精品解析：四川省达州市耀华中学2023-2024学年九年级上学期期末模拟考试数学测试卷

四川省达州市耀华中学2023-2024学年九年级上学期期末模拟考试数学测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图是由六个完全相同的正方体堆成的物体，则这一物体的正视图是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 如图，已知菱形的边长为2，，则对角线的长是（  ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1（1，0），A2（2，0），B1（0，1），B2（0，2），分别以A1，A2，B1，B2中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与位似，位似中心点为 O，且，则下列结论正确的是（ ） A. 周长：周长 B. 周长：周长 C. 面积：面积 D. 面积：面积 7. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ） A. 75° B. 60° C. 55° D. 45° 8. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】 A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2 9. 已知函数的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c＋1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根x1，x2判断正确的是（ ） A. x1＋x2 >1，x1·x2 > 0 B. x1＋x2 < 0，x1·x2 > 0 C. 0 < x1＋x2 < 1，x1·x2 > 0 D. x1＋x2与x1·x2 的符号都不确定 10. “化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形中，以为边做正方形，以为斜边，作使得点在的延长线上，过点作交于，再过点作于，连结交于，记四边形，四边形的面积分别为，若，，则为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么某辆汽车经过这个十字路口，恰好向左转的概率是______． 12. 如果点（，）在双曲线上，那么双曲线在第______象限． 13. 如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为______． 14. 已知关于x的一元二次方程的一个根是0，那么a的值为______． 15. 设函数与的图象的交点坐标为，则的值为__________. 16. 如图，四边形为正方形，是上任意一点，连接，过作于，交于，过作交于，交于，在线段上作，连接，，其中交于点，为上一点，连接，，若，，，求的值为__． 三、解答题（共72分） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 已知线段、、满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 19. 小莉的爸爸有一张电影票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去． （1）请用树状图或列表的方法求小莉去看电影的概率； （2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则． 20. 如图，在中，，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接并延长交于连接请问：四边形是什么特殊四边形？为什么？ 21. 如图，矩形的两边的长分别为3，8，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F. （1）若点B坐标为，求m的值； （2）若，求反比例函数的表达式? 22. 如图，过线段的两个端点作射线、，使，、的平分线交于．按下列要求回答： （1）是什么角？并说明理由． （2）过点作一直线交于，交于，观察线段、，你有何发现？ （3）无论的两端点在、如何移动，只要经过点，①；②谁成立？并说明理由． 23. 如图是某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成A、B、C三个不同的票价区．其中与场地边缘MN的视角大于或等于45°，并且距场地边缘MN的距离不超过30 m的区域划分为A票区，B票区如图所示，剩下的为C票区．(π取3) (1)请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出A票区所在的区域(只要作出图形，保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)如果每个座位所占的平均面积是0.8平方米，请估算A票区有多少个座位． 24. 冬至过后，昼夜温差逐渐加大，山城的市民们已然感受到了深冬的寒意．在还未普遍使用地暖供暖设备的山城，小型电取暖器仍然深受市民的青睐．某格力专卖店销售壁挂式电暖器和卤素/石英式取暖器（俗称 “小太阳”），其中壁挂式电暖器的售价是“小太阳”售价的5倍还多100元，2016年12月份壁挂式电暖器和“小太阳”共销售500台，壁挂式电暖器与“小太阳”销量之比是4∶1，销售总收入为58.6万元． （1）分别求出每台壁挂式电暖器和“小太阳”的售价； （2）随着“元旦、春节”双节的来临和气温的回升，销售进入淡季，2017年1月份，壁挂式电暖器的售价比2016年12月下调了4m﹪，根据经验销售量将比2016年12月下滑6m﹪，而“小太阳”的销售量和售价都维持不变，预计销售总收入将下降到16.04万元，求m的值． 25. 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市耀华中学2023-2024学年九年级上学期期末模拟考试数学测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图是由六个完全相同的正方体堆成的物体，则这一物体的正视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看易得左边一列有2个正方形，右边一列有一个正方形． 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 2. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且△≥0，即， 解得， ∴m的取值范围是且． 故选：D． 3. 如图，已知菱形的边长为2，，则对角线的长是（  ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握菱形的性质成为解题的关键． 如图：连接交于O，根据菱形的性质得，可得为等边三角形，根据等边三角形的性质得，再根据即可解答． 【详解】解：如图：连接交于O， ∵菱形的边长为2， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 4. 下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据在反比例函数图象上的点一定满足对应的反比例函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上的点一定满足对应的反比例函数解析式， ∴在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积一定为， ∴四个选项中，A、B、C三个选项中的点在反比例函数图象上，D选项中的点不在反比例函数图象上， 故选：D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1（1，0），A2（2，0），B1（0，1），B2（0，2），分别以A1，A2，B1，B2中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，进而得出以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形是等腰三角形的情况，求出概率即可． 【详解】解：∵以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形， ∴画树状图得： 共可以组成4个三角形， 所作三角形是等腰三角形只有：△OA1B1，△OA2B2， 所作三角形是等腰三角形的概率是：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了利用树状图求概率以及等腰三角形的判定等知识，利用树状图表示出所有可能是解题关键． 6. 如图，与位似，位似中心点为 O，且，则下列结论正确的是（ ） A. 周长：周长 B. 周长：周长 C. 面积：面积 D. 面积：面积 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了位似的相关知识，掌握位似比等于相似比其对应的面积比等于相似比的平方成为解题的关键． 由题意可知与的位似比是，从而得出周长：周长，面积：面积，据此判断即可． 【详解】解：∵与位似，位似中心点为 O，且， ∴与的位似比是，． ∴周长：周长，面积：面积． 故选：C． 7. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ） A. 75° B. 60° C. 55° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB＝（180°−150°）＝15°， ∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 8. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】 A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF∶S△ABF=4∶25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE∶AB的值，由AB=CD即可得出结论． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD ∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE ∴△DEF∽△BAF ∴ ∵， ∴DE：AB=2：5 ∵AB=CD， ∴DE：EC=2：3 故选B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 9. 已知函数的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c＋1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根x1，x2判断正确的是（ ） A. x1＋x2 >1，x1·x2 > 0 B. x1＋x2 < 0，x1·x2 > 0 C. 0 < x1＋x2 < 1，x1·x2 > 0 D. x1＋x2与x1·x2 的符号都不确定 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】∵，且点A（a，c）在第一象限的一支曲线上，点B（b，c＋1）在第二象限的一支曲线上， ∴，且 ∴. 又∵x1，x2是关于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根， ∴ ∴. 故选C． 考点：1.反比例函数的性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.一元二次方程根与系数的关系；4.分类思想的应用. 10. “化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形中，以为边做正方形，以为斜边，作使得点在的延长线上，过点作交于，再过点作于，连结交于，记四边形，四边形的面积分别为，若，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过说明△ADE≌△MDG，得出AE＝GM，DE＝DG．利用△DMG～△GMC得出比例式，求得CM；利用S1−S2＝15，得到S△EDC−S矩形CMHB＝15，列出方程，解方程，结论可得． 【详解】解：∵四边形AHMD为正方形， ∴DM＝DA＝7，∠ADM＝90°． ∵DG⊥DE， ∴∠GDE＝90°． ∴∠ADE＋∠EDM＝90°，∠GDM＋∠CDM＝90°． ∴∠ADE＝∠GDM． ∵∠A＝90°，∠DMG＝90°， ∴∠A＝∠DMG． ∴△ADE≌△MDG（ASA）． ∴DE＝DG，AE＝GM． ∴四边形DEFG为正方形． 设AE＝x，则GM＝x． 在Rt△ADE中，DE＝＝= ∵∠DGC＝90°， ∴∠DGM＋∠CGM＝90°． ∵GM⊥CD， ∴∠DMG＝∠GMC＝90°． ∴∠CGM＋∠GCM＝90°． ∴∠DGM＝∠GCM． ∴△DMG～△GMC． ∴， ∴CM＝． ∵S1−S2＝15， ∴（S1＋S△CMN）−（S2＋S△CMN）＝15． 即S△EDC−S矩形CMHB＝15． ∴×CD×AD−CM×MH＝15． ∴×AD×（CM＋DM）−CM×AD＝15． ∴×7×（7＋）−7×＝15． 解得：x＝±（负数不合题意，舍去）． ∴x＝． ∴DG＝AE＝==2 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质．利用相似三角形的性质得出比例式是表示线段长度的重要方法． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么某辆汽车经过这个十字路口，恰好向左转的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的公式，熟练掌握概率的求法是解题的关键． 将左转的情况数除以可能的通行总情况数即为所求的概率． 【详解】解：经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转，共有三种大小相同的可能性，所以恰好向左转的概率是， 故答案为：． 12. 如果点（，）在双曲线上，那么双曲线在第______象限． 【答案】二,四 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点：横坐标与纵坐标的积为k的值，先求得k的值，再判断函数所处的象限． 【详解】∵点（a，-2a）在双曲线y＝上， ∴k=a×（-2a）=-2a2＜0， ∴双曲线的图象在第二，四象限． 故答案为二、四． 【点睛】本题考查了反比例函数图象所在象限的判定，重点是先由待定系数法确定出k的取值． 13. 如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为______． 【答案】60°##60度 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝60°，再由DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F得出∠BDE＝∠AFD＝90°，根据三角形外角的性质求出∠AED的度数，由四边形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°． ∵DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠BDE＝∠AFD＝90°． ∵∠AED是△BDE的外角， ∴∠AED＝∠B+∠BDE＝60°+90°＝150°， ∴∠EDF＝360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD＝360°﹣60°﹣150°﹣90°＝60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查的是等边三角形，三角形内角和定理及直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 14. 已知关于x的一元二次方程的一个根是0，那么a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和方程的解，因为方程为一元二次方程，所以二次项系数，然后根据方程的一个根为0，将代入方程可求出a的值． 【详解】∵一元二次方程的一个根为0， ∴且， ∴， 故答案为：． 15. 设函数与的图象的交点坐标为，则的值为__________. 【答案】− 【解析】 【分析】把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程，求得a，b的解，整理求得的值即可． 【详解】∵函数与y=x−1的图象的交点坐标为(a，b)， ∴b=，b=a−1， ∴=a−1， a−a−2=0， (a−2)(a+1)=0， 解得a=2或a=−1， ∴b=1或b=−2， ∴的值为−. 故答案为：−. 【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程 16. 如图，四边形为正方形，是上任意一点，连接，过作于，交于，过作交于，交于，在线段上作，连接，，其中交于点，为上一点，连接，，若，，，求的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】连接，构建菱形和平行四边形，证明，得，列比例式为，设，，则，，根据列方程解出的值，计算的长；设与交于点，过作于，过作于，则，根据同角的三角函数求、、、的长，证明，根据相似比为分别求、的长，并相加即可得的长，最后计算比值即可． 【详解】解：连接， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍， ；，， ， ， ， ， 设与交于点，过作于，过作于，则， ， ， ， ， ， ，， 同理得：，， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、菱形和平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，正确作出辅助性、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键． 三、解答题（共72分） 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解即可； （2）运用整体思想和因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 所以方程的解为：． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 所以方程的解为：． 18. 已知线段、、满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，，则，然后解出的值即可得到、、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【小问1详解】 ， 设，，， 又， ， 解得， ，，； 【小问2详解】 是、的比例中项， ， ， 或（舍去）， 即的值为． 19. 小莉的爸爸有一张电影票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去． （1）请用树状图或列表的方法求小莉去看电影的概率； （2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则． 【答案】（1） （2） 解：由（1）可得， ∴， ∴该游戏规则不公平， 游戏设置：拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，4的四张牌给小莉，将数字为5，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去； 根据上图可得，总共有：6、7、8、9、7、8、9、、8、9、、、9、、、，共有种情况，其中偶数有8种，奇数8种， ． 【解析】 【分析】（1）利用树状图法列举出所有情况，即可得到答案； （2）根据（1）中概率比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得， 根据上图可得，总共有：5、7、8、9、6、8、9、、7、9、、、9、、、，共有种情况，其中偶数有6种，奇数种， ∴， ∴ 小莉去看电影的概率为； 【小问2详解】 略 【点睛】本已考查用树状图法求解概率及用概率判断游戏是否公平，解题的关键是正确列举出所有情况． 20. 如图，在中，，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接并延长交于连接请问：四边形是什么特殊四边形？为什么？ 【答案】 证明：是由绕点旋转得到， 是等边三角形， ， 又是由沿所在直线翻转得到， 是等边三角形， ， 四边形是菱形． 四边形是矩形． 证明：由可知：是等边三角形，， 且为直角三角形， ， 为中点， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）需证明△ACD是等边三角形、△AFC是等边三角形，即可证明四边形AFCD是菱形． （2）可先证四边形ABCG是平行四边形，再由∠ABC=90°，可证四边形ABCG是矩形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查菱形和矩形的判定，综合应用等边三角形的判定、全等三角形的判定等知识是解题的关键． 21. 如图，矩形的两边的长分别为3，8，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F. （1）若点B坐标为，求m的值； （2）若，求反比例函数的表达式? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数、矩形的性质、勾股定理等知识点，掌握反比例函数的定义成为解题的关键． （1）根据矩形的性质可得E两点坐标，再根据反比例函数的特征求解即可； （2）根据勾股定理可得的长，根据线段的和差可得，可得F点坐标，再根据根据待定系数法求得m的值即可． 【小问1详解】 解：点B坐标为，，E是的中点， ∴点， 函数图象经过E点， ∴． 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，则， 设E点坐标为，则F点坐标为， ∵E，F两点在函数图象上， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，过线段的两个端点作射线、，使，、的平分线交于．按下列要求回答： （1）是什么角？并说明理由． （2）过点作一直线交于，交于，观察线段、，你有何发现？ （3）无论的两端点在、如何移动，只要经过点，①；②谁成立？并说明理由． 【答案】（1） 是直角， 理由是：， ， 、的平分线交于， ，， ， ， 即是直角； （2）； （3） ． 理由是：， ， ， ， ， 即成立． 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质和判定，角平分线定义的应用． （1）根据平行线的性质和角平分线定义求出，求出即可； （2）延长交于，求出，根据等腰三角形的性质求出，根据平行线分线段成比例定理得出即可； （3）求出，根据即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 理由是：延长交于， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 23. 如图是某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成A、B、C三个不同的票价区．其中与场地边缘MN的视角大于或等于45°，并且距场地边缘MN的距离不超过30 m的区域划分为A票区，B票区如图所示，剩下的为C票区．(π取3) (1)请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出A票区所在的区域(只要作出图形，保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)如果每个座位所占的平均面积是0.8平方米，请估算A票区有多少个座位． 【答案】 （1）如图，以线段MN、EF与、所围成的区域就是所作的A票区． （2）A票区约有1 406个座位． 【解析】 【分析】（1）可以M、N为圆心，30为半径交于O点如图以线段MN、EF与弧FM、弧EN所围成的区域就是所作的A票区． （2）求座位就是求三角形EOF，MON和扇形FOM和EON的面积和．那么先求出扇形的半径即可． 【详解】解(1)略 (2)连接OM、ON、OE、OF，设MN的中垂线与MN、EF分别相交于点G和H. 由题意，得∠MON＝90°. ∵OG⊥MN，OH⊥EF， OG＝OH＝15， ∴∠EOF＝∠MON＝90°. ∴r＝＝15. ∴SA＝(S扇形FOM＋S扇形EON)＋(S△OMN＋S△EOF)＝πr2＋r2≈1125(米2)． ∴1125÷0.8≈1406. ∴A票区约有1406个座位． 【点睛】本题考查了尺规作图，盲区的定义，勾股定理及扇形的面积公式等知识点，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 24. 冬至过后，昼夜温差逐渐加大，山城的市民们已然感受到了深冬的寒意．在还未普遍使用地暖供暖设备的山城，小型电取暖器仍然深受市民的青睐．某格力专卖店销售壁挂式电暖器和卤素/石英式取暖器（俗称 “小太阳”），其中壁挂式电暖器的售价是“小太阳”售价的5倍还多100元，2016年12月份壁挂式电暖器和“小太阳”共销售500台，壁挂式电暖器与“小太阳”销量之比是4∶1，销售总收入为58.6万元． （1）分别求出每台壁挂式电暖器和“小太阳”的售价； （2）随着“元旦、春节”双节的来临和气温的回升，销售进入淡季，2017年1月份，壁挂式电暖器的售价比2016年12月下调了4m﹪，根据经验销售量将比2016年12月下滑6m﹪，而“小太阳”的销售量和售价都维持不变，预计销售总收入将下降到16.04万元，求m的值． 【答案】（1）每台壁挂式电暖器和小太阳的售价为：1400元，260元；（2）10. 【解析】 【分析】（1）设每台小太阳为x元，则每台壁挂式电暖器的售价为（5x+100）元，根据销售总收入为58.6万列出方程即可解决问题 （2）根据题意表示出羽绒服的销量与价格，进而结合销售总收入下降为16.04万元得出等式求出即可． 【详解】解：（1）设每台小太阳为x元，则每台壁挂式电暖器的售价为（5x+100）元， ∵2014年1月份（春节前期）共销售500件，每台壁挂式电暖器与小太阳销量之比是4：1， ∴每台壁挂式电暖器与小太阳销量分别为：400件和100件， 根据题意得出：400（5x+100）+100x=586000， 解得：x=260， ∴5x+100=1400（元）， 答：每台壁挂式电暖器和小太阳的售价为：1400元，260元； （2）∵2014年2月份每台壁挂式电暖器销量下滑了6m%，售价下滑了4m%，小太阳销量和售价都维持不变， 结果销售总收入下降为16.04万元， ∴400（1-6m%）×1400×（1-4m%）+100×260=160400 解得：m1=10，m2=（不合题意舍去）， 答：m的值为10． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，以及利润、售价、销售数量之间关系，解题的关键是学会设未知数，找等量关系列方程，属于中考常考题型． 25. 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 【答案】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AD•AB； （2）AD＝； （3）5﹣2 【解析】 【分析】（1）根据题意证明△ADC∽△ACB，即可得到结论； （2）根据现有条件推出△BFE∽△BCF，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，先证明四边形AEGC为平行四边形，再证△EDF∽△EGD，可得，根据EG＝AC＝2EF，可得DE＝EF，再根据，可推出DG＝DF=5，即可求出答案． 【详解】解：（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C， 又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2＝BE•BC， ∴BC＝＝=， ∴AD＝； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD， ∵AC∥EF， ∴四边形AEGC为平行四边形， ∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G， ∵∠EDF＝∠BAD， ∴∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠G， 又∵∠DEF＝∠GED， ∴△EDF∽△EGD， ∴， ∴DE2＝EF•EG， 又∵EG＝AC＝2EF， ∴DE2＝2EF2， ∴DE＝EF， 又∵， ∴DG＝DF=5， ∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明，证明三角形相似是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $