2.1 正数与负数-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（苏科版2024）

数学 七年级上册 11 第2章 有理数 2.1 正数与负数 例1 如果把运进粮食3 t记作+3 t,那么-2 t表示 . 点拨:本题考查正负数的意义和表示方法.在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正, 则另一个就用负表示.所以由+3 t表示运进粮食3 t,可得-2 t表示的意义. 变式练习 向东行进-30米表示的实际意义是 ( ) A. 向东行进30米 B. 向南行进30米 C. 向西行进30米 D. 向西行进-30米 例2 把下列各数填在相应的大括号内. 15,- 1 2 ,0.81,-3, 1 4 ,-3.1,-4,171,0,3.14. 正数集合{ …} 负数集合{ …} 正整数集合{ …} 负整数集合{ …} 有理数集合{ …} 点拨:可从有理数的分类着手.把大于0的数填到正数集合内,小于0的数填到负数集合内,大 于0的整数填到正整数集合内,小于0的整数填到负整数集合内,整数和分数都填到有理数集 合内. 例3 某服装店以每件82元的价格购进了30套保暖内衣,销售时,针对不同的顾客,这30套 保暖内衣的售价不完全相同.若以100元为标准,将超过的钱数记为正,不足的钱数记 为负,则记录结果如下表. 售出件数 7 6 7 8 2 售价/元 +5 +1 0 -2 -5 请你求出该服装店在售完这30套保暖内衣后,共赚了多少钱? 数学 七年级上册 12 点拨:理解“正”与“负”的相对性.先由进货量和进货单价计算出进货的成本,再根据售价计算 出赚了多少钱. 变式练习 在“十一”黄金周期间,某风景区在五天假期中每天旅游的人数变化如下表.(正数 表示比前一天多的人数,负数表示比前一天少的人数) 日期 1日 2日 3日 4日 5日 人数变化/万人 1.6 0.8 0.4 -0.4 -1.2 请判断五天内游客人数最多的是哪天? 最少的是哪天? 它们相差多少万人? 1. 在0,-2,5, 1 4 ,-0.3中,负数的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列不是具有相反意义的量是 ( ) A. 前进5米和后退5米 B. 收入30元和支出10元 C. 向东走10米和向北走10米 D. 超过5克和不足2克 3. 下列关于“零”的说法,正确的是 ( ) ①零是整数,也是有理数;②零不是正数,也不是负数;③零不是整数,是有理数;④零是整 数,不是自然数. A. ①④ B. ②③ C. ①② D. ①③ 4. 小明身高165 cm,以小明身高为标准,小明爸爸身高175 cm,记作+10 cm,小明妈妈身高 163 cm,应记作 . 5. 一幢大楼地面上有12层,还有地下室2层,如果把地面上的第一层作为基准,记为0,规定 向上为正,那么习惯上将2楼记为 ,地下第一层记作 ,数-2的实际意义 为 ,数+9的实际意义为 . 数学 七年级上册 13 6. 写出3个负有理数与3个整数,分别填入下面的集合中,且使两集合重叠部分中的数有两个. 7. 观察下面依次排列的各列数,它们的排列有什么规律? 请接着写出后面的3个数,你能说 出第100个数,第200个数,第201个数是什么吗? (1)1,-1,1,-1,1,-1,1,-1, , , ,…; (2)1,-2,3,-4,5,-6,7,-8, , , ,…; (3)-1, 1 2 ,- 1 3 ,1 4 ,- 1 5 ,1 6 ,- 1 7 , , , ,…. 8. 将连续的正整数按以下规律排列,则位于第七行第七列的数x 是 . 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第七列 第一行 1 3 6 10 15 21 28 … 第二行 2 5 9 14 20 27 … 第三行 4 8 13 19 26 … 第四行 7 12 18 25 … 第五行 11 17 24 … 第六行 16 23 … 第七行 22 … … … … … x … 9. 一种商品的标准价格是200元,但随着季节的变化,商品的价格可浮动±10%. (1)±10%的含义是什么? (2)请计算出该商品的最高价格和最低价格; (3)如果以标准价格为基准,超过标准价记“+”,低于标准价记“-”,该商品价格的浮动范 围又可以怎样表示? 数学 七年级上册 14 10. 将一串有理数按下列规律排列,回答下列问题. (1)在A 处的数是正数还是负数? (2)A,B,C,D 中哪个位置是负数? (3)第2024个数是正数还是负数? 排在对应于A,B,C,D 中的什么位置? 11. 如图,在生产图纸上通常用ϕ300+0.2-0.5 来表示轴的加工要求,这里300表示直径是300 mm, +0.2和-0.5是指直径在(300-0.5)mm到(300+0.2)mm之间的产品都属于合格产品. 现加工一批轴,尺寸要求是ϕ45+0.03-0.04,请检验直径为44.97 mm和45.04 mm的两根轴是否 为合格产品. 律:第n 个图案中有火柴棒的根数为:2n(n+1). 5. 第一行小太阳的个数为1,2,3,4,…,第5个 图形有5个太阳,第二行小太阳的个数是1,2,4,8, …,第5个图形有24=16(个)太阳,所以第5个图形 共有5+16=21(个)太阳.故答案为:21. 6. 第一次点 A 向左移动3个单位长度至点 A1,则A1 表示的数为1-3=-2;第2次从点A1 向右移动6个单位长度至点A2,则A2 表示的数为 -2+6=4;第3次从点A2 向左移动9个单位长度 至点A3,则A3 表示的数为4-9=-5;第4次从点 A3 向右移动12个单位长度至点A4,则A4 表示的 数为-5+12=7;第5次从点A4 向左移动15个单 位长度至点 A5,则 A5 表示的数为7-15=-8; ……则A7 表示的数为-8-3=-11,A9 表示的数 为-11-3=-14,A11 表示的数为-14-3=-17, A13 表示的数为-17-3=-20,A6 表示的数为7+ 3=10,A8 表示的数为10+3=13,A10 表示的数为 13+3=16,A12 表示的数为16+3=19,所以点An 与原点的距离不小于20,那么n 的最小值是13.故 答案为:13. 培优提高 7. 由所给图形可知,第1个图案中小棒的根数 为:5=1×4+1;第2个图案中小棒的根数为:9= 2×4+1;第3个图案中小棒的根数为:13=3×4+ 1;……所以第n 个图案中小棒的根数为(4n+1) 根.令4n+1=69,解得n=17,所以第17个图案中 小棒的根数为69根.故选:B. 8. 用逆推法,用1乘2,得到2;用2乘2,得到 4;用4乘2,得到8;用8乘2,得到16;然后分类讨 论,判断出所有符合条件的m 的值为多少即可,m 的值为128,21,20,3. 9. ∵第一个正方形:3×4+1=13,4-0=4, 3-0=3;第二个正方形:5×6+1=31,6-2=4, 5-2=3;第三个正方形:7×8+1=57,8-4=4,7- 4=3;∴第四个正方形:a-6=4,c-6=3,ac+1= b;∴a=10,c=9,b=91,∴a+b+c=10+91+9= 110.故答案为:110. 10. ∵前三层三角形的几何点数分别是1,2,3, ∴第六层的几何点数是6,第n 层的几何点数是n; ∵前三层正方形的几何点数分别是1=2×1-1, 3=2×2-1,5=2×3-1,∴第六层的几何点数是 2×6-1=11,第n 层的几何点数是2n-1;∵前三层 五边形的几何点数分别是1=3×1-2,4=3×2-2,7 =3×3-2,∴第六层的几何点数是3×6-2=16,第 n 层的几何点数是3n-2;∵前三层六边形的几何 点数分别是1=4×1-3,5=4×2-3,9=4×3-3, ∴第六层的几何点数是:4×6-3=21,第n 层的几 何点数是4n-3.故答案为:6,11,16,21,n,2n-1, 3n-2,4n-3. 11. (1)n=1时,能盖住4条边,4=4×12;n= 2时,能盖住16条边,16=4×22;n=3时,能盖住 36条边,36=4×32;所以2n × 2n 的网格中正方形 能盖住4n2 条格边; (2)当n=7时,正方形能盖住4×72=196(条) 格边. 第2章 有理数 2.1 正数与负数 典型例题 例1 运出粮食2 t 变式练习 C 例2 正数集合{15,0.81, 1 4 ,171,3.14,…} 负数集合{- 1 2 ,-3,-3.1,-4,…} 正整数集合{15,171,…} 负整数集合{-3,-4,…} 有理数集合{15,- 1 2 ,0.81,-3, 1 4 ,-3.1, -4,171,0,3.14,…}. 例3 7×(100+5)+6×(100+1)+7×100+8× (100-2)+2×(100-5)=735+606+700+784+ 190=3015(元),30×82=2460(元),3015-2460= 555(元),共赚了555元. 变式练习 3日最多,5日最少,相差1.6万人. 基础提升 1. B 2. C 3. C 4. 以165 cm 为标准,超过的为正,不足的为 负,所以163 cm记为 -2 cm.故填:-2 cm. 5. +1 -1 地下第2层 地上第10层 6. (答案不唯一) 培优提高 7. (1)1,-1,1,第100个数是-1,第200个数 是-1,第201个数是1. (2)9,-10,11,第100个 数是-100,第200个数是-200,第201个数是 201. (3) 1 8 ,- 1 9 ,1 10 ,第100个数是 1 100 ,第200 个数是 1 200 ,第201个数是- 1 201. 8. 第一行第一列的数是 1; 第二行第二列的数 是 5=1+4;第三行第三列的数是 13=1+4+8;第 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·2· 四行第四列的数是 25=1+4+8+12;……第n 行 第n 列的数是 1+4+8+12+…+4(n-1)=1+ 4[1+2+3+…+(n-1)]=1+2n(n-1);∴第七 行第七列的数是 1+2×7×(7-1)=85.故填:85. 9. (1)+10%表示比标准价格高10%,-10% 表示比标准价格低10%;(2)最高价格200×(1+ 10%)=220(元),最低价格200×(1-10%)= 180(元);(3)-20元~+20元. 10. (1)A 是向上箭头的上方对应的数,与4的 符号相同,在A 处的数是正数; (2)观察不难发现,向上箭头的上方是正数,下 方是负数,向下箭头的下方是正数,上方是负数,所 以B 和D 的位置是负数; (3)∵2024÷4=506,∴第2024个数是正数,排 在A 的位置. 11. 直 径 为 44.97 mm 的 轴 合 格,直 径 为 45.04 mm的轴不合格. 2.2 数轴 2.2.1 数轴 典型例题 例1 如图: 变式练习 1. A 2. (1)-2,-1,1,2.5 (2)点C (3)点B 和 点C 例2 (1)2 ±5 (2)-1 (3)-2或6 变式练习 D 基础提升 1. D 2. D 3. C 4. D 5. 6或-10 6. 左边盖住的数是-17,-16,-15,-14, -13,-12,-11,右边盖住的数是-2,-1,0,1,2, 3,4,共14个.故填:14. 7. (1)如图所示 (2)5+4.5=9.5(千米) (3)3+1.5+9.5+5=19(千米) 培优提高 8. -6 9. 当线段AB 的起点在整点时,AB 盖住的整 点有2025个;当线段AB 的起点不在整点时,AB 盖住的整点有2024个.所以答案为:2024或2025. 10. 1+2009=2010,2010÷4=502……2,再向 左滚动2个单位长度应该与字母C 所对应的点重 合. 故填:C. 11. 由题意可得,x3=3×1=3,故①正确;x5= 3×1-(5-3)×1=1,故②正确;∵108÷5= 21……3,∴x108=21+3=24,∵104÷5=20……4, ∴x104=20+3-1=22,∴x108>x104,故③错误; ∵2023÷5=404……3,∴x2023=404+3=407, ∵2024÷5=404……4,∴x2024=404+3-1=406, ∴x2023>x2024,故④正确.故选D. 12. (1)由数轴观察知,三根木棒长是20-5= 15(cm),则木棒长为15÷3=5(cm); (2)借助数轴,把小红与爷爷的年龄差看作木 棒AB,类似爷爷若是小红现在这么大,看作当B 点 移动到A 点时,此时A 点所对应的数为-40,小红 若是爷爷现在这么大,看作当A 点移动到B 点时, 此时B 点所对应的数为125,∴可知爷爷比小红大 (125+40)÷3=55(岁),可知爷爷的年龄为125- 55=70(岁).∴爷爷现在70岁. 2.2.2 有理数的大小 典型例题 例1 (1)- 5 6>- 6 7 (2)- -15 >- -16 变式练习 1. < 2. + - 7 8 >- -89 例2 a<-b<b<-a 变式练习 n<-m<m<-n 基础提升 1. B 2. B 3. > 4. 6 5. 0,1,2,3,4 6. 2 7. 0 8. -3(答案不唯一) 9. (1)-(-5)>-(+5) (2)-[-(-1)]< 0 (3)- 7 8<- 6 7 10. 在数轴上表示略 -2<-|-1|<- 1 2<0<- (-3.5) 11. -2<-a<-b<2 培优提高 12. (1)< (2)原式=-1-a+b-1-a- b=-2-2a 2.3 绝对值与相反数 2.3.1 绝对值 典型例题 例1 因为|x-2|≥0,|y+3|≥0,又|x-2|+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·3·