第二章　一元二次方程　复习测试　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

《一元二次方程》 回顾反思测试 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列方程，属于一元二次方程的是（　　） A．x2﹣xy＝1 B．x2﹣2x+3＝0 C． D．2（x+1）＝x 2．一元二次方程x2+6x﹣1＝0配方后可变形为（　　） A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝8 3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0没有实数根，则k的值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 4．已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣c＝0的解，则﹣4b+2c＝（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 5．若等腰三角形的一边长为6，另两边长分别是关于x的方程x2﹣（k+5）x+3k+6＝0的两个根，则k的值是（　　） A．﹣1或4 B．﹣1 C．1或4 D．4 6．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为（1丈＝10尺，1尺＝10寸）（　　） A．x2+（x﹣6.8）2＝102 B．x2+（x+6.8）2＝102 C．x（x+6.8）＝102 D．x（x﹣6.8）＝102 7．若x1，x2是方程x2﹣ax﹣2＝0的两个根，则（　　） A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0 8．对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如：3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣2的根的情况，下列说法正确的为（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根 9．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 10．四个单项式依次为﹣（﹣x）、﹣|﹣1|x、﹣12x、（﹣1）2x，在每两个单项式之间添上“+”、“﹣”、“×”中的某个运算符号将这四个单项式连接起来就能得到一个式子，记为M（每两个单项式之间只能添加一个运算符号，并且每种运算符号都要用到一次）．比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“+”、“﹣”、“×”就得到一个式子，记为M＝﹣（﹣x）+（﹣|﹣1|x）﹣（﹣12x）×[（﹣1）2x]；再比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“×”、“﹣”、“+”就得到另一个式子，记为M＝﹣（﹣x）×（﹣|﹣1|x）﹣（﹣12x）+（﹣1）2x；那么，下列说法中，正确的个数有（　　）个． ①将得到的所有M化简后，总共只有三种不同结果； ②对于得到的每一个M，令M＝n，就得到一个关于x的方程，若所有关于x的方程M＝n都有两个不相等的实数根，那么0＜n＜1； ③当x取一个确定值时，每个M都能得到一个对应值，将这些对应值中最大的值记为y，这样，对于每一个x的确定值，y都有一个值与之对应．那么y的最小值为0． A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．一元二次方程x2﹣9＝0的根为 　 　． 12．已知a、b是方程x2+3x+1＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝　 　． 13．一元二次方程①x2+3x﹣2＝0的两个根的和为m，m是关于y的一元二次方程②y2+3y﹣n＝0的一个根，则方程②为 　 　． 14．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为 　 　． 15．设关于x的方程x2﹣2x﹣m+1＝0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|＝6，那么实数m的取值是 　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解方程： （1）x2﹣2x+5＝20； （2）x（x﹣3）＝2x+5． 17．如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AD的长为多少米？ （2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由． 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣3mx+2m2+m﹣1＝0． （1）当m＝2时，解这个方程； （2）试判断方程根的情况，并说明理由． 19．已知关于x的方程3x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的一个根为﹣1，求方程的另一个根． 20．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边BC的长是5． （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 21．济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 22．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，求这个三角形的面积． 23．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx0的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ （3）如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且（x1﹣3）（x2﹣3）＝5m，求m的值． 24．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点 也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发． ①经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2； ②△PBQ的面积能否等于5cm2，并说明理由． 25．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动，它们到达终点后停止运动． （1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍； （2）几秒后，△DPQ的面积是24cm2． 答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1-5．BACAD． 6-10．BADCA． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．x1＝3，x2＝﹣3． 12．﹣7． 13．y2+3y＝0． 14．． 15．9． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）x2﹣2x+5＝20； 方程变形得x2﹣2x﹣15＝0， （x﹣5）（x+3）＝0， x﹣5＝0或x+3＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣3； （2）x（x﹣3）＝2x+5． 方程变形得：x2﹣5x﹣5＝0， Δ＝25+20＝45＞0， x， ∴x1．x2， 17．解：（1）设AD的长为x 米，则AB＝27﹣3x，根据题意，得x（27﹣3x）＝54， 整理，得x2﹣9x+18＝0， 解得x1＝3，x2＝6 ∵墙的最大可用长度为12米， ∴27﹣3x≤12， ∴x≥5， ∴x＝6，即AD的长为6米； （2）不能围成面积为90平方米的花圃． 理由：假设存在符合条件的长方形，设AD的长为y米， 于是有（27﹣3y）•y＝90， 整理得y2﹣9y+30＝0， ∵Δ＝（﹣9）2﹣4×1×30＝﹣39＜0， ∴该方程无实数根， ∴不能围成面积为90平方米的花圃． 18．解：（1）m＝2时，方程为x2﹣6x+9＝0， ∴（x﹣3）2＝0， ∴x1＝x2＝3； （2）Δ＝（3m）2﹣4（2m2+m﹣1） ＝9m2﹣8m2﹣4m+4 ＝m2﹣4m+4 ＝（m﹣2）2≥0， ∴方程有实数根． 19．解：（1）∵关于 x的方程3x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝22﹣4×3×（﹣m）＞0， 解得：m， 即 m 的取值范围是m； （2）设方程的另一个根为a， 根据根与系数的关系得：a+（﹣1）， 解得：a， 即方程的另一个根为． 20．（1）证明：∵a＝1，，c＝m2+m， ∴， ∴无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵AB和AC是的两个根， ∴，， ∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形， ∴AB2+AC2＝BC2＝25， ∴（AB+AC）2﹣2AB•AC＝25， ∴，即m2+m﹣12＝0， 解得：m1＝3，m2＝﹣4（AB+AC＜0，不合题意，舍去）， ∴m的值为3． 21．解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率x， 由题意得：375（1+x）2＝540， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔每个应涨价m元， 由题意得：（10+m）（500﹣20m）＝6000， 整理得：m2﹣15m+50＝0， 解得m1＝5，m2＝10， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴m＝5， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 22．解：如图所示： ∵x2﹣9x+20＝0， （x﹣4）（x﹣5）＝0， ∴x1＝4，x2＝5； 而等腰三角形底边长为8， x＝4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形， 故腰长为x＝5， 设高为h，由勾股定理得： h3， ∴高为3， 所以，三角形的面积为8×3＝12． 23．解：（1）当AB＝AD时，四边形ABCD是菱形，即方程x2﹣mx0的两个实数根相等， ∴m2﹣4（）＝0， 解得：m＝1， 此时方程为x2﹣x0， 解得：x， ∴这时菱形的边长为； （2）根据题意知，， 解得：AD， ∴平行四边形ABCD的周长是2×（2）＝5； （3）∵方程的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝m，x1x2， 代入到（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1x2﹣3（x1+x2）+9＝5m，可得3m+9＝5m， 解得：m． 24．解：如图， ①过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°． ∵∠ABC＝30°， ∴2QE＝QB． ∴S△PQB•PB•QE． 设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2， 则PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）． 根据题意，•（6﹣t）•t＝4． t2﹣6t+8＝0． t1＝2，t2＝4． 当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2． 答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2； ②当面积等于5时，•（6﹣t）•t＝5． t2﹣6t+10＝0． ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×10＝﹣4＜0， ∴方程没有实数根， 所以△PBQ的面积不能等于5cm2， 25．解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍， ∴PD＝2PQ， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴PD2＝AP2+AD2，PQ2＝BP2+BQ2， ∵PD2＝4 PQ2， 当0＜t≤5时， ∴82+（2t）2＝4[（10﹣2t）2+t2]， 解得：t1＝3，t2＝7（不合题意舍去）； 当5＜t≤8时， PD2， ∵PD＝2PQ， ∴PQ， 综上所述：3秒或秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍； （2）当0＜t≤5时， 设x秒后△DPQ的面积是24cm2， 则8×2x（10﹣2x）•x（8﹣x）×10＝80﹣24， 整理得x2﹣8x+16＝0 解得x1＝x2＝4， 当5＜t≤8时， 设t秒后△DPQ的面积是24cm2， 则10x＝24， 解得：x（不合题意舍去）， 综上所述，4秒后，△DPQ的面积是24cm2． 。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$