2.3.1 绝对值-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（苏科版2024）

数学 七年级上册 20 2.3 绝对值与相反数 2.3.1 绝对值 例1 已知|x-2|+|y+3|=0,求x,y 的值. 点拨:任何有理数a 的绝对值都是非负数,即x-2≥0,y+3≥0,而两个非负数之和为0,则这 两个数均为0,故可求出x,y 的值. 变式练习 1. 若|a|=-a,则a 0. 2. 若|a-2|=1,则a= . 例2 若a,b为有理数,且|a|=|b|,那么a,b之间具有什么关系? 点拨:根据绝对值的几何意义,由|a|=|b|知,表示a,b的点到原点的距离相等,可得出a 与b 之间的关系,注意分类讨论。 变式练习 绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点之间的距离是6,那么这两个数 是 . 例3 某航天研究院所属工厂制造一种螺母,要求螺母内径的误差在±0.02 mm以内.某次检 测抽查了5个螺母,超过规定内径的长度数量(单位:mm)记作正数,没有超过规定内径 的长度数量(单位:mm)记作负数,结果如下表. 螺母编号 ① ② ③ ④ ⑤ 误差 +0.01 -0.018 +0.026 -0.025 +0.015 请用学过的知识说明: (1)哪些产品的内径是合乎要求的? (2)合乎要求的产品中哪一个质量更好一些? 点拨:产品的内径是否合乎要求,关键是比较误差的绝对值与0.02的大小;而误差的绝对值越 小,则离规定内径越接近的产品,其质量越好. 变式练习 正式足球比赛所用足球的质量有严格的规定.下面是6个足球的质量检测结果(用 正数记超过规定质量的克数,用负数记不足规定质量的克数): 数学 七年级上册 21 -25,+10,-20,+30,+15,-40.请指出哪个足球的质量好一些,并用绝对值知识进行 说明. 1. 下列说法中,错误的是 ( ) A. 一个数的绝对值一定是正数 B. 互为相反数的两个数的绝对值相等 C. 绝对值最小的数是0 D. 绝对值等于它本身的数是非负数 2. 绝对值不大于11.1的整数有 ( ) A. 11个 B. 12个 C. 22个 D. 23个 3. 如果|-2a|=-2a,则a 的取值范围是 ( ) A. a>0 B. a≥0 C. a≤0 D. a<0 4. 化简:-|-5|= ;|-(-5)|= ;- +12 = . 5. 绝对值最小的有理数是 . 6. 若|a|=|-5|,则a= . 7. 若|x|=3,|y|=5,则x= ,y= . 8. 当x≠0时, x x = . 9. 如果a>3,那么|a-3|= ,|3-a|= . 10. 如图,数轴上的点A 所表示的是有理数a,则点A 到原点的距离是 . 11. 已知|a-1|+|b-2|+|c-3|=0,求2a+b+c的值. 12. 若|x-7|与|y-2024|互为相反数,求x,y 的值. 数学 七年级上册 22 13. a 是有理数,且|a|=8. (1)若-a<0,求a 的值; (2)若a<0,在数轴上把表示a 的点向右移动5个单位长度后得到的点表示的数是多少? 14. 甲、乙两只昆虫分别在数轴上原点O 和表示数+8的点A 处,分别以1个单位长度/s, 1.5个单位长度/s的速度同时相向而行. (1)甲、乙两只昆虫第一次相遇在数轴上何处? (2)若甲、乙两只昆虫同时沿数轴的负方向而行,乙昆虫在数轴上何处追上甲昆虫? (3)在(1)的条件下,两只昆虫分别到达点A 和O 处后迅速返回,第二次相遇在数轴何处? 15. 求 1 3- 1 2 + 1 4- 1 3 + 1 5- 1 4 + …+ 1100- 1 99 的值. 16. 同学们都知道,|7-(-4)|表示7与-4之差的绝对值,实际上也可理解为7与-4两数 在数轴上所对的两点之间的距离.|7-4|也可理解为7与4两数在数轴上所对的两点之 间的距离.试探索: (1)|7-(-4)|= ; (2)找出所有符合条件的整数x,使得|x-(-6)|+|x-2|=8这样的整数是 ; (3)由以上探索猜想对于任何有理数x,|x-1|+|x-5|是否有最小值? 如果有,请求出 最小值;如果没有,请说明理由. 四行第四列的数是 25=1+4+8+12;……第n 行 第n 列的数是 1+4+8+12+…+4(n-1)=1+ 4[1+2+3+…+(n-1)]=1+2n(n-1);∴第七 行第七列的数是 1+2×7×(7-1)=85.故填:85. 9. (1)+10%表示比标准价格高10%,-10% 表示比标准价格低10%;(2)最高价格200×(1+ 10%)=220(元),最低价格200×(1-10%)= 180(元);(3)-20元~+20元. 10. (1)A 是向上箭头的上方对应的数,与4的 符号相同,在A 处的数是正数; (2)观察不难发现,向上箭头的上方是正数,下 方是负数,向下箭头的下方是正数,上方是负数,所 以B 和D 的位置是负数; (3)∵2024÷4=506,∴第2024个数是正数,排 在A 的位置. 11. 直 径 为 44.97 mm 的 轴 合 格,直 径 为 45.04 mm的轴不合格. 2.2 数轴 2.2.1 数轴 典型例题 例1 如图: 变式练习 1. A 2. (1)-2,-1,1,2.5 (2)点C (3)点B 和 点C 例2 (1)2 ±5 (2)-1 (3)-2或6 变式练习 D 基础提升 1. D 2. D 3. C 4. D 5. 6或-10 6. 左边盖住的数是-17,-16,-15,-14, -13,-12,-11,右边盖住的数是-2,-1,0,1,2, 3,4,共14个.故填:14. 7. (1)如图所示 (2)5+4.5=9.5(千米) (3)3+1.5+9.5+5=19(千米) 培优提高 8. -6 9. 当线段AB 的起点在整点时,AB 盖住的整 点有2025个;当线段AB 的起点不在整点时,AB 盖住的整点有2024个.所以答案为:2024或2025. 10. 1+2009=2010,2010÷4=502……2,再向 左滚动2个单位长度应该与字母C 所对应的点重 合. 故填:C. 11. 由题意可得,x3=3×1=3,故①正确;x5= 3×1-(5-3)×1=1,故②正确;∵108÷5= 21……3,∴x108=21+3=24,∵104÷5=20……4, ∴x104=20+3-1=22,∴x108>x104,故③错误; ∵2023÷5=404……3,∴x2023=404+3=407, ∵2024÷5=404……4,∴x2024=404+3-1=406, ∴x2023>x2024,故④正确.故选D. 12. (1)由数轴观察知,三根木棒长是20-5= 15(cm),则木棒长为15÷3=5(cm); (2)借助数轴,把小红与爷爷的年龄差看作木 棒AB,类似爷爷若是小红现在这么大,看作当B 点 移动到A 点时,此时A 点所对应的数为-40,小红 若是爷爷现在这么大,看作当A 点移动到B 点时, 此时B 点所对应的数为125,∴可知爷爷比小红大 (125+40)÷3=55(岁),可知爷爷的年龄为125- 55=70(岁).∴爷爷现在70岁. 2.2.2 有理数的大小 典型例题 例1 (1)- 5 6>- 6 7 (2)- -15 >- -16 变式练习 1. < 2. + - 7 8 >- -89 例2 a<-b<b<-a 变式练习 n<-m<m<-n 基础提升 1. B 2. B 3. > 4. 6 5. 0,1,2,3,4 6. 2 7. 0 8. -3(答案不唯一) 9. (1)-(-5)>-(+5) (2)-[-(-1)]< 0 (3)- 7 8<- 6 7 10. 在数轴上表示略 -2<-|-1|<- 1 2<0<- (-3.5) 11. -2<-a<-b<2 培优提高 12. (1)< (2)原式=-1-a+b-1-a- b=-2-2a 2.3 绝对值与相反数 2.3.1 绝对值 典型例题 例1 因为|x-2|≥0,|y+3|≥0,又|x-2|+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·3· |y+3|=0,所以x-2=0,y+3=0,所以x=2, y=-3. 变式练习 1. ≤ 2. 3或1 例2 相等或互为相反数 变式练习 3和-3 例3 (1)因为|+0.026|>0.02,|-0.025|> 0.02,所以+0.026,-0.025均不在要求的范围内, 故螺母③④不合乎要求,螺母①②⑤均合乎要求. (2)因为|+0.01|<|-0.015|<|-0.018|, 所以螺母①质量更好一些. 变式练习 “+10”的足球质量好一些.因为|+10|< |+15|<|-20|<|-25|<|+30|<|-40|,所以质量 检测结果是“+10”的足球质量好一些. 基础提升 1. A 2. D 3. C 4. -5 5 1 2 5. 0 6. ±5 7. ±3 ±5 8. ±1 9. a-3 a-3 10. -a 11. ∵|a-1|+|b-2|+|c-3|=0,∴a=1, b=2,c=3,∴2a+b+c=7. 12. x=7,y=2024 13. (1)8 (2)-3 培优提高 14. (1)相遇在数轴上3.2处 (2)乙昆虫在数 轴上-16处追上甲昆虫 (3)第二次相遇在数轴上 6.4处 15. 原式= 1 2 - 1 3 + 1 3- 1 4 + 1 4 - 1 5 + …+ 1 99 - 1 100= 49 100 16. (1)11 (2)-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2 (3)∵|x-1|+|x-5|表示数轴上x 的点到1 和5的距离的和,∴当1≤x≤5时,|x-1|+ |x-5|的最小值为4. 2.3.2 相反数 典型例题 例1 D 变式练习 C 例2 若移动点A,则把点A 向右移动1个单位长 度;若移动点B,则把点B 向右移动1个单位长度. 变式练习 ∵a 小于它的相反数,∴a<0,又A 与 原点相距3个单位长度,所以a=-3,再向左平移 6个单位长度后表示的数是-9.故填:-9. 例3 (1)-(+2.7)=-2.7 (2)- -14 =14 (3)+(-701)=-701 (4)-[+(-2)]=2 (5)-{-[-(-2)]}=2 (6)-{+[-(-2)]}=-2 变式练习 1. -3 2. > 3. 4049 基础提升 1. D 2. C 3. 数轴上一动点A 向左移动2个单位长度到 达点B,再向右移动5个单位长度到达点C,∵点C 表示的数为1,∴点B 表示的数为-4,∴点A 表示 的数为-2,∴则与点A 表示的数互为相反数的是 2.故选:D. 4. 2 5. 当a=0时,a+b和a-b互为相反数. 6. (1)-4 (2)7.1 (3)5 (4)-8 7. (1)∵x 的相反数是-2,且2x+3a=5, ∴x=2,故4+3a=5,解得:a= 1 3 ; (2)∵-[-(-a)]=8,∴a=-8,∴-a 的相 反数是-8. 培优提高 8. ∵(a⇒b)=-b,(a⇐b)=-a,∴(2010⇒ 2011)⇐(2009⇒2008)=(-2011⇐-2008)=2011. 9. ∵数轴上A 点表示7,且点C 到点A 的距 离为2,∴C 点有两种可能5或9.又∵B,C 两点所 表示的数互为相反数,∴B 点也有两种可能-5或 -9.故B:-5,C:5或B:-9,C:9. 10. 如图所示,可得:原点应向右移动6个单位 长度. 11. 第一行,数值为1,个数为1个,总个数为 1;第二行,数值为+2,-2,个数为2,总个数为3;第 三行,数值为+3,-3,个数为2,总个数为5;依此类 推,第n 行,数值为+n,-n,个数为2,总个数为 2n-1.故令2n-1=2025,解得:n=1013,则这两 个数为+1013和-1013. 2.3.3 根据绝对值比较数的大小 典型例题 例1 (1)< (2)< 例2 - 3 4<- 2 3 例3 - 1 2<- 1 3<0< 1 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·4·