专题5.2 函数的表示方法（9题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）

专题5.2 函数的表示方法 知识点一 函数的表示法 1．列表法：用列表表示两个变量之间函数关系的方法. 2．解析法：用等式表示两个变量之间函数关系的方法. 3.图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法. 【提醒】 两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]． 知识点二 分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 【提醒】 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 题型一 函数表示的解析法 解题技巧提炼 1.明确解析法、图象法、列表法的定义. 2.根据实际问题，建立自变量、因变量的关系． 1．（多选）（23-24高一上·宁夏银川·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25高一上·上海·单元测试）已知时，；为无理数时，；我们知道函数表示法有三种：①列表法；②图像法；③解析法，那么该函数不能用 表示． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）购买某种饮料听，所需钱数为元．若每听2元，用解析法将表示成的函数为 ． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下图的函数图像，用解析法表示y关于x的函数． 题型二 函数表示的图象法 解题技巧提炼 1.坐标系中图像上点的坐标，满足函数关系； 2.利用描点法作出图象. 5．（23-24高二下·四川绵阳·期中）小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河南南阳·期末）如图，一高为的球形鱼缸，匀速注满水所用时间为.若鱼缸水深为时，匀速注水所用的时间为，则函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·广东梅州·期末）寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程一时间”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（    ） A．   B．   C．   D．     8．（23-24高一·全国·课堂例题）作出函数的图象，如何作出函数的图象？ 题型三 函数表示的列表法 解题技巧提炼 表格中数据反映自变量和因变量的关系. 9．（22-23高一上·湖南·期中）已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（    ） 1 2 3 4 3 -1      A．-1 B．0 C．3 D．4 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数由下表给出，则 ． 1 2 3 4 2 3 4 1 11．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 5 1 4 9 16 25 2 3 4 5 6 1 3 2 4 5 则 ． 12.（2023高一·江苏·专题练习）将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．试用多种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长的函数关系． 题型四 求分段函数的解析式、函数值 解题技巧提炼 (1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值． (2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点． 13．（24-25高一上·全国·课后作业）设函数，则等于（    ） A． B．3 C． D． 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列表示函数，则 ． x y 2 3 4 5 15．（23-24高一上·山东临沂·期中）函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，．当时，写出函数的解析式 16．（24-25高一上·全国·课后作业）某商品的单价为5000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件时，每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1000元．某单位购买x件（），设总购买费用是元，则的解析式是 ． 题型五 求分段函数的定义域 解题技巧提炼 分段函数的定义域是各段定义域的并集. 17．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·上海·随堂练习）等腰三角形周长为20， （1）若底边长为，腰长是，将表示成的函数 ； （2）若腰长为，底边长是，将表示成的函数 ． 19．（24-25高一上·上海·课后作业）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图像如图所示，则与之间的函数关系式为 ． 题型六 已知分段函数值求自变量或参数 解题技巧提炼 求参数或自变量的值 解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可． 20.（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知函数若，则的值为（    ） A． B．或2 C．或2 D．或 21．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）设函数，若，则实数a的值为（    ） A．或 B．或4 C．或 D．或4 22.（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，若，则 ． 23．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数 (1)在坐标系中作出函数的图象； (2)若时函数值等于，求a的取值集合． 题型七 求分段函数的值域、最值 解题技巧提炼 求函数值域的常用方法： 配方法；针对二次函数； 图象法：观察函数的图像，确定最高点、最低点纵坐标； 基本不等式法：根据“定和”“定积”的出现，应用基本不等式求最值.注意“一正二定三相等”缺一不可. 换元法：通过适当换元，转化成熟悉的求值域问题. 24.（2024高一下·四川宜宾·竞赛）定义为中的最大值，设，则的最小值为 . 25．（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）已知函数，求： (1)求的值； (2)当时，求的值域． 26．（23-24高一·上海·课堂例题）已知及，定义如下：当时，；而当时，，求函数的最大值. 27．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的解析式为. (1)求， ，的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求的最大值． 题型八 由分段函数的值域（最值）求参数 解题技巧提炼 1.求参数或自变量的值 解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可． 2.由函数的值域求参数，从求函数值域入手，建立方程（组）. 28．（23-24高一上·山西·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29.（20-21高三上·全国·阶段练习）设，若的最小值为，则a的值为（    ） A．0 B．1或4 C．1 D．4 30.（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数的最小值为-1，则 . 31．（23-24高一上·福建·期中）定义若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 题型九 分段函数与不等式问题 解题技巧提炼 解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解． 32.（2022·江苏·高一单元测试）已知，则使成立的x的取值范围是_____． 33．（2024·北京东城·二模）设函数，则 ，不等式的解集是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 函数的表示方法 知识点一 函数的表示法 1．列表法：用列表表示两个变量之间函数关系的方法. 2．解析法：用等式表示两个变量之间函数关系的方法. 3.图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法. 【提醒】 两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]． 知识点二 分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 【提醒】 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 题型一 函数表示的解析法 解题技巧提炼 1.明确解析法、图象法、列表法的定义. 2.根据实际问题，建立自变量、因变量的关系． 1．（多选）（23-24高一上·宁夏银川·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【分析】根据函数的基本概念进行判断即可. 【详解】对于A，与表示同一个函数，故A正确； 对于B，与对应法则不同，不表示同一个函数，故B错误； 对于C，与不表示同一个函数，故C错误； 对于D，与表示同一个函数，故D正确. 故选：AD 2．（24-25高一上·上海·单元测试）已知时，；为无理数时，；我们知道函数表示法有三种：①列表法；②图像法；③解析法，那么该函数不能用 表示． 【答案】①② 【分析】根据分段函数的形式，只能用解析法表示. 【详解】函数不能用列表法和图像法表示，只能用解析法表示. 利用解析法表示为 . 故答案为：①② 3．（24-25高一上·全国·课后作业）购买某种饮料听，所需钱数为元．若每听2元，用解析法将表示成的函数为 ． 【答案】， 【分析】根据正比例关系即可求解. 【详解】根据题意可得， 故答案为：， 4．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下图的函数图像，用解析法表示y关于x的函数． 【答案】 【分析】根据图象，分三段、、三段讨论即可. 【详解】当时，直线过, 设直线, 代入得, 解得 所以. 同理可得，. 当时，. 终上所述，. 题型二 函数表示的图象法 解题技巧提炼 1.坐标系中图像上点的坐标，满足函数关系； 2.利用描点法作出图象. 5．（23-24高二下·四川绵阳·期中）小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据速度的变化快慢得答案. 【详解】开始时匀速行驶，故图像为直线，然后减速行驶，故图像上升速度变慢，后为了赶时间加速行驶，故图像上升速度变快，选项C符合. 故选：C. 6．（23-24高一上·河南南阳·期末）如图，一高为的球形鱼缸，匀速注满水所用时间为.若鱼缸水深为时，匀速注水所用的时间为，则函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将容器看做一个球体，根据的实际意义求解． 【详解】将容器看做一个球体，在刚开始注水时，由于球体的截面积较小，对于相同的时间， 高度的变化较大，即较大， 到水注入球体的一半时，由于球体的截面积较大，的变化率较小，接近于球体的顶端时，的变化率又较大． 故选：D． 7．（23-24高一上·广东梅州·期末）寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程一时间”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】B 【分析】先确定兔子的图象，然后根据开始兔子快，乌龟慢，以及最终乌龟赢了即可得答案. 【详解】由于兔子睡了一下，所以所有选项中有一段不发生变化的折线为兔子的“路程一时间” 的图像 一开始，兔子快，乌龟慢，排除选项C D， 最后乌龟赢了，即乌龟先到达终点，选项B符合. 故选：B. 8．（23-24高一·全国·课堂例题）作出函数的图象，如何作出函数的图象？ 【答案】答案见解析 【分析】利用描点法作出图象即可. 【详解】函数的图象是一些离散的点，图象如图所示： 将自变量的一个值x0作为横坐标就得到坐标平面上的一个点，自变量取遍函数定义域A的每个值时，就得到一系列这样的点， 所有这些点组成的集合（点集）为，这些点组成的曲线就是函数的图象． 题型三 函数表示的列表法 解题技巧提炼 表格中数据反映自变量和因变量的关系. 9．（22-23高一上·湖南·期中）已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（    ） 1 2 3 4 3 -1      A．-1 B．0 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据函数的定义及图表计算即可. 【详解】由图象可知，而由表格可知，所以. 故选：A 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数由下表给出，则 ． 1 2 3 4 2 3 4 1 【答案】3 【分析】直接由函数的表格表示方法即可得解. 【详解】由图表可知，. 故答案为：3. 11．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 5 1 4 9 16 25 2 3 4 5 6 1 3 2 4 5 则 ． 【答案】2 【分析】利用给定列表，直接计算函数值即可. 【详解】依题意，，所以. 故答案为：2 12.（2023高一·江苏·专题练习）将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．试用多种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长的函数关系． 【答案】答案见解析 【分析】根据题意结合解析法、列表法和图象法分析求解. 【详解】这个函数的定义域为， ①解析法：，整理得， ②列表法： 一段铁丝长 1 2 3 4 5 6 7 8 9 两个正方形的面积之和 ③图象法：    题型四 求分段函数的解析式、函数值 解题技巧提炼 (1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值． (2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点． 13．（24-25高一上·全国·课后作业）设函数，则等于（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据题中分段函数解析式运算求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列表示函数，则 ． x y 2 3 4 5 【答案】4 【分析】由分段函数的表格表示法，观察表格即可求解. 【详解】由表可知． 故答案为：4. 15．（23-24高一上·山东临沂·期中）函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，．当时，写出函数的解析式 【答案】 【分析】分，和三种情况，结合已知，可得到函数解析式. 【详解】当时，，当时，， 当时，. 故答案为： 16．（24-25高一上·全国·课后作业）某商品的单价为5000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件时，每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1000元．某单位购买x件（），设总购买费用是元，则的解析式是 ． 【答案】 【分析】分三种情况，结合题意求解即可. 【详解】因为，则有： 若，则； 若，则； 若，则； 综上所述：. 故答案为：. 题型五 求分段函数的定义域 解题技巧提炼 分段函数的定义域是各段定义域的并集. 17．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对分段函数的定义域的理解可得. 【详解】由， 得函数的定义域为. 故选：C. 18．（24-25高一上·上海·随堂练习）等腰三角形周长为20， （1）若底边长为，腰长是，将表示成的函数 ； （2）若腰长为，底边长是，将表示成的函数 ． 【答案】 【分析】（1）依题意，根据三角形三边的关系得出，再整理即可； （2）依题意，根据三角形三边的关系得出，再整理即可． 【详解】（1）依题意，且，故， ； （2）依题意，且，故， 所以． 故答案为：；． 19．（24-25高一上·上海·课后作业）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图像如图所示，则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据函数图象利用待定系数法求解即可. 【详解】由图知，当时，设函数为，则 ，得，所以， 当时，设函数为，则 ，解得， 所以， 综上与之间的函数关系式为. 故答案为： 题型六 已知分段函数值求自变量或参数 解题技巧提炼 求参数或自变量的值 解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可． 20.（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知函数若，则的值为（    ） A． B．或2 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】分与两段讨论，分别建立方程求解即可. 【详解】①当时，由，解得， 其中不满足题意，故； ②当时，由，解得，满足，故； 综上所述，则的值为或. 故选：C. 21．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）设函数，若，则实数a的值为（    ） A．或 B．或4 C．或 D．或4 【答案】C 【分析】根据给定的分段函数，先分类讨论求得的值，再分类讨论求得的值，从而得解. 【详解】设，则， 当时，由，解得，当时，由，解得， 于是或， 当时，由或，解得或，因此； 当时，由或，解得或，因此， 所以实数a的值为或. 故选：C 22.（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的定义域，分求解. 【详解】若，则无解； 若，则，所以. 若，则无解． 综上：. 23．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数 (1)在坐标系中作出函数的图象； (2)若时函数值等于，求a的取值集合． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）直接根据函数解析式得出函数性质，作图即可. （2）根据分段函数性质对分类讨论，列出方程即可求解. 【详解】（1）函数的图象如下图所示： （2）当时，，可得：； 当时，，可得：； 当时，，可得； 综上所述，a的取值构成集合为. 题型七 求分段函数的值域、最值 解题技巧提炼 求函数值域的常用方法： 配方法；针对二次函数； 图象法：观察函数的图像，确定最高点、最低点纵坐标； 基本不等式法：根据“定和”“定积”的出现，应用基本不等式求最值.注意“一正二定三相等”缺一不可. 换元法：通过适当换元，转化成熟悉的求值域问题. 24.（2024高一下·四川宜宾·竞赛）定义为中的最大值，设，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意画出函数 的图象，再根据图象即可得到函数 的最小值. 【详解】分别画出 的图象，则函数 的图象为图中实线部分. 由图知：函数 的最低点为 ，解得 . 所以 的最小值为 . 故答案为：. 25．（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）已知函数，求： (1)求的值； (2)当时，求的值域． 【答案】(1)11 (2) 【分析】（1）根据分段函数解析式运算求解即可； （2）分、和三种情况，结合分段函数解析运算求解即可. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为， 若，则； 若，则； 若，则； 综上所述：的值域为. 26．（23-24高一·上海·课堂例题）已知及，定义如下：当时，；而当时，，求函数的最大值. 【答案】 【分析】由题意分段求出函数的解析式，然后画出图象，求解其最大值即可. 【详解】已知及. 当时，即，解得，， 当时，即，解得或，， 所以， 在平面直角坐标系中画出的图象如图所示： 所以由图可知函数的最大值为：. 27．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的解析式为. (1)求， ，的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求的最大值． 【答案】(1)；； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）根据分段函数函数值的求法直接计算； （2）根据分段函数的定义可画出函数图象； （3）根据函数图象可得最值. 【详解】（1），； ，； ，； （2）此分段函数的图象如图所示． 在函数的图象上截取的部分， 在函数的图象上截取的部分， 在函数的图象上截取的部分， 图中实线组成的图形就是函数的图象； （3）由函数图象可知，当时，取最大值. 题型八 由分段函数的值域（最值）求参数 解题技巧提炼 1.求参数或自变量的值 解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可． 2.由函数的值域求参数，从求函数值域入手，建立方程（组）. 28．（23-24高一上·山西·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的性质，只需要的值域包含即可，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】当时，的值域为． 当时，符合题意． 当时，函数的图象开口向上，不符合题意． 当，且，即时，在上的最大值为， 由题意可得，解得，故． 当，且，即时，在上的最大值为， 由题意可得，解得，故． 综上，的取值范围是． 故选：D 29.（20-21高三上·全国·阶段练习）设，若的最小值为，则a的值为（    ） A．0 B．1或4 C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式分别求出两段的最小值，再根据为函数最小值，建立方程与不等关系，即可求解. 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立. 故时，， 由二次函数性质可知对称轴，且， 解得或（舍去）， 故选：C 30.（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数的最小值为-1，则 . 【答案】2 【分析】由题意得出函数在上取得最小值-1，由此即可列出式子求解. 【详解】当时，. 因为的最小值为-1，所以函数在上取得最小值-1， 则，解得. 故答案为：2. 31．（23-24高一上·福建·期中）定义若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先表示出的解析式，然后作出的图象，根据图象求解出最大值；结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的取值情况，即可求的最大值. 【详解】当时，解得或， 所以， 作出的图象如下图所示： 由图象可知：当时，有最大值，所以； 当时，解得或或； 当时，或， 由图象可知：当，时，的值域为，此时的最大值为； 当时，的值域为，此时， 由上可知，的最大值为， 故答案为：；. 题型九 分段函数与不等式问题 解题技巧提炼 解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解． 32.（2022·江苏·高一单元测试）已知，则使成立的x的取值范围是_____． 【答案】 【分析】解不等式组或，即得解. 【详解】解：∵，∴或， ∴或，即， ∴使成立的x的取值范围是． 故答案为： 注：自己体会本题应用图象法的乐趣. 33．（2024·北京东城·二模）设函数，则 ，不等式的解集是 . 【答案】 1 【分析】根据题中分段函数解析式直接代入即可求；分、和三种情况，结合题中函数解析式分析求解. 【详解】由题意可知：； 因为， 当，即时，则，可得，不合题意； 当，即时，可得， 解得或，所以； 当，即或时，则，可得，符合题意； 综上所述：不等式的解集是. 故答案为：1；. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$