2.5 有理数的乘法与除法-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（苏科版2024）

数学 七年级上册 39 2.5 有理数的乘法与除法 2.5.1 有理数的乘法 2.5.2 有理数乘法运算律 2.5.3 有理数的除法 例1 计算. (1)(-8)×(-7.2)×(-2.5)× 5 12 ; (2)-2.5÷ 5 8× - 1 4 ; (3)-7.8×(-8.1)×0×|-19.6|; (4)63× -149 - 1 5÷ (-0.9). 点拨:按照有理数乘法法则和除法法则进行运算.混合运算时,要注意运算顺序. 例2 用适当的方法计算. (1) 14- 1 5+ 1 3 ÷ 1 60 ; (2) 1 60÷ 1 4- 1 5+ 1 3 . 点拨:(1)可用乘法分配律进行简便计算;(2)除法没有分配律,要先进行括号里式子的运算,再 进行除法运算. 数学 七年级上册 40 变式练习 用简便方法计算. (1)(-5)× -367 +(-7)× -3 6 7 -11× +3 6 7 ; (2)(2×3×4×5)× 12+ 1 3+ 1 4+ 1 5 . 例3 若a≠0,b≠0,c≠0,求 a a + b b + c c 的可能取值. 点拨:解决本题的关键是确定a,b,c的符号,由于a≠0,b≠0,c≠0,所以需要分四种情况进行 讨论. 变式练习 若a,b,c为有理数,且 a a + b b + c c =-1 ,求 abc abc 的值. 例4 某食品厂从生产的袋装食品中随机抽出样品20袋,检测每袋的质量是否符合标准,超 过或不足的部分分别用正、负数来表示,记录如下表. 与标准质量的差值(单位:g) -5 -2 0 1 3 6 袋数 1 4 3 4 5 3 (1)这批样品的总质量比标准总质量多还是少? 多或少几克? (2)若每袋标准质量为450克,则抽样检测的总质量是多少克? 点拨:本题是有理数运算的一个简单的应用型问题,通过与标准质量的差值与袋数的乘积来计 算总差值,再求出它们的和,即可求出样品的总质量与标准总质量的差值. 数学 七年级上册 41 变式练习 50箱苹果,以每箱10千克为标准,称重记录如下表(超过标准的千克数为正数), 求这50箱苹果的总质量. 与标准质量的差值(单位:g) -0.5 -0.2 0 0.1 0.3 0.4 袋数 1 10 16 14 7 2 1. 下列说法错误的是 ( ) A. 任何有理数都有倒数 B. 互为倒数的两个数的积为1 C. 互为倒数的两个数同号 D. 1和-1互为负倒数 2. 四个各不相等的整数a,b,c,d,它们的积abcd=9,那么a+b+c+d 的值是 ( ) A. 0 B. 3 C. 4 D. 不能确定 3. 如果-1<a<0,那么a(1-a)(1+a)的值一定是 ( ) A. 负数 B. 正数 C. 非负数 D. 正、负数不能确定 4. 下列说法中正确的有 ( ) ①两数相乘,若积为正数,则这两个因数都是正数 ②两数相乘,若积为负数,则这两个数异号 ③两个数的积为0,则这两个数都为0 ④互为相反数的两数之积一定是负数 ⑤正数的倒数是正数,负数的倒数是负数 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 对整数2,3,-6,10(每个数只用一次)进行加减乘除四则运算,使其运算结果等于24,其算 式可以是 、 、 . 6. 某数学小组的10位同学站成一列做报数游戏,规则如下:从前面第一位同学开始,每位同 学依次报自己序号的倒数的2倍加1,第1位同学报 2 1+1 ,第2位同学报 2 2+1 ,第3位同学 报2 3+1 ,……这样得到的10个数的积为 . 数学 七年级上册 42 7. 计算. (1)-27÷2 1 4× 4 9÷ (-24); (2)- 3 5× -3 1 2 ÷ -1 1 4 ÷3. 8. 用简便方法计算. (1)-49 7 11÷7 ; (2) -112- 1 36+ 3 4- 1 6 ×(-48); (3)(-3.85)×(-13)+(-13)×(-6.15)+0.79× 7 15+ 8 15×0.79. 9. 在立方体的六个面上分别标注-3,-2,-1,0,1,2中的一个数,图中的三个图形分别表示 该立方体的三种不同放法,求各种放法的立方体下底面上的数字之积. 10. 若a,b互为相反数,c,d 互为倒数,m 的绝对值是1,求(a+b)cd-2024m 的值. 11. “三角形” 表示a,b,c相乘,“方框” 表示x×g-w×y,试求 × 的值. 数学 七年级上册 43 12. 观察下列等式: 第1个等式:a1= 1 1×3= 1 2× 1- 1 3 ; 第2个等式:a2= 1 3×5= 1 2× 1 3- 1 5 ; 第3个等式:a3= 1 5×7= 1 2× 1 5- 1 7 ; 第4个等式:a4= 1 7×9= 1 2× 1 7- 1 9 ; …… 请回答下列问题: (1)按以上规律写出第5个等式:a5= = ; (2)用含n 的式子表示第n 个等式:an= = (n 为正整数); (3)求a1+a2+a3+…+a100 的值. 13. 老师设计了一个计算程序如图所示: (1)当x 取-6时,求出输出的结果; (2)嘉淇发现:对于任意的一个数,经过上面的程序运算后所得结果都相同.你同意她的说 法吗? 说明理由. (2)第一次爬行距离O 点是5 cm,第二次爬行 距离O 点是5-3=2(cm),第三次爬行距离O 点是 2+10=12(cm),第四次爬行距离O 点是12-8= 4(cm),第五次爬行距离O 点是|4-6|=|-2|= 2(cm),第六次爬行距离O 点是-2+12=10(cm),第 七次爬行距离O 点是10-10=0(cm),从上面可以 看出小虫离开O 点最远是12 cm; (3)小虫爬行的总路程为:|+5|+|-3|+ |+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|=5+3 +10+8+6+12+10=54(cm),54×2=108(粒), 所以小虫一共得到108粒芝麻. 9. (1)4☉3=4+5+6=15; (2)存在.理由:∵n☉4=n+(n+1)+(n+2) +(n+3)=4n+6,又∵n☉4=62,∴4n+6=62,解 得:n=14. 10. 原式 =(-2024-2025+4049-1)+ -56-23-12 =-1-2=-3. 11. (1)停在小明和小张之间的任何位置 (2)小明所在位置 (3)小明和小王之间的任何位置 2.4.4 有理数的加减混合运算 典型例题 例1 (1)-12 (2)-53 (3)-6 (4)0.75 例2 (1)0 (2)26 变式练习 - 4 3 例3 (1)15-(-9)=24(分钟),故跑步时间最长 的一天比最短的一天多跑24分钟; (2)30×7+ (12-9+11-7+13+15-5)=240(分钟),0.15× 240=36(千米).所以这七天他共跑了36米. 变式练习 (1)记该中学生足球队胜一球为1,负一 球为-1,所以由题意得,3+(-1)+2+(-3)+ 2+(-5)=-2,所以该中学生足球队在4场比赛中 总的净胜球数是-2.答:该中学生足球队在4场比 赛中总的净胜球数是-2; (2)不能,该中学生足 球队只得了3+1=4(分)<8分. 基础提升 1. D 2. A 3. D 4. C 5. (1)0 (2)-7 6. 2或-8 7. 1 8. 0 9. 700 10. (1)- 5 21 (2)- 23 4 (3)12 5 6 (4)-1 (5)-8 7 8 (6)-1.2 培优提高 11. 12. (1)因为|a|=13,|b|=2,且a,b同号,所 以a=13,b=2或a=-13,b=-2,则a+b=15或 -15; (2)因为|a|=13,|b|=2,且a,b 异号,所 以a=13,b=-2或a=-13,b=2,则a+b=11或 -11; (3)因为|a|=13,|b|=2,所以a=13,b=2 或a=13,b=-2或a=-13,b=2或a=-13,b= -2,则a+b=15或11或-11或-15. 13. 下列答案供参考: ①+2+3-4+5-6+7-8-9; ②-2-3-4-5-6-7+8+9; ③+2-3+4+5+6-7-8-9; ④-2+3-4+5-6-7-8+9; ⑤-2-3+4-5+6+7-8-9 14. (1)+5-4-8+10+3-6+7-11=-4, 则小王在出发地西边,距出发地4千米; (2)出租 车行驶的总路程是:5+4+8+10+3+6+7+11= 54(千米),则耗油是54×0.2=10.8(升),花费 10.8×6.20=66.96(元),答:小王在出发地西边, 距出发地4千米;耗油10.8升,花费66.96元. 15. (1)小明最后回到出发点O; (2)小明在 跑步 过 程 中 距 离 出 发 点 O 最 远 是1000米; (3)|+5|+|-3|+|-6|+|+8|+|-6|+ |+12|+|-10|=50,50×60=3000(卡). 16. -3 17. (1)停在小明和小张之间的任何位置. (2)小明所在位置. (3)小明和小王之间的任何位置. 2.5 有理数的乘法与除法 2.5.1 有理数的乘法 2.5.2 有理数乘法运算律 2.5.3 有理数的除法 典型例题 例1 (1)(-8)×(-7.2)×(-2.5)× 5 12=- 8× 36 5× 5 2× 5 12 =-60; (2)-2.5÷ 5 8× -14 =52×85×14=1; (3)-7.8×(-8.1)×0×|-19.6|=0; (4)63× -149 -15÷(-0.9)=-7×13+ 2 9=-91+ 2 9=-90 7 9. 例2 (1)解法一: 14-15+13 ÷160= 1560-1260+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·6· 20 60 ×60=2360×60=23 解法二: 14-15+13 ÷160= 14-15+13 × 60= 1 4×60- 1 5×60+ 1 3×60=15-12+20=23 (2)解法一: 1 60÷ 14-15+13 =160÷ 1560- 12 60+ 20 60 =160÷2360=123 解法二:因为 14-15+13 ÷160= 1560-1260+ 20 60 ×60=2360×60=23 所以根据倒数的定义有:1 60÷ 14-15+13 =123 变式练习 (1)3 6 7 (2)154 例3 因为a≠0,b≠0,c≠0,所以 a a =±1 ,b b = ±1, c c =±1.① 当a,b,c都是正数时, a a + b b + c c =3 ;②当a,b,c 中有两个正数,一个负数时, a a + b b + c c =1 ;③当a,b,c中有一个正数,两 个负数时,a a + b b + c c =-1 ;④当a,b,c都是 负数时,a a + b b + c c =-3. 所以 a a + b b + c c =±1 或±3. 变式练习 ∵a,b,c为三个不为0的有理数,且 a |a|+ b |b|+ c |c|=-1 ,∴a,b,c 中负数有2个,正数有 1个,∴abc>0,∴ abc |abc|= abc abc=1. 例4 (1)比标准总质量多-5×1+(-2)×4+0× 3+1×4+3×5+6×3=24(克),所以这批样品的 总质量比标准总质量多24克; (2)450×20+24=9024(克),抽样检测的总质 量是9024克. 变式练习 -0.5×1+(-0.2)×10+0×16+0.1× 14+0.3×7+0.4×2+50×10=501.8(千克) 基础提升 1. A 2. A 3. A 4. B 5. 2×3×[10+(-6)] 3×[10-(-6)]÷2 -6×(2×3-10)(答案不唯一) 6. 第1位同学报的数是: 2 1+1= 3 1 ,第2位同 学报的数是:2 2+1= 4 2 ,第3位同学报的数是: 2 3+ 1= 5 3 ,第4位同学报的数是: 2 4+1= 6 4 ,……,第 10为同学报的数是: 2 10+1= 12 10 ,∴10个数的积为 3 1× 4 2× 5 3× 6 4× …× 12 10= 11×12 1×2 =66. 故答案 为:66. 7. (1) 2 9 (2)- 14 25 8. (1)-7 1 11 (2)-22 2 3 (3)130.79 9. 从图中可以看出:与-3相邻的数是0,-2, 1,2,与0相邻的数是-3,-2,-1,1,与1相邻的数 是-3,-1,0,2,所以三种不同放法的底面的数字 依次为-1,2 和-2,它们的乘积为4. 10. ±2024 11. -12 培优提高 12. (1) 1 9×11 1 2× 19-111 (2) 12n-1× 1 2n+1 1 2× 12n-1- 12n+1 (3)100201 13. (1)当x=-6时,输出结果为:[(-6)×2+ 8]÷4- 1 2× (-6)=(-12+8)× 1 4+3= (-4)× 1 4+ 3=-1+3=2; (2)同意嘉淇的说法.理由:(2x+8)÷4- 1 2x= 1 2x+2- 1 2x=2 ,∴对于任意的一个数,经过上面 的程序运算后所得结果都是2. 2.6 有理数的乘方 典型例题 例1 -6 变式练习 (1) 1 6 (2)-22002 (3) 1 16 例2 32× 12 6 =32× 1 64= 1 2 (米) 变式练习 D 例3 56410000万=564100000000=5.641×1011 变式练习 1. C 2. -302000 3. 6.023×1023 例4 1502=150×150=22500=2.25×104 基础提升 1. B 2. C 3. C 4. B 5. C 6. B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·7·