b b + c c =1 ;③当a,b,c中有一个正数,两 个负数时,a a + b b + c c =-1 ;④当a,b,c都是 负数时,a a + b b + c c =-3. 所以 a a + b b + c c =±1 或±3. 变式练习 ∵a,b,c为三个不为0的有理数,且 a |a|+ b |b|+ c |c|=-1 ,∴a,b,c 中负数有2个,正数有 1个,∴abc>0,∴ abc |abc|= abc abc=1. 例4 (1)比标准总质量多-5×1+(-2)×4+0× 3+1×4+3×5+6×3=24(克),所以这批样品的 总质量比标准总质量多24克; (2)450×20+24=9024(克),抽样检测的总质 量是9024克. 变式练习 -0.5×1+(-0.2)×10+0×16+0.1× 14+0.3×7+0.4×2+50×10=501.8(千克) 基础提升 1. A 2. A 3. A 4. B 5. 2×3×[10+(-6)] 3×[10-(-6)]÷2 -6×(2×3-10)(答案不唯一) 6. 第1位同学报的数是: 2 1+1= 3 1 ,第2位同 学报的数是:2 2+1= 4 2 ,第3位同学报的数是: 2 3+ 1= 5 3 ,第4位同学报的数是: 2 4+1= 6 4 ,……,第 10为同学报的数是: 2 10+1= 12 10 ,∴10个数的积为 3 1× 4 2× 5 3× 6 4× …× 12 10= 11×12 1×2 =66. 故答案 为:66. 7. (1) 2 9 (2)- 14 25 8. (1)-7 1 11 (2)-22 2 3 (3)130.79 9. 从图中可以看出:与-3相邻的数是0,-2, 1,2,与0相邻的数是-3,-2,-1,1,与1相邻的数 是-3,-1,0,2,所以三种不同放法的底面的数字 依次为-1,2 和-2,它们的乘积为4. 10. ±2024 11. -12 培优提高 12. (1) 1 9×11 1 2× 19-111 (2) 12n-1× 1 2n+1 1 2× 12n-1- 12n+1 (3)100201 13. (1)当x=-6时,输出结果为:[(-6)×2+ 8]÷4- 1 2× (-6)=(-12+8)× 1 4+3= (-4)× 1 4+ 3=-1+3=2; (2)同意嘉淇的说法.理由:(2x+8)÷4- 1 2x= 1 2x+2- 1 2x=2 ,∴对于任意的一个数,经过上面 的程序运算后所得结果都是2. 2.6 有理数的乘方 典型例题 例1 -6 变式练习 (1) 1 6 (2)-22002 (3) 1 16 例2 32× 12 6 =32× 1 64= 1 2 (米) 变式练习 D 例3 56410000万=564100000000=5.641×1011 变式练习 1. C 2. -302000 3. 6.023×1023 例4 1502=150×150=22500=2.25×104 基础提升 1. B 2. C 3. C 4. B 5. C 6. B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·7· 7. ±3 -2 8. 2 9. -6 1 10. > < 11. (-2012)5<(-2012)3<(-2012)4 12. (1) 311-1 2 (2)当x=1时,原式=101;当x≠1时,原式 = x101-1 x-1 . 13. (1)100×7×(7+1)+25 100×8×(8+1) +25 (2)100n(n+1)+25 (3)4060225 2.7 有理数的混合运算 典型例题 例1 原式=(-214+32+214)× 53×815×14× 9-36 ×132=32×(2-36)×132=-34 例2 (1)原式=(-200+2)×36=-7200+72= -7128 (2)原式= 20+58 ×(-8)=-160-5= -165 例3 设S=1+7+72+73+…+72024+72025① 所以7S=7+72+73+…+72025+72026② ②-①得:6S=72026-1,所以S= 72026-1 6 变式练习 (1)- 7 6 (2)- 35 6 (3)22 (4)-1014 基础提升 1. C 2. B 3. C 4. B 5. (1)-36 9 64 (2)-3 (3)-36 (4)-37 (5) 2 3 培优提高 6. 算式20138+82013 的个位数字是9.理由: 20132 的个 位 数 字 是9、20134 的 个 位 数 字 是1、 20138 的个位数字也是1;81=8,82=64,83=512, 84=4096,85=32768,86=262144,……可见8的正 整数次幂的个位数字按8、4、2、6的顺序每4个一循 环.∵2013÷4=503……1,所以82013 的个位数字是 8.因此算式20138+82013 的个位数字是1+8=9. 7. (1)原式= 35-12-712 ×60× 37-17+ 5 7 =35×60-12×60-712×60=36-30-35=-29 (2)原式= 43× 34 2 - -32 2 × 3 16 × -163 = 43×34×34-94×316 × -163 = 34- 9 4× 3 16 × -163 =-34×163+94×316×163= -1 3 4 专题拓展 数轴的应用 典型例题 例1 (1)3.5 (2)-2或4 (3)-1.5 -0.5 (4)-1009 1006 例2 小明在A 地的东边,距A 地13 m. 例3 (1)-8,20 (2)-22 (3)设点 M 运动时间 为t 秒,则 AM =t,OP= 20+2t 2 =10+t ,所以 PO-AM=10+t-t=10为定值,即PO-AM 的 值不变. 基础提升 1. 由图知,当北京时 间2024年10月1日 20时,纽约时间2024年10月1日7时,伦敦时间 2024年10月1日12时,巴黎时间2024年10月1 日13时,首尔时间2024年10月1日21时.故 选:B. 2. 根据题意得:A1=-1,A2=1,A3=-2, A4=2,……当n 为奇数时,An=- n+1 2 ,当n 为偶 数时,An= n 2. 当n=2024时,A2024=1012,A2025= -1013.故选:C. 3. 第一次跳动到OA 的中点A1 处,即在离原 点的1 2 处,第二次从A1 跳动到A2 处,即在离原点 的 12 2 处,……则跳动n 次后,即跳到了离原点的 1 2n 处,则第5次跳动后,该质点到原点O 的距离为 1 25 = 1 32. 故答案为:1 32. 培优提高 4. 点A':-3× 1 3+1=-1+1=0 ,设点B 表示 的数为a,则 1 3a+1=2 ,解得a=3,设点E 表示的数为 b,则 1 3b+1=b ,解得b= 3 2. 故答案为:0,3, 3 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·8·