2.1认识无理数（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

2.1认识无理数 主讲： 北师大版 八年级 上册 第2章 实数 学习目标 1.知道非有理数的存在，认识无理数; 2.理解无理数的概念，掌握无理数与有理数的区别，并能判断一个数是有理数还是无理数;（重点） 3.探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想（难点） 新课导入 古希腊的毕达哥拉斯学派认为，所有的数量都可以用整数或整数的比表示，这个论断正确吗? 你能求出面积为2的正方形的边长吗?你知道圆率x的精确值吗?……它们能用整数或分数(即有理数)来表示吗? 随着人类对数的认识的不断加深和发展，人们发现，现实世界中确实存在不同于有理数的数，本章我们将学习无理数、实数、平方根、立方根等概念学习利用估算或借助计算器求出一个无理数的近似值，并解决有关实际问题. 问题：下图是两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形. 1 1 1 1 新课导入 还有其他方法吗？ 议一议：（1）大正方形的面积是多少呢？如果设大正方形的边长为a，则a满足什么条件？ 新课讲授 探究一：感受无理数 （2）a可能是整数吗？说说你的理由. 因为S大正方形=2，所以a2=2. 因为 a2=2, 而12=1, 22=4 所以 12<a2<22 , 所以 1< a< 2，a不是整数. 新课讲授 （3）a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流. 因为一个整数的平方一定是整数，一个分数的平方一定是分数. 所以a不可能是分数. 归纳： 通过以上分析，我们可以证明，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数. 2 1 做一做：(1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ 新课讲授 (2)设该正方形的边长为，满足什么条件？ b (1)利用勾股定理容易求出正方形的面积为5. (2）b2=5. (3)因为b2=5，而22=4，32=9， 所以22＜b2＜32， 所以2＜b＜3， 所以b既不是整数，也不是分数，b不是有理数. (3)是有理数吗？ 新课讲授 知识归纳 上边探究的两个问题中，数a，b确实存在，但都不是有理数. 在生活中确实存在既不是整数也不是分数的数，即不是有理数的数. 有理数不够用了！ 新课讲授 1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3，则斜边的长(　　) A.是有理数　　　 　　B.不是有理数 C.不确定 D.为4 B 新课讲授 思考：面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？ 探究二：无理数的概念 议一议：(1)如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由. a a 面积为2 1 1 2 2 (2)a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索. 1＜a＜2. 新课讲授 (3)小明将他的探索过程整理如下，你的结果呢？ 边长a 面积S=a2 1<S<4 1.96<S<2.25 1.988 1<S<2.016 4 1.999 396<S<2.002 225 1.999 961 64<S<2.000 244 49 1.4<a<1.5 1.41<a<1.42 1.414<a<1.415 1.414 2<a<1.414 3 1<a<2 还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？ 借助计算器，我们可以无限的计算下去，所以a不是一个有限小数. 新课讲授 这种无限逼近求一个数的近似值的方法，我们称为“夹逼法”. 我们可以根据a的精确度的要求，取不同的近似值： (结果精确到0.1) (结果精确到0.01) (结果精确到0.001) 知识归纳 事实上，a=1.414 213 56…，它是一个无限不循环小数. 新课讲授 做一做:(1)估计面积为5的正方形的边长b的值(结果精确到0.1)，并用计算器验证你的估计. b≈2.2 事实上， b=2.236067978…，它也是一个无限不循环小数. b≈2.24 同样，对于体积为2的正方体，借助计算器，可以得到它的棱长c=1.25992105…，它也是一个无限不循环小数. (2)如果结果精确到0.01呢？ 新课讲授 议一议：把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限不循环小数也都是有理数. . 新课讲授 知识归纳 无理数的概念： 除了像上面所述的数a,b,c是无理数外，我们十分熟悉的圆周率=3.14159265… 也是一个无限不循环小数，因此它也是一个无理数.再如0.5 85 885 8885 88885…(相邻两个5之间8的个数逐次增加1),也是无理数. 注意：所有的有理数都可以写成两个整数之比，而无理数不能. 无限不循环小数称为无理数. 新课讲授 无理数有很多，常见的有以下形式： ①一般的无限不循环小数； ②π及含有π的式子表示的数； ③有规律的无限不循环小数，比如0.1010010001（每两个1之间依次增加一个0） ④开方开不尽的数（后边会学习）. 想一想：你能找到其他的无理数吗？ 新课讲授 2.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14，-，0.57,0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）. . . 解：有理数有：3.14，， 0.57； . . 无理数有：0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）. 典例分析 例1：在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，如图，若AC=10 cm，BC=8 cm. （1）求以AD的长为边长的正方形的面积； （2）判断AD是否为有理数，并说明理由. 解：（1）∵ AB=AC=10cm，BC=8cm，AD⊥BC， ∴ BD=CD=4cm， ∴ AD2=AB2-BD2=102-42=84， ∴ 以AD的长为边长的正方形的面积为84 cm2. （2）∵ AD2=84，  ∴ AD既不是整数也不是分数，即AD不是有理数. 典例分析 例2：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 0.351，-，4.96，3.141 59，-5.232 333 2…(相邻两个2之间3的个数逐次加2)，123 456 789 101 112…(由相继的正整数组成). . . 无理数有：-5.232 333 2…(相邻两个2之间3的个数逐次加2)，123 456 789 101 112…(由相继的正整数组成). 解：有理数有：0.351，-，4.96，3.141 59； . . . . 典例分析 例3：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度是无理数的线段. 解：长度为有理数的线段： AB、EF； 长度为无理数的线段：CD、GH、MN. 学以致用 2.一个正方形的面积为10，则它的边长 ( ) A.是分数 B.是小数 C.是整数 D.无理数 D 3.下列数中,是无理数的是 (　 　) A.0.3　　　　 B.　　 　　 C.0　　 　　 D.0.333 B 1.以下各正方形的边长是无理数的是（ ） A.面积为25的正方形； B.面积为的正方形； C.面积为8的正方形； D.面积为1.44的正方形. C 学以致用 4.下列说法正确的个数为（ ） ①有限小数是有理数; ②无限小数都是无理数; ③无理数都是无限小数; ④有理数是有限小数. A.1 B.2 C.3 D.4 B 5.下列方程中，解不是有理数的是（ ） A.x2=4 B.2x2-6=0 C.x2+3=12 D.x2=49 D 8.如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均不是有理数，满足这样条件的点C共_____个. 学以致用 6.面积为7的正方形的边长满足的条件是 ＜边长＜ （均填整数）. 2 3 7.有六个数：0.123，（-1.5）3，3.1416，，-2π，0.1020020002···（每两个2之间依次增加一个0），若其中无理数的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，则x+y+z= . 6 4 9.在下图的正方形网格中画出1个三角形使三边都是无理数. 学以致用 答案不唯一 课堂小结 认识无理数 无理数的概念 在生活中确实存在既不是整数也不是分数的数，即不是有理数的数. 感受无理数 无限不循环小数称为无理数. 无理数与有理数的区别 无理数的常见形式 (1)有理数能写成有限小数或无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数. (2)所有的有理数都可以写成两个整数之比，而无理数不能. ①一般的无限不循环小数； ②π及含有π的式子表示的数； ③有规律的无限不循环小数； ④开方开不尽的数. 作业布置 教材习题2.1-2.2 感谢聆听 $$