第3章 周末拓展 代数式(1)-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（人教版2024）

数学 七年级上册 69 周末拓展 代数式(1) 一、 选择题 1. 代数式-3x 的意义可以是 ( ) A. -3与x 的和 B. -3与x 的差 C. -3与x 的积 D. -3与x 的商 2. 买一个足球需m 元,买一个篮球需n 元,则买3个足球和2个篮球共需 ( ) A. 5mn 元 B. 6mn 元 C. (3m+2n)元 D. (2m+3n)元 3. 已知a+2b-5c=0,且a=1,则用含有b的式子来表示c,正确的为 ( ) A. 2b-5c=-1 B. 2b-5c=1 C. b= 5c-1 2 D. c= 1+2b 5 4. 根据流程图中的运算程序,当输入数据x=-5时,输出结果y 为 ( ) A. 1 B. 9 C. 25 D. 81 5. 某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时,主要依据的是下表的数据.设鸭的质量为x 千克,烤制 时间为t分钟,估计当x=6.5时,t的值为 ( ) 鸭的质量/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 烤制时间/分 40 60 80 100 120 140 160 180 A. 220 B. 240 C. 260 D. 280 6. 如图,长为y(cm),宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块.除阴影A,B 外,其余5块是形 状、大小完全相同的小长方形,其较短的边长为5 cm,则阴影A 的较短边和阴影B 的较短 边之和为 ( ) A. x-y+5 B. 2x+y+5 C. 2x-y+5 D. x+y+5 7. 某同学利用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的数据如下表,那么当输入数据是10 时,输出的数据是 ( ) 输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … 1 2 2 5 3 10 4 17 5 26 … A. 1 11 B. 10 99 C. 1 10 D. 10 101 数学 七年级上册 70 8. 当x=1时,整式ax3+bx-1的值等于100,那么当x=-1时,整式ax3+bx-1的值为 ( ) A. -100 B. 100 C. -102 D. 102 9. 下列选项中,能用2a+6表示的是 ( ) A. 整条线段的长度 B. 整条线段的长度 C. 这个长方形的周长 D. 这个图形的面积 10. 已知a>0,b>0,若a+2b=6,a2+4b2=20.请借助下图直观分析,计算ab的值应为 ( ) A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 二、 填空题 11. 位于天定山的长春冰雪新天地2023年底普通成人票价为150元/位,大学生票价为50 元/位,则m 位普通成人和n 位大学生的总票价为 元. 12. 一个两位数,个位数字是x,十位数字比个位数字的2倍少3,这个两位数是 . 13. 飞机的无风航速为x km/h,风速为18 km/h,飞机的顺风速度为 km/h. 14. 如图,正方形ABFE 和正方形EFCD 边长均为a 米,分别以点F,B 为圆心,正方形边长 为半径画弧,阴影部分的面积为 m2(用含a 的代数式表示). 15. 若2m-n=3,则4m-2n+4= . 16. 某学校计划购买甲、乙两种品牌的电子白板共20台.甲、乙两种品牌电子白板的单价分别 为3万元/台和2万元/台.若购买甲品牌电子白板费用为3(10+x)万元,则购买乙品牌 电子白板费用为 万元.(用含x 的代数式表示) 17. 如图所示的运算程序中,若开始输入的x 值为15,则第1次输出的结果为18,第2次输出 的结果为9,……第2025次输出的结果为 . 数学 七年级上册 71 三、 解答题 18. 火车站、机场、邮局等场所都有为旅客提供打包服务的项目.现有一个长、宽、高分别为 a cm,b cm,30 cm的箱子(其中a>b),准备采用如图1、2的两种打包方式,所用打包带 的总长(不计接头处的长)分别记为l1、l2. (1)求图①中打包带的总长l1、图②中打包带的总长l2 分别是多少? (用含a、b的式子表 示); (2)当a=70,b=50时,计算两种打包方式用打包带总长各是多少? 并判断哪一种打包方 式所用打包带更节省. 图① 图② 19. 如图,是萧萧同学画的新房建筑平面图:(单位:米) (1)求地面面积(不考虑墙体厚度); (2)萧萧想把所有房间的地面都铺上地砖.他在A、B 两个商场看到同一款地砖,零售价都 为78元/平方米,A 商场规定:购买面积不超过12平方米,按总价的90%优惠;购买面 积超过12平方米按总价的85%优惠;超过24平方米按总价的80%优惠. B 商场规定如下表: 面积范围 (平方米) 0~6 6以上~18 18以上 价格(元) 此范围费用 按95%收取 此范围费用 按85%收取 此范围费用 按75%收取 当a=5,b=3时,你能通过计算帮助他选择在哪个商场购买更优惠? 数学 七年级上册 72 20. 窗户的形状如图所示,上部是半圆形,下部是边长相同的四个小正方形,已知下部的小正 方形的边长是a 米,图中窗框均为塑钢材质,如果整个窗户的外框部分为A 型塑钢材质, 里面的窗框为B 型塑钢材质,其余部分都是透光玻璃.(π取3) (1)用含a 的式子表示这个的窗户的透光面积是多少? (窗框部分忽略不计) (2)如果a=0.5米,A 型塑钢材质为每米250元,B 型塑钢材质每米180元,玻璃价格为 每平方米40元,现有甲、乙两个公司作为选择甲公司:每满500元可以减60元;乙公 司:如果总价格超过1000元,可以总价格打九折.如何选择可以使总价格最省? 21. 观察以下一系列等式: ①21-20=2-1=20; ②22-21=4-2=21; ③23-22=8-4=22; …… (1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式; ; (2)若字母n 代表第n 个等式,请用字母n 表示上面所发现的规律: ; (3)请利用上述规律计算:20+21+22+23+…+22000. 数学 七年级上册 73 22. 某中学新建了一个音乐喷泉(图1),如图2,喷泉的水从出水管喷出形成漂亮的水柱,当出 水量达到最大时,喷泉会响起优美的音乐,此时水柱的高度比出水管的高度的2倍还高 10 cm,设出水管的高度为x cm. (1)直接用含x 的代数式表示水柱的高度为 cm; (2)当喷泉响起优美的音乐时,出水管和水柱的总高度为130 cm,求出水管的高度. 图1 图2 23. 如图,用5个实心圆圈,5个空心圆圈相间组成一个圆环,然后把这样的圆环从左到右按下 列规律组成圆环串;相邻两圆环有一公共圆圈,公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈 相间排列. 圆环串中圆环的个数 1 2 4 5 6 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 (1)把表格补充完整; (2)设圆环串由x 个圆环组成,请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个 数 个(用含x 的代数式表示); (3)如果圆环串由18个这样的圆环组成,那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个? 有 多少个空心圆圈? 1;……所以第n 个图案中小棒的根数为(4n+1) 根.令4n+1=69,解得n=17,所以第17个图案中 小棒的根数为69根.故选:B. 8. 用逆推法,用1乘2,得到2;用2乘2,得到 4;用4乘2,得到8;用8乘2,得到16;然后分类讨 论,判断出所有符合条件的m 的值为多少即可,m 的值为128,21,20,3. 9. ∵第一个正方形:3×4+1=13,4-0=4, 3-0=3;第二个正方形:5×6+1=31,6-2=4, 5-2=3;第三个正方形:7×8+1=57,8-4=4,7- 4=3;∴第四个正方形:a-6=4,c-6=3,ac+1= b;∴a=10,c=9,b=91,∴a+b+c=10+91+9= 110.故答案为:110. 10. ∵前三层三角形的几何点数分别是1,2,3, ∴第六层的几何点数是6,第n 层的几何点数是n; ∵前三层正方形的几何点数分别是1=2×1-1, 3=2×2-1,5=2×3-1,∴第六层的几何点数是 2×6-1=11,第n 层的几何点数是2n-1;∵前三层 五边形的几何点数分别是1=3×1-2,4=3×2-2,7 =3×3-2,∴第六层的几何点数是3×6-2=16,第 n 层的几何点数是3n-2;∵前三层六边形的几何 点数分别是1=4×1-3,5=4×2-3,9=4×3-3, ∴第六层的几何点数是:4×6-3=21,第n 层的几 何点数是4n-3.故答案为:6,11,16,21,n,2n-1, 3n-2,4n-3. 11. (1)n=1时,能盖住4条边,4=4×12;n= 2时,能盖住16条边,16=4×22;n=3时,能盖住 36条边,36=4×32;所以2n × 2n 的网格中正方形 能盖住4n2 条格边; (2)当n=7时,正方形能盖住4×72=196(条) 格边. 专题拓展 代数式的求值方法 典型例题 例1 A 变式练习 将m=2,n= 1 2 代入得,原式= 5 2. 例2 16 变式练习 1-2x2-4x=1-2(x2+2x)= 1-2×1=-1.故答案为:C. 例3 -4 变式练习 ∵ x=-3,ax5-bx3+cx-6=17, ∴(-3)5·a-(-3)3·b+(-3)·c=23,∴-35· a+33·b-3c=23;当x=3时,ax5-bx3+cx-6= 35·a-33·b+3c-6=-29. 基础提升 1. B 2. D 3. B 4. a2-2a=4,1+4a-2a2=1-2(a2-2a)= 1-8=-7.故答案为:-7. 5. (m+n)2-2m-2n=(m+n)2-2(m+n)= 1-2×(-1)=3.故答案为:3. 6. ∵x=4,∴ x(x-1) 2 =6 ,∵6<100,∴当 x=6时, x(x-1) 2 =15<100 ,∴ 当 x=15 时, x(x-1) 2 =105. 故答案为:105. 7. ∵当x=1时,代数式ax3+bx-6的值为 8,∴a+b-6=8,∴a+b=14;∴当x=-1时,代 数式ax3+bx-6=-a-b-6=-(a+b)-6= -14-6=-20. 8. 当x=2时,ax3+bx+c=a×23+b×2+ c=2024;当x=-2时,ax3+bx-c=a×(-2)3+ b×(-2)-c=-a×23-b×2-c=-(a×23+ b×2+c)=-2024. 培优提高 9. 当x=3时,5a×35+4b×33+3c×3-4= 2025,∴5a×35+4b×33+3c×3=2029;当x=-3 时,-5ax5-4bx3-3cx-4=-5a×(-3)5-4b× (-3)3-3c×(-3)-4=5a×35+4b×33+3c× 3-4=2029-4=2025. 周末拓展 代数式(1) 一、 1. C 2. C 3. D 4. C 5. 由表格数据知t与x 之间的关系式为:t= 40+40(x-0.5)=40x+20.∴当x=6.5时,t= 40×6.5+20=280(分钟).故选:D. 6. ∵大长方形的宽为x cm,小长方形的长为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·51· (y-15)cm,小长方形的宽为5 cm.∴阴影A 的较 短边为:x-2×5=(x-10)cm;阴影B 的较短边为 x-(y-15)=(x-y+15)cm,∴阴影A 的较短边 和阴影B 的较短边之和为 x-10+x-y+15= (2x-y+5)cm.故选:C. 7. 当输入数据分别是1,2,3,4,5时,输出的数 据分别 是1 2 ,2 5 ,3 10 ,4 17 ,5 26 ,∵ 1 2= 1 12+1 ,2 5= 2 22+1 ,3 10= 3 32+1 ,4 17= 4 42+1 ,5 26= 5 52+1 ,∴输出 的数据是一个分数,分子等于输入的数据,分母等 于输入的数据的平方与1的和,∴输入数据是10 时,输出的数据是: 10 102+1 = 10 101. 故选:D. 8. C 9. C 10. 设小正方形的边长为b,小长方形的长为 a,宽为b,∵a+2b=6,∴大正方形的边长为6, ∴大正方形的面积为36,∵a2+4b2=20,∴20+ 4ab=36,∴ab=4.故选:B. 二、 11. (150m+50n) 12. 21x-30 13. (x+18) 14. ∵正方形ABFE 和正方形EFCD 边长均 为a 米,∴CF=EF=FB=AB=a,∴S扇形CFE= S扇形AFB,∴影部分的面积=S正方形AEFB=a2(m)2.故 答案为:a2. 15. 10 16. ∵甲品牌电子白板的单价为3万元/台,且 购买甲品牌电子白板费用为3(10+x)万元,∴购买 甲品牌电子白板3 (10+x) 3 = (10+x)台,∵该学校 计划购买甲、乙两种品牌的电子白板共20台,∴购 买乙品牌电子白板20-(10+x)=(10-x)台,又 ∵乙品牌电子白板的单价为2万元/台,∴购买乙品 牌电子白板费用为2(10-x)万 元.故 答 案 为: 2(10-x). 17. 依题意,第3次输出的结果为:9+3=12, 第4次输出的结果为:12× 1 2=6 ,第5次输出的结 果为:6× 1 2=3 ,第6次输出的结果为:3+3=6,第 7次输出的结果为:6× 1 2=3 ,第8次输出的结果 为:3+3=6,……∴从4次开始,每次输出的结果都 是6,3,6,3,……∴第2025次输出的结果为3. 故 答案为:3. 三、 18. (1)图①中打包带的总长l1=4a+2b+ 30×6=(4a+2b+180)(cm),图②中打包带的总长 l2=2a+4b+30×6=(2a+4b+180)(cm); (2)当a=70,b=50时,图①中打包带的总长 l1=4×70+2×50+180=560(cm),图②中打包带 的总长l2=2×70+4×50+180=520(cm), ∵560>520,∴第二种方式更节省. 19. (1)地面面积=6×5.5+1×a+3×b= (33+a+3b)(平方米),答:地面面积为(33+a+ 3b)平方米; (2)当a=5,b=3时,地面面积=47(平方米), A 商场的花费=47×78×80%=2932.8(元),B 商 场的花费=6×78×95%+12×78×85%+29× 78×75%=2936.7(元),∵2932.8<2936.7,∴在 A 商场购买更优惠. 20. (1)窗户的面积=4a2+ 1 2πa 2= 4+12π a2= 5.5a2(平方米),答:窗户的面积为5.5a2 平方米; (2)∵图形外部周长为: 1 2×2πa+6a=9a= 4.5(米),内部材料长为:9a=4.5(米),∵A 型塑钢 材质为每米250元,B 型塑钢材质每米180元,玻璃 价格为每平方米40元,∴总价为:250×4.5+4.5× 180+5.5×0.52×40=1990(元),选择甲公司付钱: 1990-3×60=1810(元),选择乙公司付钱:1990× 0.9=1791,∵1791<1810,∴选择乙公司便宜. 21. (1)∵①21-20=2-1=20;②22-21=4- 2=21;③23-22=8-4=22;∴第④个等式为:24- 23=16-8=23,故答案为:24-23=16-8=23; (2)由(1)知,第n 个等式为:2n-2n-1=2n-1, 故答案为:2n-2n-1=2n-1; (3)由(1)(2)得:20=21-20,21=22-21,22= 23-22,……,22000=22001-22000.∴20+21+22+23 +…+22000=(21-20)+(22-21)+(23-22)+… 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·61· (22001-22000)=22001-1. 22. (1)因为水柱的高度比出水管的高度的2倍 还高10 cm,且出水管的高度为x cm,所以水柱的高 度可表示为(2x+10)cm.故答案为:(2x+10). (2)由题知,x+(2x+10)=130,解得x=40, 答:出水管的高度为40 cm. 23. (1)表格补充完整如下: 圆环串中圆 环的个数 1 2 4 5 6 实心圆圈和空心 圆圈的总个数 10 19 37 46 55 (2)∵每增加一个圆环,实心圆圈和空心圆圈 的总个数就多出9个,∴当圆环串由x 个圆环组 成,组成圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为 (9x+1)个,故答案为:(9x+1); (3)当x=18时,实心圆圈和空心圆圈的总数有 9×18+1=163(个),∵围成偶数个圆环需要的实心 圆圈比空心圆圈多1个,∴空心圆圈有 163-1 2 = 81(个). 周末拓展 代数式(2) 一、 1. A 2. C 3. C 4. D 5. B 6. A. 左上角的数字为a-1,故不符合题意; B. 左下角的数字为a+6,故不符合题意;C. 右下 角的数字为a+7,故不符合题意;D. 方框中4个位 置的数相加:a+(a-1)+(a+6)+(a+7)=4a+ 12=4 (a+3),结果是4的倍数,故符合题意. 故 选:D. 7. 观察表中的数据可知,当挂重为x 千克时, 弹簧的长度y=x+5,当x=16时,则y=16+5= 21.故选:D. 二、 8. 1.3a 9. 5b+2 10. ab-c2 11. m b- m a 12. (a+140) 13. 由题意知,图1中草地部分可以拼成长为 a m,宽为(b-1)m的长方形,∴草地部分的面积为 a(b-1)m2.图2中草地部分可以拼成长为a m,宽 为(b-1)m 的 长 方 形,∴草 地 部 分 的 面 积 为 a(b-1)m2.∴草地的面积不变.故答案为:不变. 14. (2n+1)(2n+3)(n≥1)=(2n+2)2-12 15. 18 三、 16. (1)由题意,得8×(3+0.2)=25.6(元).故 答案为:25.6; (2)由题意,得10×(3+0.2)+(15-10)× (4+0.2)=53(元).故答案为:53; (3)3×10+4(a-10)+0.2a=4.2a-10.∴小 华家这个月的水费为(4.2a-10)元. 17. (1)由图形可知:S=4×8- 1 2×4×8- 1 2×4 (4-x)=16-8+2x=(8+2x)cm2. 另解:大三角形面积为:1 2×4×8=16 cm2,小 直角三角形的面积为:1 2× (8-4)×(4-x)=(8- 2x)cm2,∴S=8×4-16-(8-2x)=(8+ 2x)cm2. (2)将x=3代入上式,S=8+2×3=14 cm2. 18. (1)由图可得:能射进阳光的部分的面积: ab- 1 4π× b2 2 ×2=ab- 1 8πb 2; (2)由图可得:能射进阳光的部分的面积:ab- π× b4 2 =ab- 1 16πb 2; (3)由(1)ab- 1 8πb 2;(2)ab- 1 16πb 2;∴ab- 1 8πb 2- ab-116πb2 =-116πb2<0,故图(2)设计 射进阳光的部分的面积更大,大1 16πb 2. 19. (1)根据图形可得出:2节链条的长度为 2.5×2-0.8=4.2 cm,3节链条的长度为2.5× 3-0.8×2=5.9 cm,4节链条的长度为2.5×4- 0.8×3=7.6 cm,5节链条的长度为2.5×5-0.8× 4=9.3 cm,6节链条的长度为2.5×6-0.8×5= 11 cm,故答案为:4.2,11. (2)由(1)可得n 节链条的长度为2.5n-0.8× (n-1)=(1.7n+0.8)cm,答:n 节链条的长度为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·71·