第1章 专题拓展 数轴的应用-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（人教版2024）

数学 七年级上册 16 专题拓展 数轴的应用 例1 在数轴上点A 表示1,点B 表示-2.5.回答下面的问题: (1)点A,B 之间的距离是 ; (2)观察数轴,与点A 的距离为3的点表示的数是 ; (3)若将数轴折叠,使点A 与表示-4的点重合,则折叠点表示的数是 ,此时点 B 与数 表示的点重合; (4)若数轴上 M,N 两点之间的距离为2015(M 在N 的左侧),且 M,N 两点经过(3)中 折叠后互相重合,则 M,N 两点表示的数分别是 , . 点拨:(1)(2)可以借助数轴,直接得出结论;(3)点A 与表示-4的点相距5个单长度,其对称 点表示的数是-1.5,由此得出与点B 重合的点所表示的数;(4)点 M 在对称点左边,离对称 点2015÷2=1007.5个单位长度,点 N 在对称点右边,离对称点1007.5个单位长度,由此求 出 M,N 两点表示的数. 例2 小明从A 地出发向东走10 m,然后返回向西走3 m,又返回向东走6 m,则小明在A 地 的哪个方向? 距A 地多少米? 点拨:本题可以借助数轴来求解.以A 地为原点,1 m为单位长度,向东为正方向,在数轴上表 示出此人所走的路线即可确定此人最后的位置. 例3 已知数轴上的点A 和点B 之间的距离为28个单位长度,点A 在原点O 的左边,距离原 点8个单位长度,点B 在原点的右边. (1)求A,B 两点表示的数; (2)数轴上点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时点B 以每秒3个单位长度 的速度向左运动,在点C 处追上了点A,求点C 表示的数; (3)已知数轴上点 M 从点A 出发向右运动,速度为每秒1个单位长度,同时点 N 从点 B 出发向右运动,速度为每秒2个单位长度,设线段NO 的中点为P,在运动过程中 线段PO-AM 的值是否变化? 若不变,求出它的值;若变化,请说明理由. 点拨:(1)可借助数轴进行分析,易知A,B 两点所表示的数;(2)本小题可归结为行程问题中的 追及问题,利用速度差×时间=路程差,可得点A 和点B 的运动时间,从而求得点C 表示的 数学 七年级上册 17 数;(3)设点 M 运动时间为t秒,把 PO,AM 分别用含t 的式子表示,再计算 PO-AM 的 值即可. 1. 5个城市的国际标准时间(单位:时)在数轴上表示如图所示,那么北京时间2024年10月1 日20时应是 ( ) A. 纽约时间2024年10月1日5时 B. 巴黎时间2024年10月1日13时 C. 首尔时间2024年10月1日19时 D. 伦敦时间2024年10月1日11时 2. 点A1,A2,A3,…,An(n 为正整数)都在数轴上,点A1 在原点O 的左边,且A1O=1,点A2 在点A1 的右边,且A2A1=2;点A3 在点A2 的左边,且A3A2=3,点A4 在点A3 的右边, 且A4A3=4,……依照上述规律,点A2024,A2025 所表示的数分别为 ( ) A. 2024,-2025 B. -2024,2025 C. 1012,-1013 D. 1012,-1012 3. 如图,一质点P 从距原点1个单位长度的点A 处向原点O 方向跳动,第一次跳动到OA 的 中点A1 处,第二次从A1 点跳动到OA1 的中点A2 处,第三次从A2 点跳动到OA2 的中点 A3 处,如此不断跳动下去,则第5次跳动后,该质点到原点O 的距离为 . 4. 操作与探究: 对数轴上的点P 进行如下操作:先把点P 表示的数乘 1 3 ,再把所得数对应的点向右平移 1个单位长度,得到点P 的对应点P'.点A,B 在数轴上,对线段AB 上的每个点进行上述 操作后得到线段A'B',其中点A,B 的对应点分别为点A',B',如图所示.若点A 表示的数 是-3,则点A'表示的数是 ;若点B'表示的数是2,则点B 表示的数是 . 已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E'与点E 重合,则点E 表示的数 是 . -9.故B:-5,C:5或B:-9,C:9. 10. 如图所示,可得:原点应向右移动6个单位 长度. 11. 第一行,数值为1,个数为1个,总个数为 1;第二行,数值为+2,-2,个数为2,总个数为3;第 三行,数值为+3,-3,个数为2,总个数为5;依此类 推,第n 行,数值为+n,-n,个数为2,总个数为 2n-1.故令2n-1=2025,解得:n=1013,则这两 个数为+1013和-1013. 1.2.4 绝对值 典型例题 例1 因为|x-2|≥0,|y+3|≥0,又|x-2|+ |y+3|=0,所以x-2=0,y+3=0,所以x=2, y=-3. 变式练习 1. ≤ 2. 3或1 例2 相等或互为相反数 变式练习 3和-3 例3 (1)因为|+0.026|>0.02,|-0.025|> 0.02,所以+0.026,-0.025均不在要求的范围内, 故螺母③④不合乎要求,螺母①②⑤均合乎要求. (2)因为|+0.01|<|-0.015|<|-0.018|, 所以螺母①质量更好一些. 变式练习 “+10”的足球质量好一些.因为|+10|< |+15|<|-20|<|-25|<|+30|<|-40|,所以质量 检测结果是“+10”的足球质量好一些. 基础提升 1. A 2. D 3. C 4. -5 5 1 2 5. 0 6. ±5 7. ±3 ±5 8. ±1 9. a-3 a-3 10. -a 11. ∵|a-1|+|b-2|+|c-3|=0,∴a=1, b=2,c=3,∴2a+b+c=7. 12. x=7,y=2024 13. (1)8 (2)-3 培优提高 14. (1)相遇在数轴上3.2处 (2)乙昆虫在数 轴上-16处追上甲昆虫 (3)第二次相遇在数轴上 6.4处 15. 原式= 1 2 - 1 3 + 1 3- 1 4 + 1 4 - 1 5 + …+ 1 99 - 1 100= 49 100 16. (1)11 (2)-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2 (3)∵|x-1|+|x-5|表示数轴上x 的点到1 和5的距离的和,∴当1≤x≤5时,|x-1|+ |x-5|的最小值为4. 1.2.5 有理数的大小比较 典型例题 例1 (1)- 5 6>- 6 7 (2)- -15 >- -16 变式练习 1. < 2. + - 7 8 >- -89 例2 a<-b<b<-a 变式练习 n<-m<m<-n 基础提升 1. B 2. B 3. > 4. 6 5. 0,1,2,3,4 6. 2 7. 0 8. -3(答案不唯一) 9. (1)-(-5)>-(+5) (2)-[-(-1)]< 0 (3)- 7 8<- 6 7 10. 在数轴上表示略 -2<-|-1|<- 1 2<0<- (-3.5) 11. -2<-a<-b<2 培优提高 12. (1)< (2)原式=-1-a+b-1-a- b=-2-2a 专题拓展 数轴的应用 典型例题 例1 (1)3.5 (2)-2或4 (3)-1.5 -0.5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·3· (4)-1009 1006 例2 小明在A 地的东边,距A 地13 m. 例3 (1)-8,20 (2)-22 (3)设点 M 运动时间 为t 秒,则 AM =t,OP= 20+2t 2 =10+t ,所以 PO-AM=10+t-t=10为定值,即PO-AM 的 值不变. 基础提升 1. 由图知,当北京时 间2024年10月1日 20时,纽约时间2024年10月1日7时,伦敦时间 2024年10月1日12时,巴黎时间2024年10月1 日13时,首尔时间2024年10月1日21时.故 选:B. 2. 根据题意得:A1=-1,A2=1,A3=-2, A4=2,……当n 为奇数时,An=- n+1 2 ,当n 为偶 数时,An= n 2. 当n=2024时,A2024=1012,A2025= -1013.故选:C. 3. 第一次跳动到OA 的中点A1 处,即在离原 点的1 2 处,第二次从A1 跳动到A2 处,即在离原点 的 12 2 处,……则跳动n 次后,即跳到了离原点的 1 2n 处,则第5次跳动后,该质点到原点O 的距离为 1 25 = 1 32. 故答案为:1 32. 培优提高 4. 点A':-3× 1 3+1=-1+1=0 ,设点B 表 示的数为a,则 1 3a+1=2 ,解得a=3,设点E 表示 的数为b,则 1 3b+1=b ,解得b= 3 2. 故答案为:0,3, 3 2. 专题拓展 解读绝对值 典型例题 例1 -1 变式练习 ∵c<1,a>c,a<b,∴ |c-1|+|a-c |+ |a-b |=1-c+a-c+b-a=b-2c+1. 例2 (1)3 4 (2)|x+2| (3)因为|x-1|+ |x+3|可表示为点x 到1与-3两点的距离之和, 所以当x 在-3与1之间时,|x-1|+|x+3|有最 小值4. 变式练习 (1)x+2的零点值是-2,x-4的零点值是4 (2)①当x<-2时,原式=-2x+2;②当-2≤ x<4时,原式=6;③当x≥4时,原式=2x-2. 基础提升 1. 若m≥0,则|m|-m=0,若m<0,则|m|- m=-m-m=-2m>0,即|m|-m≥0.故选:B. 2. ∵|a|=-a,∴a≤0.则|a-1|-|a-2|= -(a-1)+(a-2)=-1.故选:A. 3. 根据数轴可知,a<b<0<c.A. a+b+c<0, 本选项错误;B. |a+b|>c,本选项错误;C. |a-c| 表示数a的点与数c的点之间的距离,可以用|a|+c 表示,本选项正确;D. |b-c|<|c-a|,本选项错误. 故选:C. 4. 由绝对值的几何意义知,当x=2时,|x-2|+ |x-1|+|x-3|的最小值为2. 5. 由题知,a1=0,a2=-|a1+1|=-|0+1|= -1,a3=-|a2+2|=-|-1+2|=-1,a4= -|a3+3|=-|-1+3|=-2,a5=-|a4+4|= -|-2+4|=-2,……依次类推,a2n=a2n+1= -n(n 为 正 整 数).当 2n+1=2025 时,a2025= -1012. 培优提高 6. ∵x>0,y<0,∴x-y+2>0,y-x-3< 0,∴|x-y+2|-|y-x-3|=x-y+2+(y- x-3)=-1. 7. ∵O 为AB 的中点,则a+b=0,a=-b,有 |a+b|=0, a b =1. 由数轴可知:a<-1,则|a+1|=-a-1.∴原 式=0+1-a-1=-a. 周末拓展 有理数(1) 一、 1. C 2. D 3. B 4. B 5. D 6. D 7. B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·4·