第3章 周末拓展 代数式(2)-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（人教版2024）

数学 七年级上册 74 周末拓展 代数式(2) 一、 选择题 1. 数学老师给所教的80名同学各买了一件相同的毕业纪念礼物,扫码支付了m 元,则每件礼 物的价格可表示为 ( ) A. m 80 元 B. (80-m)元 C. 80 m 元 D. 80m 元 2. 若a-2b+3=0,则代数式8b-4a 的值是 ( ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 24 3. “腹有诗书气自华,最是书香能放远.”为鼓励和推广全民阅读活动,某书店开展促销活动, 促销方法是将原价为x 元的一批图书以0.8(x-15)元的价格出售,则下列说法中,能正确 表达这批图书的促销方法的是 ( ) A. 在原价的基础上打8折后再减去15元 B. 在原价的基础上打0.8折后再减去15元 C. 在原价的基础上减去15元后再打8折 D. 在原价的基础上减去15元后再打0.8折 4. 下面是按一定规律排列的式子:a2,3a4,5a6,7a8,…,则第9个单项式是 ( ) A. 15a18 B. 17a16 C. 15a10 D. 17a18 5. 如图是一个数据转换器的示意图,当我们输入x=-2时,输出结果y 为 ( ) A. 3 B. 11 C. -1 D. 9 6. 小李同学在家翻阅日历,无意间发现某些数满足一定的规 律.右面为某年8月份日历,任意选择其中上下两行的含 4个数字的长方形部分,设右上角的数字为a,则下列叙述 中正确的是 ( ) A. 左上角的数字为a+1 B. 左下角的数字为a+7 C. 右下角的数字为a+8 D. 方框中4个位置的数相加,结果是4的倍数 7. 有一个最多能称16 kg的弹簧秤,称重时发现,弹簧的长度(cm)与物体的质量(kg)之间有 一定的关系.根据下表考虑:在弹簧称重范围内,弹簧最长为 cm. ( ) 质量/kg 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 长度/cm 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 数学 七年级上册 75 二、 填空题 8. 一件商品的进价是a 元,提价30%后出售,则这件商品的售价是 元. 9. 已知a-5b=2,用含b的代数式表示a,则a= . 10. 如图所示,从长a 宽b 的矩形纸片中剪去一个边长为c 的正方形,余下纸片的面积 为 . 11. 某绿化队原来用漫灌方式浇绿地,a 天用水m 吨,现改用喷灌方式,可使这些水所用的天 数为b天,现在比原来每天节约用水 吨.(用含a,b,m 的代数式表示) 12. 飞机的无风航速是a km/h,风速为20 km/h,飞机顺风飞行4小时,后又逆风飞行3小时, 飞机顺风飞行比逆风飞行多飞行 km. 13. 如图1,在长为a m,宽为b m的一块草坪上修了一条1 m宽的笔直小路,现为了增加美 感,把这条小路改为宽恒为1 m的弯曲小路如图2,草地部分的面积 .(填“变大” “不变”或“变小”) 14. 观察下列各式,你会发现什么规律? 3×5=15,而15=42-1,5×7=35,而35=62-1,……,11×13=143,而143=122-1. 将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来: . 15. 已知y=bx3+2,当x=-1时,y=0,那么当x=2时,y 的值是 . 三、 解答题 16. 某市为鼓励市民节约用水,特制定如下的收费标准:若每月每户用水不超过10立方米,则 按3元/立方米的水价收费,并加收0.2元/立方米的污水处理费;若超过10立方米,则超 过的部分按4元/立方米的水价收费,污水处理费不变. (1)若小华家5月份的用水量为8立方米,那么小华家5月份的水费为 元; (2)若小华家6月份的用水量为15立方米,那么小华家6月份的水费为 元; (3)若小华家某个月的用水量为a(a>10)立方米,求小华家这个月的水费为多少? (用含 a 的式子表示). 数学 七年级上册 76 17. 如图所示是一个长方形. (1)根据图中尺寸大小,用含x 的代数式表示阴影部分的面积S; (2)若x=3,求S 的值. 18. 小明房间窗户的装饰物如图1所示,它由两个四分之一圆组成. (1)用代数式表示图1窗户能射进阳光的部分的面积(窗框面积忽略不计); (2)为了更加美观,小明重新设计了房间窗户的装饰物,如图2所示(由两个四分之一圆和一 个半圆组成),请用代数式表示图2窗户能射进阳光的部分的面积(窗框面积忽略不计); (3)比较(1)和(2)中哪种设计射进阳光的部分的面积更大,大多少? 图1 图2 19. 如图,自行车每节链条的长度为2.5 cm,交叉重叠部分的圆的直径为0.8 cm. (1)2节链条长 cm,6节链条长 cm; (2)n 节链条的长度为多少? (3)如果一辆自行车的链条由60节这样的链条组成,那么这辆自行车上链条总长度是 多少? 数学 七年级上册 77 20. 某超市在“元旦”期间进行优惠促销活动,规定一次性购物优惠方案:少于200元,不予优 惠;高于200元但低于500元时,九折优惠;消费500元或超过500元时,其中500元部分 给予九折优惠,超过500元部分给予八折优惠.根据优惠方案解决下列问题: (1)李阿姨一次性购物650元,她实际付款多少元? (2)李阿姨在该超市一次性购物x 元(x>500),她实际付款多少元? (用含x 的代数式表 示) (3)如果李阿姨两次购物货款合计880元,第一次购物的货款为a 元(200<a<350),用含 a 的代数式表示李阿姨两次购物实际付款多少元? 21. “整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法,它在代数式的化简与求值中应用极为 广泛. 代数式x2+x+3的值为7,则代数式2x2+2x-3的值为 . 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下:由题意得,x2+x+3=7则有x2+x=4, 2x2+2x-3=2(x2+x)-3=2×4-3=5,所以代数式2x2+2x-3的值为5. 【方法运用】 (1)若代数式x2+x+1的值为15,求代数式-2x2-2x+3的值. (2)若x=2时,代数式ax3+bx+4的值为11,当x=-2时,求代数式ax3+bx+3 的值. 【拓展应用】 (3)若3m-4n=-3,mn=-1.求6(m-n)-2(n-mn)的值. (22001-22000)=22001-1. 22. (1)因为水柱的高度比出水管的高度的2倍 还高10 cm,且出水管的高度为x cm,所以水柱的高 度可表示为(2x+10)cm.故答案为:(2x+10). (2)由题知,x+(2x+10)=130,解得x=40, 答:出水管的高度为40 cm. 23. (1)表格补充完整如下: 圆环串中圆 环的个数 1 2 4 5 6 实心圆圈和空心 圆圈的总个数 10 19 37 46 55 (2)∵每增加一个圆环,实心圆圈和空心圆圈 的总个数就多出9个,∴当圆环串由x 个圆环组 成,组成圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为 (9x+1)个,故答案为:(9x+1); (3)当x=18时,实心圆圈和空心圆圈的总数有 9×18+1=163(个),∵围成偶数个圆环需要的实心 圆圈比空心圆圈多1个,∴空心圆圈有 163-1 2 = 81(个). 周末拓展 代数式(2) 一、 1. A 2. C 3. C 4. D 5. B 6. A. 左上角的数字为a-1,故不符合题意; B. 左下角的数字为a+6,故不符合题意;C. 右下 角的数字为a+7,故不符合题意;D. 方框中4个位 置的数相加:a+(a-1)+(a+6)+(a+7)=4a+ 12=4 (a+3),结果是4的倍数,故符合题意. 故 选:D. 7. 观察表中的数据可知,当挂重为x 千克时, 弹簧的长度y=x+5,当x=16时,则y=16+5= 21.故选:D. 二、 8. 1.3a 9. 5b+2 10. ab-c2 11. m b- m a 12. (a+140) 13. 由题意知,图1中草地部分可以拼成长为 a m,宽为(b-1)m的长方形,∴草地部分的面积为 a(b-1)m2.图2中草地部分可以拼成长为a m,宽 为(b-1)m 的 长 方 形,∴草 地 部 分 的 面 积 为 a(b-1)m2.∴草地的面积不变.故答案为:不变. 14. (2n+1)(2n+3)(n≥1)=(2n+2)2-12 15. 18 三、 16. (1)由题意,得8×(3+0.2)=25.6(元).故 答案为:25.6; (2)由题意,得10×(3+0.2)+(15-10)× (4+0.2)=53(元).故答案为:53; (3)3×10+4(a-10)+0.2a=4.2a-10.∴小 华家这个月的水费为(4.2a-10)元. 17. (1)由图形可知:S=4×8- 1 2×4×8- 1 2×4 (4-x)=16-8+2x=(8+2x)cm2. 另解:大三角形面积为:1 2×4×8=16 cm2,小 直角三角形的面积为:1 2× (8-4)×(4-x)=(8- 2x)cm2,∴S=8×4-16-(8-2x)=(8+ 2x)cm2. (2)将x=3代入上式,S=8+2×3=14 cm2. 18. (1)由图可得:能射进阳光的部分的面积: ab- 1 4π× b2 2 ×2=ab- 1 8πb 2; (2)由图可得:能射进阳光的部分的面积:ab- π× b4 2 =ab- 1 16πb 2; (3)由(1)ab- 1 8πb 2;(2)ab- 1 16πb 2;∴ab- 1 8πb 2- ab-116πb2 =-116πb2<0,故图(2)设计 射进阳光的部分的面积更大,大1 16πb 2. 19. (1)根据图形可得出:2节链条的长度为 2.5×2-0.8=4.2 cm,3节链条的长度为2.5× 3-0.8×2=5.9 cm,4节链条的长度为2.5×4- 0.8×3=7.6 cm,5节链条的长度为2.5×5-0.8× 4=9.3 cm,6节链条的长度为2.5×6-0.8×5= 11 cm,故答案为:4.2,11. (2)由(1)可得n 节链条的长度为2.5n-0.8× (n-1)=(1.7n+0.8)cm,答:n 节链条的长度为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·71· (1.7n+0.8)cm. (3)1.7×60+0.8=102.8(cm),答:60节这样 的链条总长度是102.8 cm. 20. (1)由题得,500×90%+150×80%=570, ∴她实际付款570元; (2)由题得,500×90%+80%(x-500)= 0.8x+50,∴她实际付款(0.8x+50)元; (3)∵第一次购物的货款为a 元(200<a< 350),实际付款0.9a 元,∴第二次购物的货款超过 500元,450+0.8(880-a-500)=-0.8a+754,李 阿姨两次购物实际付款(0.1a+754)元. 21. (1)∵x2+x+1=15,∴x2+x=14, ∴-2x2-2x+3=-2(x2+x)+3=-2×14+ 3=-25; (2)当x=2时,ax3+bx+4=8a+2b+4=11, ∴8a+2b=7,∴当x=-2时:ax3+bx+3= -8a-2b+3=-(8a+2b)+3=-7+3=-4; (3)∵3m-4n=-3,mn=-1,∴6(m-n)- 2(n-mn)=6m-6n-2n+2mn=6m-8n+2mn= 2(3m-4n)+2mn=2×(-3)+2×(-1)=-8. 第四章 整式的加减 4.1 整式 典型例题 例1 单项式有m,-1,-3πxy, a 3 ,3h π 多项式有ax2+bx+c, x-y 2 整式有 m,ax2+bx+c,-1,-3πxy, x-y 2 , a 3 ,3h π 变式练习 B 例2 (1)第8个单项式是- 1 28 x2y8; (2)猜想:第n 个单项式是(-1)n+1 1 2n x2yn,它 的系数是(-1)n+1 1 2n ,次数是n+2. 变式练习 5 -16 五 四 基础提升 1. C 2. D 3. m+n+1 二 4. 二 二 - 3 8 5. 100a+10b+c 6. (1)2n(n 为整数) (2)2n+1(n 为整数) (3)3n(n 为整数) (4)5n+2(n 为整数) 7. 3a+4b 8. 打包带的长中,有长方体的2个长、4个宽、 6个高,故打包带的长至少为:2x+4y+6z. 9. (1)5a 5a-b (2)长方形ABCD 的周长 =2(AB+AD)=2(5a+4a+b)=2(9a+b),当 a=1,b=3时,长方形ABCD 的周长=18a+2b= 18×1+2×3=18+6=24. 培优提高 10. 1000b+a 11. n+1 2n 12. 根据题意得,每件商品盈利(0.8b-a)元, 故答案为:(0.8b-a). 13. 依题意可知,乐乐在该公司寄市区内的一 件物品,重x(x>1)千克,则需支付10+2(x-1)= (2x+8)元.故答案为:(2x+8). 14. (1)(5x+60) (4.5x+72) (2)当x=10时,甲店需付费5×10+60= 110(元);乙店需付费4.5×10+72=117(元),∴到 甲商店比较合算; (3)可在甲店购买4副乒乓球拍,在乙店购买 (10-4)盒乒乓球,所需费用为:4×20+(10-4)× 5×0.9=80+27=107(元). 4.2 整式的加法与减法 典型例题 例1 D 变式练习 1. A 2. A 例2 21 变式练习 1. 由题意得:后面每一排都比前一排多一个座 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·81·