1.3 交流 表达-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（苏科版2024）

数学 七年级上册 7 1.3 交流 表达 寻找规律性题型是一种常见的题型,主要是考查同学们的思维能力. 一、 相邻两数之差是一个常数 例1 如图,用黑白两色正方形瓷砖铺设地面,按照这样的规律,第n 个图案中黑色瓷砖块数 应表示为 . 第1个图案 第2个图案 第3个图案 … 点拨:方法一:从“数”的角度探索规律 按照图形中瓷砖排列的规律,通过画图和简单计算,把各个图形的序号和对应黑色瓷砖的 块数列表整理如下. 图形序号 1 2 3 4 5 … 图形中黑色 瓷砖的块数 4 6 8 10 12 … 从表格中可以看出,黑色瓷砖块数的变化规律:后一个图形比前一个图形的黑色瓷砖块数 依次多2,按照这个规律可求得第n 个图形中黑色瓷砖的块数. 方法二:从“形”的角度探索规律 如果把上面的各个图形进行合适的分解,得到如下各个图形: 第1个图案 第2个图案 第3个图案 … 观察各个图形,可以发现它们具有共同的规律:每个图案都是由一个斜放的“田”字格图形 与一些“弯拐”的图形组成,并且每个图案中“弯拐”图形的个数与图案的序号一致.所以,第n 个图案应该由一个“田”字格图形和n 个“弯拐”图形组成,而每个“田”字格图形中有2块黑色 瓷砖,每个“弯拐”图形中也有2块黑色瓷砖,故可求得第n 个图案中黑色瓷砖的块数. 由此可见,对于找规律的问题,既可以从数的角度分析,也可以把图形分解,从图形的角度分析. 二、 数字出现循环 例2 有一列数a1,a2,a3,…,an,从第二个数开始,每一个数都等于1与它前面那个数的倒数 的差.若a1=2,则a2007 为 ( ) A. 2007 B. 2 C. 12 D. -1 点拨:要寻找这一列数的规律,我们可先计算出前几个数具体的值,然后看看有无规律可循. 数学 七年级上册 8 三、 根据式子总结出规律 例3 观察下列各式: 152=1×(1+1)×100+52=225 252=2×(2+1)×100+52=625 352=3×(3+1)×100+52=1225 …… 依此规律,第n 个等式(n 为正整数)为 . 点拨:这是关于末尾数是5的整数的平方的计算规律,观察各等式可以发现,末尾数是5的整 数的平方等于这个数的十位上的数字乘这个数的十位上的数字与1的和,再乘100,再加上5 的平方. 变式练习 找规律.下列图形中有大小不同的菱形,第1幅图中有1个,第2幅图中有3个,第 3幅图中有5个,则第n 幅图中共有 个. 第1幅 第2幅 第3幅 … 第n 幅 1. 如图,以点O 为圆心的20个同心圆,它们的半径从小到大依次是1,2,3,4,…,20,阴影部 分是由第1个圆和第2个圆,第3个圆和第4个圆,……第19个圆和第20个圆形成的所有 圆环,则阴影部分的面积为 ( ) A. 231π B. 210π C. 190π D. 171π 第1题图 第2题图 2. 如图,将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠,使点A 落在BC 边上的A1 处,称为第1次 操作,折痕DE 到BC 的距离记为h1;还原纸片后,再将△ADE 沿着过AD 中点D1 的直线 折叠,使点A 落在DE 边上的A2 处,称为第2次操作,折痕D1E1 到BC 的距离记为h2;按 上述方法不断操作下去,经过第2015次操作后得到的折痕D2024E2024 到BC 的距离记为 h2025.若h1=1,则h2025 的值为 ( ) A. 1 22025 B. 1 22024 C. 1- 1 22025 D. 2- 1 22024 数学 七年级上册 9 3. 古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫作三角形数,其中1是第一个三角形数,3是第2 个三角形数,6是第3个三角形数,……依此类推,那么第9个三角形数是 ,2016 是第 个三角形数. 4. 如图是由火柴棒搭成的几何图案,则第n 个图案中有 根火柴棒.(用含n 的代数式 表示) 4根 n=1 12根 n=2 24根 n=3 5. 观察下列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第5个图形有 个太阳. 图1 图2 图3 图4 6. 如图,在数轴上,点A 表示1,现将点A 沿x 轴做如下移动:第一次点A 向左移动3个单位 长度到达点A1,第二次将点A1 向右移动6个单位长度到达点A2,第三次将点A2 向左移 动9个单位长度到达点A3,按照这种移动规律移动下去,第x 次移动点An.如果点An 与 原点的距离不小于20,那么x 的最小值是 . 7. 如图是用小棒按一定规律摆成的一组图案,第1个图案中有5根小棒,第2个图案中有9个 小棒,…那么第n 个图案中有69根小棒,则n 的值为 ( ) … A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 8. 取一个自然数,若它是奇数,则乘3加上1,若它是偶数,则除以2.按此规则经过若干步的 计算最终可得到1.这个结论在数学上还没有得到证明,但举例验证都是正确的.例如:取自 然数5,最少经过下面5步运算可得1,即:5 ×3+1 →16 ÷2 →8 ÷2 →4 ÷2 →2 ÷2 →1.如果自然数 m 最少经过7步运算可得到1,则所有符合条件的m 的值为 . 9. 填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律,按此规律得出a+b+c= . 数学 七年级上册 10 10. 毕达哥拉斯学派对“数”与“形”的巧妙结合有如下研究: 名称 三角形 正方形 五边形 六边形 几何点数 第1层 1 1 1 1 第2层 2 3 4 5 第3层 3 5 7 9 … … … … … 写出第六层各个图形的几何点数,并归纳出第n 层各个图形的几何点数. 11. 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,规定构成每个小正方形的边为“格边”. (1)猜想,在2n×2n 的网格中,其中正方形能盖住几条格边? (2)用上面的规律计算,在14×14的网格中,其中正方形能盖住几条格边? 参考答案 第1章 数学与我们同行 1.1 生活 观察 典型例题 例1 50 变式练习 29 例2 74 变式练习 738 基础提升 1. A 2. D 3. D 4. D 5. C 6. A 7. C 8. D 9. 33 培优提高 10. 90 11. 5 12. 先说 13. 20 14. 奇数 15. 7 9 11 176 16. 如图,利用平移线段,把楼梯的横竖向上向 左平移,构成一个矩形,长宽分别为6米,4米,∴地 毯的长度为6+4=10(米),地毯的面积为10×2= 20(平方米),∴买地毯至少需要20×40=800(元) . 17. (1)∵圆的半径=1,∴圆的面积S=πr2= π,∵重叠部分的面积是其中一个圆的面积的 1 4 , ∴阴影部分面积=2π-2× π 4= 3π 2 ; (2)∵参加学校新生运动会的10人中,有7人 同时参加新生足球赛, ∴只参加新生运动会的人数是10-7=3(人), ∵参加新生足球赛的15人中,有7人同时参加 新生运动会, ∴只参加新生足球赛的人数是15-7=8(人), ∴只参加学校的新生运动会或新生足球赛的 人数是3+8=11(人). 答:只参加学校的新生运动会或新生足球赛的 人数共11人. 1.2 活动 思考 典型例题 例1 181 变式练习 B 例2 变式练习 1- 1 22014 基础提升 1. B 2. D 3. D 4. B 5. B 6. A 7. 4 7 10 3001 3n+1 8. 50% 9. 9×19+20=191 培优提高 10. 399 11. 24 12. 11 13. 5 10 15 20 15 14. (1)7 21 (2)57 (3)y=n(n-1)+1 1.3 交流 表达 典型例题 例1 n=1时,黑瓷砖的块数为:4;n=2时,黑瓷砖 的块数为:6;n=3时,黑瓷砖的块数为:8;……当 n=n 时,黑瓷砖的块数为:2n+2. 例2 由题意可得,a1=2,a2=0.5,a3=-1,a4= 2,a5=0.5,a6=-1,∴2007÷3=669,∴a2007= -1.故选:D. 例3 第n 个等式(n 为正整数)为:(10n+5)2= n×(n+1)×100+52. 变式练习 第1幅图中有1个,第2幅图中有3个, 第3幅图中有5个,……∵1=1×2-1,3=2×2- 1,5=3×2-1,∴故第n 幅图中共有(2n-1)个.故 答案为:(2n-1). 基础提升 1. 由题意可得,阴影部分的面积和为:π(22- 12)+π(42-32)+π(62-52)+…+π(202-192)= 3π+7π+11π+15π+…+39π=5(3π+39π)= 210π.故选:B. 2. 经过第n 次操作后得到的折痕Dn-1En-1 到 BC 的距离hn=2- 1 2n-1 ,求得结果h2025=2- 1 22024 . 故选:D. 3. 第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+ 8+9=45,1+2+3+4+…+n=2016,n(n+1)= 4032,n=63.故答案为:45,63. 4. 第1个图案中有火柴棒的根数为:2×1×2; 第2个图案中有火柴棒的根数为:2×2×3;第3个 图案中有火柴棒的根数为:2×3×4;……发现规 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·1· 律:第n 个图案中有火柴棒的根数为:2n(n+1). 5. 第一行小太阳的个数为1,2,3,4,…,第5个 图形有5个太阳,第二行小太阳的个数是1,2,4,8, …,第5个图形有24=16(个)太阳,所以第5个图形 共有5+16=21(个)太阳.故答案为:21. 6. 第一次点 A 向左移动3个单位长度至点 A1,则A1 表示的数为1-3=-2;第2次从点A1 向右移动6个单位长度至点A2,则A2 表示的数为 -2+6=4;第3次从点A2 向左移动9个单位长度 至点A3,则A3 表示的数为4-9=-5;第4次从点 A3 向右移动12个单位长度至点A4,则A4 表示的 数为-5+12=7;第5次从点A4 向左移动15个单 位长度至点 A5,则 A5 表示的数为7-15=-8; ……则A7 表示的数为-8-3=-11,A9 表示的数 为-11-3=-14,A11 表示的数为-14-3=-17, A13 表示的数为-17-3=-20,A6 表示的数为7+ 3=10,A8 表示的数为10+3=13,A10 表示的数为 13+3=16,A12 表示的数为16+3=19,所以点An 与原点的距离不小于20,那么n 的最小值是13.故 答案为:13. 培优提高 7. 由所给图形可知,第1个图案中小棒的根数 为:5=1×4+1;第2个图案中小棒的根数为:9= 2×4+1;第3个图案中小棒的根数为:13=3×4+ 1;……所以第n 个图案中小棒的根数为(4n+1) 根.令4n+1=69,解得n=17,所以第17个图案中 小棒的根数为69根.故选:B. 8. 用逆推法,用1乘2,得到2;用2乘2,得到 4;用4乘2,得到8;用8乘2,得到16;然后分类讨 论,判断出所有符合条件的m 的值为多少即可,m 的值为128,21,20,3. 9. ∵第一个正方形:3×4+1=13,4-0=4, 3-0=3;第二个正方形:5×6+1=31,6-2=4, 5-2=3;第三个正方形:7×8+1=57,8-4=4,7- 4=3;∴第四个正方形:a-6=4,c-6=3,ac+1= b;∴a=10,c=9,b=91,∴a+b+c=10+91+9= 110.故答案为:110. 10. ∵前三层三角形的几何点数分别是1,2,3, ∴第六层的几何点数是6,第n 层的几何点数是n; ∵前三层正方形的几何点数分别是1=2×1-1, 3=2×2-1,5=2×3-1,∴第六层的几何点数是 2×6-1=11,第n 层的几何点数是2n-1;∵前三层 五边形的几何点数分别是1=3×1-2,4=3×2-2,7 =3×3-2,∴第六层的几何点数是3×6-2=16,第 n 层的几何点数是3n-2;∵前三层六边形的几何 点数分别是1=4×1-3,5=4×2-3,9=4×3-3, ∴第六层的几何点数是:4×6-3=21,第n 层的几 何点数是4n-3.故答案为:6,11,16,21,n,2n-1, 3n-2,4n-3. 11. (1)n=1时,能盖住4条边,4=4×12;n= 2时,能盖住16条边,16=4×22;n=3时,能盖住 36条边,36=4×32;所以2n × 2n 的网格中正方形 能盖住4n2 条格边; (2)当n=7时,正方形能盖住4×72=196(条) 格边. 第2章 有理数 2.1 正数与负数 典型例题 例1 运出粮食2 t 变式练习 C 例2 正数集合{15,0.81, 1 4 ,171,3.14,…} 负数集合{- 1 2 ,-3,-3.1,-4,…} 正整数集合{15,171,…} 负整数集合{-3,-4,…} 有理数集合{15,- 1 2 ,0.81,-3, 1 4 ,-3.1, -4,171,0,3.14,…}. 例3 7×(100+5)+6×(100+1)+7×100+8× (100-2)+2×(100-5)=735+606+700+784+ 190=3015(元),30×82=2460(元),3015-2460= 555(元),共赚了555元. 变式练习 3日最多,5日最少,相差1.6万人. 基础提升 1. B 2. C 3. C 4. 以165 cm 为标准,超过的为正,不足的为 负,所以163 cm记为 -2 cm.故填:-2 cm. 5. +1 -1 地下第2层 地上第10层 6. (答案不唯一) 培优提高 7. (1)1,-1,1,第100个数是-1,第200个数 是-1,第201个数是1. (2)9,-10,11,第100个 数是-100,第200个数是-200,第201个数是 201. (3) 1 8 ,- 1 9 ,1 10 ,第100个数是 1 100 ,第200 个数是 1 200 ,第201个数是- 1 201. 8. 第一行第一列的数是 1; 第二行第二列的数 是 5=1+4;第三行第三列的数是 13=1+4+8;第 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·2·