2.4 有理数的加法与减法-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（苏科版2024）

数学 七年级上册 30 2.4 有理数的加法与减法 2.4.1 有理数的加法 2.4.2 有理数加法运算律 2.4.3 有理数的减法 例1 计算下列各题. (1)(-2.5)+(+4.6); (2)23+(-17)+6+(-22); (3)(-7)-9-(-3)+(-5); (4)-4.2+5.7-8.4+10. 点拨:按照有理数加法法则和减法法则来计算,先定符号,后进行绝对值的和或差的运算. 例2 用简便方法计算. (1) -413 + - 4 17 + 4 13+ - 13 17 ; (2)-5.4+0.5-0.6+3.5+2.5. 点拨:为了计算简便,可采用加法运算律简化运算.一般有以下规律:互为相反数的两个数相 加;符号相同的两个数相加;分母相同的数相加;能凑整的几个数相加等. 变式练习 用简便方法计算. 11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100. 数学 七年级上册 31 例3 出租车司机小石某天下午的营运全是在东西走向的人民大街上进行的.如果规定向东 为正,向西为负,他这天下午行车里程(单位:千米)如下. +15,-3,+14,-11,+10,-12,+4,-15,+16,-18. (1)将最后一名乘客送到目的地时,小石距下午出发地点的距离是多少千米? (2)若汽车耗油量为a 升/千米,这天下午汽车耗油共多少升? 点拨:(1)实质上就是求已知10个数的和的绝对值;(2)考虑到耗油量与汽车所走的路程数有 关,其总路程等于10个数的绝对值的和. 变式练习 某产粮专业户出售余粮20袋,每袋质量如下(单位:千克):199,201,197,203,200, 195,197,199,202,196,203,198,201,200,197,196,204,199,201,198.请用简便方法计算出售 的余粮总共多少千克? 1. 下列计算结果等于2的是 ( ) A. |-7|+|+5| B. |(-7)+(+5)| C. |+7|+|-5| D. |(+7)-(-5)| 2. 甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20米、-15米和-10米,那么最高的地方比最低的地方 高 ( ) A. 10米 B. 15米 C. 35米 D. 5米 3. (1)绝对值小于4的所有整数的和是 ; (2)绝对值大于2且小于5的所有负整数的和是 . 4. 若|a|=3,|b=2|,则a+b= . 5. 如图,有12个方格,每个方格内都有一个数.若任何相邻三个数的和都是18,则x 的值 是 . 5 A B C D E F x G H P 10 数学 七年级上册 32 6. 用适当的方法计算. (1)(+27)+(-23)+9+(-9); (2)1+ -12 + 1 3+ - 1 6 ; (3)-9+ +45 -(-12)+(-5)+ - 4 5 ; (4)37-1 1 5-24-13+3 3 5-2 2 5+13 8 9. 7. 若1<a<3,求|1-a|+|3-a|的值. 8. 小虫从某点O 出发,在一直线上来回爬行.假定向右爬行的路程记为正数,向左爬行的路程 记为负数,爬行的各段路程(单位:cm)如下:+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10. (1)小虫最后能否回到出发点O? (2)小虫离开出发点O 最远距离是多少? (3)在爬行过程中,如果每爬行1 cm,奖励2粒芝麻,则小虫一共可得到多少粒芝麻? 9. 符号“☉”代表一种新运算,例如:2☉3=2+3+4,7☉2=7+8,3☉5=3+4+5+6+7,… (1)求4☉3的值; (2)是否存在数n,使n☉4=62? 若存在,试求出n 的值;若不存在,请说明理由. 数学 七年级上册 33 10. 阅读下列例题的计算方法,再计算下面题目. 例:-5 5 6+ -9 2 3 + -3 1 2 +17 3 4 原式= (-5)+ -56 + (-9)+ - 2 3 + (-3)+ - 1 2 + 17+ 3 4 =[(-5)+(-9)+(-3)+17]+ -56 + - 2 3 + - 1 2 + 3 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 =0+ -54 =- 5 4 上面这种方法叫拆项法. 计算: -202456 + -2025 2 3 +4049+ -1 1 2 . 11. 小明、小王、小张和小亮住在同一条街上,分别记为A,B,C,D 四点.如果以点A 为原点 画成如图所示的数轴(一个单位为100 m),现有校车来接他们上学. (1)如果校车只接小明和小张,校车停在哪里他们两人走的路程之和最小? (2)如果校车来接小明、小王和小张,校车停在哪里他们三人走的路程之和最小? (3)如果校车来接他们四人,校车停在哪里他们四人走的路程之和最小? 数学 七年级上册 34 2.4.4 有理数的加减混合运算 例1 计算下列各题. (1)+2+(-14); (2)-35+(-18); (3)-3 2 3+ -2 1 3 ; (4)+3 1 4+ (-2.5). 点拨:根据有理数加减法法则计算. 例2 用简便方法计算. (1) -32 + - 5 12 + + 5 2 + - 7 12 ; (2)(-8.43)+13.76+7.43+13.24. 点拨:运用运算律能使运算简化,减少出错,可使用“相反数结合法”“同号结合法”“同分母结合 法”“凑整法”“同形结合法”等. 变式练习 用简便方法计算. -3 2 3+ (-2.4)- -13 - -4 2 5 . 例3 小明坚持跑步锻炼身体,他以30分钟为基准,将连续七天的跑步时间(单位:分钟)记录 如下:12,-9,11,-7,13,15,-5.(超过30分钟的部分记为“+”,不足30分钟的部分 记为“-”) (1)跑步时间最长的一天比最短的一天多跑几分钟? (2)若小明跑步的平均速度为每分钟0.15千米,请你计算这七天他共跑了多少千米? 数学 七年级上册 35 点拨:(1)用最大数减最小数即可求解;(2)先求出这七天的跑步时间,再乘速度即可求解. 变式练习 某中学生足球队在县足球比赛中踢了4场比赛,战绩是:第一场3∶1胜;第二场2 ∶3负;第三场0∶0平,第四场2∶5负. (1)该中学生足球队在4场比赛中总的净胜球数是多少? (2)如果胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,又已经积分超过8分方可出线,那 么该中学生足球队能否出线? 为什么? 1. 如果四个有理数的和为12,其中三个数是-10,+8,-6,那么第四个数是 ( ) A. +8 B. +11 C. +12 D. +20 2. 下列说法中正确的是 ( ) A. 减去一个负数,差一定大于被减数 B. 减去一个数,等于加上这个数 C. 零减去一个数仍得这个数 D. 互为相反数的两个数的差一定为零 3. 下列运算中正确的是 ( ) A. 3.58-(-1.58)=3.58+(-1.58)=2 B. (-2.6)-(-4)=2.6+4=6.6 C. 0- +25 - 7 5= + 2 5 - 7 5= 2 5+ - 7 5 =-1 D. 3 8-1 4 5= 3 8+ - 9 5 =- 57 40 4. 甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20米、-15米和-10米,那么最高的地方比最低的地方 高 ( ) A. 10米 B. 15米 C. 35米 D. 5米 5. (1)绝对值小于4的所有整数的和是 . (2)绝对值大于2且小于5的所有负整数的和是 . 数学 七年级上册 36 6. 若x 的相反数是3,y 的绝对值是5,则x-y 的值为 . 7. 设a 是 最 小 的 自 然 数,b 是 最 大 的 负 整 数,c是绝 对 值 最 小 的 有 理 数,则a-b+c = . 8. 绝对值小于2021的所有整数的和为 . 9. 某一时刻飞机原来在800 m的高空飞行,现上升150 m,又下降250 m,这时飞机飞行的高 度是 m. 10. 用适当的方法计算. (1) 1 6+ - 2 7 + - 5 6 + + 5 7 ; (2) -3 1 3 +5 1 2+ -4 2 3 + -3 1 4 ; (3)13 5 6+ - 3 4 - 5 6- - 7 12 ; (4) -2 2 3 +(-2.6)- - 2 3 - -3 3 5 ; (5)-7 3 8+4 1 2 + -18 1 4 + -6- 1 2 ; (6)(-6.62)- -325 -(-2.62)+ - 3 5 . 11. 将-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4这九个数分别填入下图方阵中,使横排、竖列、斜对角的三 个数相加的和相等. 数学 七年级上册 37 12. 已知|a|=13,|b|=2. (1)当a,b同号时,求a+b的值; (2)当a,b异号时,求a+b的值; (3)求a+b的值. 13. 在数字2,3,4,5,6,7,8,9的前面添加“+”或“-”,使它们的和为-10,你有几种添法? 请 至少写出3种. 14. 教师节当天,出租车司机小王在东西向的街道上免费接送教师,规定向东为正,向西为负, 当天出租车的行程如下(单位:千米):+5,-4,-8,+10,+3,-6,+7,-11. (1)将最后一名老师送到目的地时,小王距出发地多少千米? 方位如何? (2)若出租车耗油量为0.2升/千米,则当天耗油多少升? 若汽油价格为6.20元/升,则小 王共花费了多少元钱? 15. 小明在一条笔直的公路上进行跑步训练,可以用如图所示一条直线来刻画他在公路上跑 步的情境.假定向右跑步的路程记为正数,向左跑步的路程记为负数,则所跑步的各段路 程依次记为:+5,-3,-6,+8,-6,+12,-10.(单位:百米) (1)小明最后是否回到出发点O? (2)小明在跑步过程中距离出发点O 最远是多少米? (3)在跑步过程中,如果小明每跑1千米会消耗约60卡热量,那么小明此次训练一共会消 耗多少卡热量? 数学 七年级上册 38 16. 阅读例题的计算方法,再计算下题. 例:-5 5 6+ -9 2 3 + -3 1 2 +17 3 4 原式= (-5)+ -56 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 + (-9)+ -23 + (-3)+ - 1 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 + 17+34 =[(-5)+(-9)+(-3)+17]+ -56 + - 2 3 + - 1 2 + 3 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 =0+ -54 =- 5 4 上面这种方法叫做拆项法. 计算: -201156 + -2012 2 3 +4023+ -1 1 2 . 17. 小明、小王、小张和小亮住在同一条街上,分别记为A、B、C、D 四点.如果以点A 为原点 画成如图所示的数轴(一个单位为100 m),现有校车来接他们上学. (1)如果校车只接小明和小张,校车停在哪里他们两人走的路程之和最小? (2)如果校车来接小明、小王和小张,校车停在哪里他们三人走的路程之和最小? (3)如果校车来接他们四人,校车停在哪里他们四人走的路程之和最小? 例4 -|-2|<- 1 2<0<|-2.5|<- (-4) 变式练习 13.1 ℃ >3.8 ℃ >2.4 ℃ > -4.6 ℃ >-19.4 ℃ 基础提升 1. C 2. B 3. B 4. C 5. D 6. (1)∵|b|=2 1 3 ,-a= 2 3 ,-c=-3 1 2 , ∴a、|b|、-a、-c在数轴上的位置如图所示: (2)由(1)中的数轴可知:-c<a<-a<|b|. 培优提高 7. (1)依题意,得-3<-1.5<2<3.5. (2)将原点改在C 点,各点所对应的数为: A:-3.5;B:-5;C:0;D:1.5. 它们的大小顺序与(1)中仍然相同. 8. c<d<b<a 9. 有错误,错在因为6 5< 4 3 而得到- 6 5< - 4 3. 正确做法是:- 6 5 = 6 5 ,- 4 3 = 4 3 , 因为6 5= 18 15 ,4 3= 20 15 ,18 15< 20 15 ,即6 5< 4 3 , 所以- 6 5>- 4 3. 10. 由|p|=4,且p>0,得p=4;q 的相反数 等于3,得q=-3,所以-q=3, 故p+(-q)=7. 11. (1)B 最小,最小数是-2 (2)大3 (3)答案不唯一,如:A 向右移动2个单位,C 向左移动4个单位,这时三个点表示的数相等. 12. -a<b<0<-b<a 13. 10 提示:m=-6,n=4. 2.4 有理数的加法与减法 2.4.1 有理数的加法 2.4.2 有理数加法运算律 2.4.3 有理数的减法 典型例题 例1 (1)(-2.5)+(+4.6)=4.6-2.5=2.1; (2)23+(-17)+6+(-22)=(23+6)- (17+22)=29-39=-10; (3)(-7)-9-(-3)+(-5)=-7-9+3- 5=-16+3-5=-13-5=-18; (4)-4.2+5.7-8.4+10=(-4.2-8.4)+ (5.7+10)=-12.6+15.7=3.1. 例2 (1) -413 + -417 +413+ -1317 = -413 +413 + -417 + -1317 =-1; (2)-5.4+0.5-0.6+3.5+2.5=(-5.4- 0.6)+(0.5+3.5+2.5)=0.5. 变式练习 111 例3 (1)(+15)+(-3)+(+14)+(-11)+(+10) +(-12)+(+4)+(-15)+(+16)+(-18)=(15+ 14+10+4+16)+[(-3)+(-11)+(-12)+(-15) +(-18)]=59+(-59)=0(千米) (2)|+15|+|-3|+|+14|+|-11|+|+10|+ |-12|+|+4|+|-15|+|+16|+|-18|=118(千 米),所以耗油共118×a=118a(升). 答:(1)将最后一名乘客送到目的地时,小石距 下午出发地点的距离是0千米,即回到出发地点; (2)这天下午汽车耗油共118a 升. 变式练习 以200 kg为标准,分别记为-1,1,-3, 3,0,-5,-3,-1,2,-4,3,-2,1,0,-3,-4,4, -1,1,-2;它们的总质量为:-1+1-3+3+0- 5-3-1+2-4+3-2+1+0-3-4+4-1+1- 2+200×20=3986(千克). 基础提升 1. B 2. C 3. (1)绝对值小于4的所有整数为0,±1,±2, ±3,根据有理数的加法法则,互为相反数的两个数 和为0,可知这7个数的和为0.故答案为:0. (2)绝对值大于2小于5的所有负整数为-3, -4,其和为-7.故答案为:-7. 4. ±1或±5 5. 依题意得:H+P+10=18,∴H+P=8,又 ∵G+H+P=18,∴G=10,又∵F+x+G=18, ∴F+x=8,∴E=10,∴C+D=8,∵5+A+B= 18,∴A+B=13,∵A+B+C=18,∴C=5,∵C+ D+E=18,∴D=3,∵D+E+F=18,∴F=5, ∵F+x+G=5+x+10=18,∴x=3.故答案 为:3. 6. (1)4 (2) 2 3 (3)-2 (4)13 8 9 7. |1-a|+|3-a|=(a-1)+(3-a)=2 培优提高 8. (1)+5-3+10-8-6+12-10=0,所以小 虫最后能回到出发点O; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·5· (2)第一次爬行距离O 点是5 cm,第二次爬行 距离O 点是5-3=2(cm),第三次爬行距离O 点是 2+10=12(cm),第四次爬行距离O 点是12-8= 4(cm),第五次爬行距离O 点是|4-6|=|-2|= 2(cm),第六次爬行距离O 点是-2+12=10(cm),第 七次爬行距离O 点是10-10=0(cm),从上面可以 看出小虫离开O 点最远是12 cm; (3)小虫爬行的总路程为:|+5|+|-3|+ |+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|=5+3 +10+8+6+12+10=54(cm),54×2=108(粒), 所以小虫一共得到108粒芝麻. 9. (1)4☉3=4+5+6=15; (2)存在.理由:∵n☉4=n+(n+1)+(n+2) +(n+3)=4n+6,又∵n☉4=62,∴4n+6=62,解 得:n=14. 10. 原式 =(-2024-2025+4049-1)+ -56-23-12 =-1-2=-3. 11. (1)停在小明和小张之间的任何位置 (2)小明所在位置 (3)小明和小王之间的任何位置 2.4.4 有理数的加减混合运算 典型例题 例1 (1)-12 (2)-53 (3)-6 (4)0.75 例2 (1)0 (2)26 变式练习 - 4 3 例3 (1)15-(-9)=24(分钟),故跑步时间最长 的一天比最短的一天多跑24分钟; (2)30×7+ (12-9+11-7+13+15-5)=240(分钟),0.15× 240=36(千米).所以这七天他共跑了36米. 变式练习 (1)记该中学生足球队胜一球为1,负一 球为-1,所以由题意得,3+(-1)+2+(-3)+ 2+(-5)=-2,所以该中学生足球队在4场比赛中 总的净胜球数是-2.答:该中学生足球队在4场比 赛中总的净胜球数是-2; (2)不能,该中学生足 球队只得了3+1=4(分)<8分. 基础提升 1. D 2. A 3. D 4. C 5. (1)0 (2)-7 6. 2或-8 7. 1 8. 0 9. 700 10. (1)- 5 21 (2)- 23 4 (3)12 5 6 (4)-1 (5)-8 7 8 (6)-1.2 培优提高 11. 12. (1)因为|a|=13,|b|=2,且a,b同号,所 以a=13,b=2或a=-13,b=-2,则a+b=15或 -15; (2)因为|a|=13,|b|=2,且a,b 异号,所 以a=13,b=-2或a=-13,b=2,则a+b=11或 -11; (3)因为|a|=13,|b|=2,所以a=13,b=2 或a=13,b=-2或a=-13,b=2或a=-13,b= -2,则a+b=15或11或-11或-15. 13. 下列答案供参考: ①+2+3-4+5-6+7-8-9; ②-2-3-4-5-6-7+8+9; ③+2-3+4+5+6-7-8-9; ④-2+3-4+5-6-7-8+9; ⑤-2-3+4-5+6+7-8-9 14. (1)+5-4-8+10+3-6+7-11=-4, 则小王在出发地西边,距出发地4千米; (2)出租 车行驶的总路程是:5+4+8+10+3+6+7+11= 54(千米),则耗油是54×0.2=10.8(升),花费 10.8×6.20=66.96(元),答:小王在出发地西边, 距出发地4千米;耗油10.8升,花费66.96元. 15. (1)小明最后回到出发点O; (2)小明在 跑步 过 程 中 距 离 出 发 点 O 最 远 是1000米; (3)|+5|+|-3|+|-6|+|+8|+|-6|+ |+12|+|-10|=50,50×60=3000(卡). 16. -3 17. (1)停在小明和小张之间的任何位置. (2)小明所在位置. (3)小明和小王之间的任何位置. 2.5 有理数的乘法与除法 2.5.1 有理数的乘法 2.5.2 有理数乘法运算律 2.5.3 有理数的除法 典型例题 例1 (1)(-8)×(-7.2)×(-2.5)× 5 12=- 8× 36 5× 5 2× 5 12 =-60; (2)-2.5÷ 5 8× -14 =52×85×14=1; (3)-7.8×(-8.1)×0×|-19.6|=0; (4)63× -149 -15÷(-0.9)=-7×13+ 2 9=-91+ 2 9=-90 7 9. 例2 (1)解法一: 14-15+13 ÷160= 1560-1260+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·6·