专题2.1 平方根与算术平方根【11大题型】-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版）

专题2.1 平方根与算术平方根【11大题型】（北师大版） 题组一 平方根概念理解 1 题组二 求一个数的（算术）平方根 2 题组三 求一个代数式的（算术）平方根 3 题组四 算术平方根的非负性 3 题组五 算术平方根的估算 3 题组六 算术平方根整数部分与小数部分 4 题组七 运用平方根性质解方程 4 题组八 运用平方根性质解一元二次方程 5 题组九 算术平方根规律探究 5 题组十 平方根的实际应用 8 题组十一 算术平方根的与数轴 9 ( 知识导航 ) 知识点 1 平方根 平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根，从定义可知，a≥0。a的平方根表示： 知识点 2 算术平方根 算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作。从定义可知，只有当a≥0时,a才有算术平方根。 注意：正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。 知识点 3 算术平方根的双重非负性 ①≥0，②a≥0 知识点 4 算术平方根的性质 ① ② 题组一 平方根概念理解 1．一个数的平方根与它本身相等，这个数是（　　） A．0 B．2 C．1 D．3 2．若实数3m﹣6有平方根，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m＜2 C．m＞2 D．m≥2 3．下列说法正确的是（　　） A．4的平方根是2 B．﹣4的平方根是﹣2 C．40的平方根是20 D．负数没有平方根 4．下列说法中正确的个数是（　　） ①（﹣3）2的平方根是+3；②﹣m2没有平方根；③非负数a的平方根是非负数； ④负数没有平方根；⑤0和1的平方根等于本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．的平方根是（　　） A．4 B．2 C．±4 D．±2 题组二 求一个数的（算术）平方根 6．的平方根是（　　） A． B． C． D． 7．（﹣0.36）2的平方根是（　　） A．﹣0.6 B．±0.6 C．±0.36 D．0.36 8．下列化简正确的是（　　） A． B． C． D．（π﹣3.14）0＝0 9．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x＝16时，输出的y等于（　　） A． B． C．4 D． 10．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 题组三 求一个代数式的（算术）平方根 11．关于x的多项式7x3﹣11mx2﹣15x+9与多项式22x2﹣5nx﹣7相加后不含x的二次项和一次项，则﹣（mn+n）平方根为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D． 12．如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（　　） A．±（m+1） B．（m2+1） C． D． 13．已知正数a的两个平方根分别是2y+1和3y﹣11，则a的值为（　　） A．9 B．16 C．25 D．36 14．已知一个正数的两个平方根分别是2x+3和x﹣6，则这个正数的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．±5 D．25 15．当a2＝b2时，下列等式中成立的是（　　） A．a＝b B． C．a3＝b3 D． 题组四 算术平方根的非负性 16．若，则xyz的值是（　　） A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3 17．已知x，y为实数，且+（y﹣2）2＝0，则x﹣y＝（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 18．若，则（b﹣a）2019＝（　　） A．﹣1 B．1 C．52019 D．﹣52019 19．若x，y为实数，且，则的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 20．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长为（　　） A．5 B． C．4 D．5或 题组五 算术平方根的估算 21．在下列哪两个数之间（　　） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 22．已知m＝﹣，则实数m的范围是（　　） A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6 23．估计的值在哪两个数之间（　　） A．4与5 B．5与6 C．6与7 D．7与8 24．估计的值在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 25．估计的值在（　　） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 题组六 算术平方根整数部分与小数部分 26．若的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b＝（　　） A． B． C． D． 27．如果4+与4﹣的小数部分分别是m，n，那么m+n﹣1的值为（　　） A．7 B．1 C．0 D．﹣1 28．若的整数部分为x，小数部分为y，则（x+）y的值是（　　） A． B．3 C． D．﹣3 29．若的整数部分是m，小数部分是n，则|n﹣m|为（　　） A． B． C． D．8 30．已知的整数部分是a，的小数部分是b，则a+b的值为（　　） A． B． C． D． 题组七 运用平方根性质解方程 31．求下列各式中的x： （1）x2﹣143＝1； （2）4（x+1）2＝81． 32．求下列各式中x的值． （1）9x2﹣25＝0； （2）（x﹣1）2＝36． 33．求x的值． （1）5x2﹣1＝9； （2）4（x﹣1）2＝9． 34．求下列各式中的x． ①x2﹣18＝0 ②（1﹣x）2＝25 ③2（x+1）2﹣8＝0． 35．解方程： ①（2x﹣1）2﹣169＝0； ②． 题组八 运用平方根性质解一元二次方程 36．解方程： （1）x2﹣2x﹣7＝0； （2）3x（x﹣1）＝1﹣x． 37．解方程： （1）2（x﹣1）2＝4； （2）2x（x+7）＝3（x+7）； （3）2x2+3x﹣2＝0． 38．解方程： （1）x2+2x﹣3＝0； （2）2x2﹣5x+3＝0． 39．解方程： （1）4（x﹣1）2﹣8＝0； （2）x2﹣10x+16＝0； （3）2x2+3x﹣1＝0． 40．解方程： （1）2（x﹣3）2＝0； （2）4x2﹣6x﹣3＝0； （3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）； （4）（x+8）（x+1）＝﹣12． 题组九 算术平方根规律探究 41．【观察】请你观察下列式子． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： （1）写出第7个等式 　 　． （2）请根据上面式子的规律填空：＝　 　． （3）利用（2）中结论计算：． 42．观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… 根据上述规律，解答下面的问题： （1）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明； （2）请直接写出的值． 43．[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： ＝　 　； ＝　 　； ＝　 　； …… [发现]根据你的阅读回答下列问题： （1）请根据上面式子的规律填空：＝　 　（n为正整数）； （2）请证明（1）中你所发现的规律． [应用]请直接写出下面式子的结果： ＝　 　． 44．阅读材料： 和为整数，4﹣1＝3＝2×1+1； 和为整数，9﹣4＝5＝2×2+1； 和为整数，16﹣9＝7＝2×3+1； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中a＜b，则有b﹣a＝2+1．并给出了证明： 根据题意，得． 等式两边同时 　 　，得 　 　＝b． 整理得b﹣a＝2+1． 请根据以上材料，解决以下问题： （1）请补全小明的证明过程． （2）若和 为两个相邻整数，则a＝　 　． （3）若和 为相差4的两个整数，求a的值． 45．阅读下面材料： 将边长分别为a，a+，a+2，a+3，……的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4，⋯⋯． 则S2﹣S1＝ ＝； ＝； …… 根据以上材料解答下列问题： （1）根据材料中的规律可得面积记为Sn的正方形边长是 　 　； （2）猜想Sn+1﹣Sn的结果，并证明你的猜想； （3）令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+⋯+tn，求T的值． 题组十 平方根的实际应用 46．小红想用一块面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为600cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为5：3，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小明同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．” （1）长方形纸片的长和宽分别是多少厘米？ （2）你是否同意小明同学的说法？说明理由． 47．如图，是一块长方形空地，小刚的爸爸按照图中的方式在空地上用栅栏围出两块面积分别为49m2和81m2的正方形区域ABCD和CEFG（AB、AD、BC、CG、CE、EF、FG均为栅栏）． （1）原长方形空地的长为 　 　m，宽为 　 　m； （2）求围成的两个正方形区域所需栅栏的总长度； （3）求长方形空地剩余部分（即阴影部分）的面积． 48．小明制作了一张边长为16cm的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个面积为426cm2的长方形信封如图所示，信封长和宽的比为3：2． （1）求此长方形信封的长和宽； （2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 49．工人师傅准备从一块面积为25平方分米的正方形工料上裁出一块18平方分米的长方形工件． （1）该正方形工料的边长为 　 　分米； （2）能否直接裁出长宽之比为3：2的长方形工件？请说明理由． （参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236） 50．（1）小丽计划在母亲节那天送份礼物妈妈，特设计一个表面积为12dm2的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是 　 　． （2）为了增加小区的绿化面积，幸福公园准备修建一个面积121πm2的草坪，草坪周围用篱笆围绕．现从对称美的角度考虑有甲，乙两种方案，甲方案：建成正方形；乙方案：建成圆形的．如果从节省篱笆费用的角度考虑，你会选择哪种方案？请说明理由； （3）在（2）的方案中，审批时发现修如此大的草坪，目的是亲近自然，若按上方案就没达到目的，因此建议用如图的设计方案：正方形里修三条小路，三条小路的宽度是一样，这样草坪的实际面积就减少了21πm2，请你根据此方案求出各小路的宽度（π取整数）． 题组十一 算术平方根的与数轴 51．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，再直爬向点C停止，已知点A表示﹣，点C表示2，设点B所表示的数为m． （1）求m的值； （2）求|m+1|+的值； （3）直接写出蚂蚁从点A到点C所经过的整数中，非负整数有　 　个． 52．如图，点A是以点O为圆心，OM长为半径画弧与数轴的交点；点B是以点O为圆心，ON长为半径画弧与数轴的交点．数轴上点A，B表示的数分别为a，b． （1）a＝　 　，b＝　 　． （2）先化简再求值：|a|+． 53．①计算＝（　 　），＝（　 　），＝（　 　）． ②探索规律，对于任意的有理数a，都有＝（　 　）． ③有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简． 54．已知a，b，c在数轴上位置如图，化简：（）2++． 55．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简﹣+． 56．汉语中的对联呈现对仗之美的不变性，即字面上、词类上声律上相对称．数学中也存对偶原理，即对于一个已知数或代数式或一个已知命题，我们引进一个与之对应的有某种对偶关系的命题，然后一起参与运算，从而使问题变得简单．阅读下列材料，回答问题． 材料一：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“√“去掉． 例如：已知，求的值． 解：． ∵，∴， 材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y2），AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以，反之，可将代数式的值看作点A（x1，y1）到点B（x2，y2）的距离． （1）利用材料一，解关于x的方程：，其中x≤10； （2）利用材料二，求代数式的最小值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 平方根与算术平方根【11大题型】（北师大版） 题组一 平方根概念理解 1 题组二 求一个数的（算术）平方根 2 题组三 求一个代数式的（算术）平方根 3 题组四 算术平方根的非负性 3 题组五 算术平方根的估算 3 题组六 算术平方根整数部分与小数部分 4 题组七 运用平方根性质解方程 4 题组八 运用平方根性质解一元二次方程 5 题组九 算术平方根规律探究 5 题组十 平方根的实际应用 8 题组十一 算术平方根的与数轴 9 ( 知识导航 ) 知识点 1 平方根 平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根，从定义可知，a≥0。a的平方根表示： 知识点 2 算术平方根 算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作。从定义可知，只有当a≥0时,a才有算术平方根。 注意：正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。 知识点 3 算术平方根的双重非负性 ①≥0，②a≥0 知识点 4 算术平方根的性质 ① ② 题组一 平方根概念理解 1．一个数的平方根与它本身相等，这个数是（　　） A．0 B．2 C．1 D．3 【解答】解：平方根等于它本身的数是0， 故选：A． 2．若实数3m﹣6有平方根，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m＜2 C．m＞2 D．m≥2 【解答】解：若实数3m﹣6有平方根， 则3m﹣6≥0， 解得：m≥2， 故选：D． 3．下列说法正确的是（　　） A．4的平方根是2 B．﹣4的平方根是﹣2 C．40的平方根是20 D．负数没有平方根 【解答】解：A、4的平方根是±2，故不合题意； B、﹣4没有平方根，故不合题意； C、＝，故不合题意； D、负数没有平方根，符合题意； 故选：D． 4．下列说法中正确的个数是（　　） ①（﹣3）2的平方根是+3； ②﹣m2没有平方根； ③非负数a的平方根是非负数； ④负数没有平方根； ⑤0和1的平方根等于本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：（﹣3）2的平方根是±3，则①错误； 当m＝0时，﹣m2的平方根是0，则②错误； 正数的平方根有2个，它们互为相反数，其中一个是负数，则③错误； 负数没有平方根，则④正确； 0的平方根等于本身，则⑤错误； 综上，正确的个数是1个， 故选：A． 5．的平方根是（　　） A．4 B．2 C．±4 D．±2 【解答】解：＝4，4的平方根是±2． 故选：D． 题组二 求一个数的（算术）平方根 6．的平方根是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， ． 故选：D． 7．（﹣0.36）2的平方根是（　　） A．﹣0.6 B．±0.6 C．±0.36 D．0.36 【解答】解：（﹣0.36）2的平方根是±0.36， 故选：C． 8．下列化简正确的是（　　） A． B． C． D．（π﹣3.14）0＝0 【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、（π﹣3.14）0＝1，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 9．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x＝16时，输出的y等于（　　） A． B． C．4 D． 【解答】解：第1次计算得，，而4是有理数， 因此第2次计算得，，而2是有理数， 因此第3次计算得，，是无理数， 故选：A． 10．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、（）2＝3，故此选项正确； B、±＝±3，故此选项错误； C、＝4，故此选项错误； D、＝3，故此选项错误； 故选：A． 题组三 求一个代数式的（算术）平方根 11．关于x的多项式7x3﹣11mx2﹣15x+9与多项式22x2﹣5nx﹣7相加后不含x的二次项和一次项，则﹣（mn+n）平方根为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D． 【解答】解：7x3﹣11mx2﹣15x+9+22x2﹣5nx﹣7 ＝7x3+（22﹣11m）x2﹣（15+5n）x+2， ∵7x3﹣11mx2﹣15x+9与多项式22x2﹣5nx﹣7相加后不含x的二次项和一次项， ∴22﹣11m＝0，15+5n＝0， ∴m＝2，n＝﹣3， ∴﹣（mn+n）＝﹣（﹣3×2﹣3）＝9， ∵9的平方根是±3， ∴﹣（mn+n）平方根为±3． 故选：C． 12．如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（　　） A．±（m+1） B．（m2+1） C． D． 【解答】解：由题意得：这个自然数a为：m2， 比这个自然数大1的数为m2+1，即a+1＝m2+1 故a+1的平方根用m表示为：±， 故选：D． 13．已知正数a的两个平方根分别是2y+1和3y﹣11，则a的值为（　　） A．9 B．16 C．25 D．36 【解答】∵正数a的两个平方根分别为2y+1和3y﹣11， ∴（2y+1）+（3y﹣11）＝0， 解得：y＝2， ∴2y+1＝5， ∴a＝52＝25． 故选：C． 14．已知一个正数的两个平方根分别是2x+3和x﹣6，则这个正数的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．±5 D．25 【解答】解：根据题意知2x+3+x﹣6＝0， 解得：x＝1， 所以2x+3＝5， 所以这个正数为52＝25， 故选：D． 15．当a2＝b2时，下列等式中成立的是（　　） A．a＝b B． C．a3＝b3 D． 【解答】解：∵a2＝b2， ∴|a|＝|b|， ∴． 故选：B． 题组四 算术平方根的非负性 16．若，则xyz的值是（　　） A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3 【解答】解：∵， ∴x﹣2＝0，y+5＝0，z+1＝0， ∴x＝2，y＝﹣5，z＝﹣1， ∴xyz＝10， 故选：A． 17．已知x，y为实数，且+（y﹣2）2＝0，则x﹣y＝（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 【解答】解：∵有意义， ∴x+1≥0， ∵（y﹣2）2≥0，且， ∴， ∴， ∴x﹣y＝﹣1﹣2＝﹣3， 故选：C． 18．若，则（b﹣a）2019＝（　　） A．﹣1 B．1 C．52019 D．﹣52019 【解答】解：根据题意可得：， ①×2﹣②得：b+3＝0， 解得：b＝﹣3， 把b＝﹣3代入②得：2a+3+1＝0， 解得：a＝﹣2， 则（b﹣a）2019＝（﹣3+2）2019＝（﹣1）2019＝﹣1． 故选：A． 19．若x，y为实数，且，则的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【解答】解：根据题意得：， 解得：， 则原式＝（﹣1）2023＝﹣1． 故选：B． 题组五 算术平方根的估算 20．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长为（　　） A．5 B． C．4 D．5或 【解答】解：∵+|b﹣4|＝0， ∴a2﹣6a+9＝0，b﹣4＝0， ∴a＝3，b＝4， ∴直角三角形的第三边长＝＝5，或直角三角形的第三边长＝＝， ∴直角三角形的第三边长为5或， 故选：D． 21．在下列哪两个数之间（　　） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【解答】解：依题意， ∵， ∴， 故选：D． 22．已知m＝﹣，则实数m的范围是（　　） A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6 【解答】解：m＝﹣＝3﹣＝2＝， ∵＜， ∴3＜＜4， 即实数m的范围是3＜m＜4， 故选：B． 23．估计的值在哪两个数之间（　　） A．4与5 B．5与6 C．6与7 D．7与8 【解答】解：∵，， ∴， ∴7﹣1＜2﹣1＜8﹣1， ∴． 故选：C． 24．估计的值在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【解答】解：∵3＝， 且4＜＜5， ∴4＜3＜5， ∴3＜3﹣1＜4， 故选：A． 25．估计的值在（　　） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 【解答】解：∵，且， ∴， ∴． 故选：A． 题组六 算术平方根整数部分与小数部分 26．若的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为＜＜，即2＜＜3， 所以的整数部分是2，小数部分是（﹣2）， 即a＝2，b＝﹣2， 所以2a+b＝4+﹣2＝2+， 故选：C． 27．如果4+与4﹣的小数部分分别是m，n，那么m+n﹣1的值为（　　） A．7 B．1 C．0 D．﹣1 【解答】解：由2＜＜3得 6＜4+＜7， 则4+的小数部分是m＝﹣2， 由﹣3＜﹣＜﹣2，得 1＜4﹣＜2， 4﹣的小数部分是n＝3﹣， m+n﹣1＝﹣2+3﹣﹣1＝0； 故选：C． 28．若的整数部分为x，小数部分为y，则（x+）y的值是（　　） A． B．3 C． D．﹣3 【解答】解：∵2＜＜3， ∴x＝2，y＝﹣2， ∴（x+）y＝（2+）×（﹣2）＝7﹣4＝3， 故选：B． 29．若的整数部分是m，小数部分是n，则|n﹣m|为（　　） A． B． C． D．8 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是8，小数部分是， ∴m＝8，n＝， ∴|n﹣m|＝， 故选：B． 30．已知的整数部分是a，的小数部分是b，则a+b的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵9＜15＜16， ∴， ∴， ∴的整数部分是：10， ∴a＝10， ∵， ∴， ∴的小数部分是， ∴， ∴， 故选：B． 题组七 运用平方根性质解方程 31．求下列各式中的x： （1）x2﹣143＝1； （2）4（x+1）2＝81． 【解答】解：（1）移项并合并，得x2＝144， ∵（±12）2＝144， ∴x＝±12； （2）两边都除以4，得（x+1）2＝， ∵（±）2＝， ∴x+1＝±， 解得x＝或x＝﹣． 32．求下列各式中x的值． （1）9x2﹣25＝0； （2）（x﹣1）2＝36． 【解答】解：（1）移项得，9x2＝25， 两边都除以9得，x2＝， 由平方根的定义得，x＝±； （2）（x﹣1）2＝36， 由平方根的定义得，x﹣1＝±6， 即x＝7或x＝﹣5． 33．求x的值． （1）5x2﹣1＝9； （2）4（x﹣1）2＝9． 【解答】解：（1）移项得，5x2＝9+1， 合并同类项得，5x2＝10， 系数化1得，x2＝2， 两边开平方得，x＝±， 即x1＝，x2＝﹣． （2）两边同时除以4，（x﹣1）2＝， 两边开平方得，x﹣1＝±， 即x﹣1＝或x﹣1＝﹣， 解得：x1＝，x2＝﹣． 34．求下列各式中的x． ①x2﹣18＝0 ②（1﹣x）2＝25 ③2（x+1）2﹣8＝0． 【解答】解：①移项得x2＝18， 系数化为1得：x2＝36， 开平方得：x＝±6； ②开平方得：（1﹣x）＝±5， x1＝﹣4，x2＝6． ③移项得：2（x+1）2＝8， 系数化为1得：（x+1）2＝4， 开平方得：x+1＝±2， x1＝1，x2＝﹣3． 35．解方程： ①（2x﹣1）2﹣169＝0； ②． 【解答】解：①（2x﹣1）2﹣169＝0； 移项得 ①（2x﹣1）2＝169； 开平方得2x﹣1＝±13， 移项得2x＝1±13， 解得x1＝7，x2＝﹣6． ②． 移项得（x﹣4）2＝4 两边同时乘2得（x﹣4）2＝8， 开平方得x﹣4＝±2 移项x＝4±2， 解得x1＝4+2，x2＝4﹣2． 题组八 运用平方根性质解一元二次方程 36．解方程： （1）x2﹣2x﹣7＝0； （2）3x（x﹣1）＝1﹣x． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣7＝0， 移项，得x2﹣2x＝7， 配方，得x2﹣2x+1＝7+1， 即（x﹣1）2＝8， ∴， 解得，． （2）3x（x﹣1）＝1﹣x， 移项，得3x（x﹣1）+（x﹣1）＝0， 因式分解，得（x﹣1）（3x+1）＝0， ∴x﹣1＝0或3x+1＝0， 解得x1＝1，． 37．解方程： （1）2（x﹣1）2＝4； （2）2x（x+7）＝3（x+7）； （3）2x2+3x﹣2＝0． 【解答】解：（1）∵2（x﹣1）2＝4， ∴（x﹣1）2＝2， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1+，x2＝1﹣； （2）2x（x+7）＝3（x+7）， 2x（x+7）﹣3（x+7）＝0， （x+7）（2x﹣3）＝0， ∴x+7＝0或2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣7，x2＝； （3）2x2+3x﹣2＝0， （2x﹣1）（x+2）＝0， ∴2x﹣1＝0或x+2＝0， 解得x1＝，x2＝﹣2． 38．解方程： （1）x2+2x﹣3＝0； （2）2x2﹣5x+3＝0． 【解答】解：（1）x2+2x﹣3＝0， （x+3）（x﹣1）＝0， ∴x+3＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1； （2）2x2﹣5x+3＝0， （2x﹣3）（x﹣1）＝0， ∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝，x2＝1． 39．解方程： （1）4（x﹣1）2﹣8＝0； （2）x2﹣10x+16＝0； （3）2x2+3x﹣1＝0． 【解答】解：（1）4（x﹣1）2﹣8＝0， 4（x﹣1）2＝8， （x﹣1）2＝2， ∴x﹣1＝， ∴x1＝1+，x2＝1﹣． （2）x2﹣10x+16＝0， （x﹣2）（x﹣8）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣8＝0， ∴x1＝2，x2＝8． （3）2x2+3x﹣1＝0， a＝2，b＝3，c＝﹣1， ∵b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝． 40．解方程： （1）2（x﹣3）2＝0； （2）4x2﹣6x﹣3＝0； （3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）； （4）（x+8）（x+1）＝﹣12． 【解答】解：（1）2（x﹣3）2＝0， （x﹣3）2＝0， ∴x﹣3＝0， ∴x1＝x2＝3； （2）4x2﹣6x﹣3＝0， 这里a＝4，b＝﹣6，c＝﹣3， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）＝36+48＝84＞0， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝； （3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）， （2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）＝0， （2x﹣3）（2x﹣3﹣5）＝0， ∴2x﹣3＝0或2x﹣3﹣5＝0． ∴x1＝，x2＝4； （4）（x+8）（x+1）＝﹣12， x2+9x+20＝0， （x+4）（x+5）＝0， ∴x+4＝0或x+5＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝﹣5． 题组九 算术平方根规律探究 41．【观察】请你观察下列式子． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： （1）写出第7个等式 　＝7　． （2）请根据上面式子的规律填空：＝　n+1　． （3）利用（2）中结论计算：． 【解答】解：（1）根据材料可知，第七个式子的被开方数为1+3+5+7+9+11+13， ∴第7个等式为：＝7． 故答案为：＝7； （2）根据材料中给出的规律可知：＝． 故答案为：n+1； （3）根据（2）中的规律可知，＝＝． 42．观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… 根据上述规律，解答下面的问题： （1）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明； （2）请直接写出的值． 【解答】解：（1）第n个等式是：（n是正整数）． 证明如下：． （2）． 43．[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： ＝　　； ＝　　； ＝　　； …… [发现]根据你的阅读回答下列问题： （1）请根据上面式子的规律填空：＝　或　（n为正整数）； （2）请证明（1）中你所发现的规律． [应用]请直接写出下面式子的结果： ＝　或　． 【解答】解：[观察]，，， 故答案为：，，． [发现]（1）按照观察部分各个等式中间的规律可得：＝； 按照观察部分各个等式最后运算结果的规律可得：＝． 故答案为：或． （2）证明：左＝ ＝ ＝ ＝ ＝． ∵n为正整数， ∴， ∴左＝＝右． [应用] ＝1+﹣+1+﹣+1+﹣+…+ ＝n+1﹣ ＝n+ ＝． 故答案为：或． 44．阅读材料： 和为整数，4﹣1＝3＝2×1+1； 和为整数，9﹣4＝5＝2×2+1； 和为整数，16﹣9＝7＝2×3+1； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中a＜b，则有b﹣a＝2+1．并给出了证明： 根据题意，得． 等式两边同时 　平方　，得 　a+2+1　＝b． 整理得b﹣a＝2+1． 请根据以上材料，解决以下问题： （1）请补全小明的证明过程． （2）若和 为两个相邻整数，则a＝　25　． （3）若和 为相差4的两个整数，求a的值． 【解答】解：（1）∵和为相邻的两个整数， ∴， 等式两边同时平方得： a+2+1＝b． 移项得：b﹣a＝2+1． 故答案为：平方；a+2+1； （2）∵和 为两个相邻整数， ∴由（1）的结论可知：a+11﹣a＝2+1， ∴＝5， ∴a＝25． 故答案为：25； （3）∵和 为相差4的两个整数， ∴+4＝， 等式两边同时平方得： a+8+16＝a+216， ∴＝25， ∴a＝625． 45．阅读下面材料： 将边长分别为a，a+，a+2，a+3，……的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4，⋯⋯． 则S2﹣S1＝ ＝； ＝； …… 根据以上材料解答下列问题： （1）根据材料中的规律可得面积记为Sn的正方形边长是 　a+（n﹣1）　； （2）猜想Sn+1﹣Sn的结果，并证明你的猜想； （3）令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+⋯+tn，求T的值． 【解答】（1）解：a+（n﹣1）； （2）解：猜想：Sn+1﹣Sn＝（2n﹣1）b+2a， 证明：由（1）知：Sn+1＝a+n，Sn＝a+（n﹣1）， ∴Sn+1﹣Sn＝（a+n）2﹣[a+（n﹣1）]2＝[a+n+a+（n﹣1）]{（a+n﹣[a+（n﹣1）]} ＝[2a+（2n﹣1）] ＝（2n﹣1）b+2a； （3）解：∵t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+⋯+tn， ∴T＝S2﹣S1+S3﹣S2+S4﹣S3+﹣﹣﹣+Sn+1﹣Sn＝Sn+1﹣S1＝（a+n）2﹣a2＝2an+n2b． 题组十 平方根的实际应用 46．小红想用一块面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为600cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为5：3，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小明同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．” （1）长方形纸片的长和宽分别是多少厘米？ （2）你是否同意小明同学的说法？说明理由． 【解答】解：（1）解：设长方形纸片的长为5x（x＞0）cm，则宽为3x cm， 依题意得，5x•3x＝600， 15x2＝600， x2＝40， ∵x＞0， ∴x＝2， ∴长方形纸片的长为10 cm，宽为6cm， 答：长方形纸片的长是10cm，宽是6cm； （2）不同意小于同学的说法． 理由：∵面积为900平方厘米的正方形的边长为30厘米，10＞30， ∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长， ∴不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片． 47．如图，是一块长方形空地，小刚的爸爸按照图中的方式在空地上用栅栏围出两块面积分别为49m2和81m2的正方形区域ABCD和CEFG（AB、AD、BC、CG、CE、EF、FG均为栅栏）． （1）原长方形空地的长为 　16　m，宽为 　9　m； （2）求围成的两个正方形区域所需栅栏的总长度； （3）求长方形空地剩余部分（即阴影部分）的面积． 【解答】解：（1）根据题意得：正方形ABCD的边长分别为， 正方形CEFG的边长分别为， ∴BG＝BC+CG＝7+9＝16m，FG＝9m， 故答案为：16，9； （2）根据题意得：围成的两个正方形区域所需栅栏的总长度为： （EF+FG+GC+CE）+（AB+BC+DA）＝4×9+7×3＝57（m）； （3）根据题意得：AD＝7m，ED＝CE﹣CD＝9﹣7＝2m， ∴长方形空地剩余部分（即阴影部分）的面积为＝7×2＝14m2． 48．小明制作了一张边长为16cm的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个面积为426cm2的长方形信封如图所示，信封长和宽的比为3：2． （1）求此长方形信封的长和宽； （2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【解答】解：（1）∵信封长和宽的比为3：2， ∴设长方形信封的长为 3x cm，宽为2x cm， 根据题意，得3x•2x＝426， ∴x2＝71， ∵x为正数， ∴， ∴长方形信封的长为 ，宽为2cm； （2）∵71＞64， ∴， ∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 49．工人师傅准备从一块面积为25平方分米的正方形工料上裁出一块18平方分米的长方形工件． （1）该正方形工料的边长为 　5　分米； （2）能否直接裁出长宽之比为3：2的长方形工件？请说明理由． （参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236） 【解答】解：（1）∵25的算术平方根是5， ∴正方形工料的边长为5分米， 故答案为：5； （2）不能直接裁出长宽之比为3：2的长方形工件， 设所裁出的长方形的长与宽各为3x分米和2x分米， 可得列方程3x•2x＝18， 解得x＝，或x＝﹣（不合实际）， ∴3x＝3≈3×1.732＝5.196（平方分米）， ∵5.196＞5， ∴不能直接裁出长宽之比为3：2的长方形工件． 50．（1）小丽计划在母亲节那天送份礼物妈妈，特设计一个表面积为12dm2的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是 　dm　． （2）为了增加小区的绿化面积，幸福公园准备修建一个面积121πm2的草坪，草坪周围用篱笆围绕．现从对称美的角度考虑有甲，乙两种方案，甲方案：建成正方形；乙方案：建成圆形的．如果从节省篱笆费用的角度考虑，你会选择哪种方案？请说明理由； （3）在（2）的方案中，审批时发现修如此大的草坪，目的是亲近自然，若按上方案就没达到目的，因此建议用如图的设计方案：正方形里修三条小路，三条小路的宽度是一样，这样草坪的实际面积就减少了21πm2，请你根据此方案求出各小路的宽度（π取整数）． 【解答】解：（1）∵正方体有6个面且每个面都相等， ∴正方体的一个面的面积＝2dm2． ∴正方体的棱长＝dm； 故答案为：dm； （2）甲方案：设正方形的边长为x m，则x2＝121π， ∴， ∴正方形的周长为：（m）； 乙方案：设圆的半径为为r m，则πr2＝121π， ∴r＝11， ∴圆的周长为：2πr＝22π（m）， ∴， ∵4＞π， ∴， ， ∴正方形的周长比圆的周长大， 故从节省篱笆费用的角度考虑，选项乙方案建成圆形； （3）依题意可进行如图所示的平移，设下路的宽为ym， 则， ∴， ∴， ∵π取整数， ∴． 故根据此方案求出小路的宽度为m． 题组十一 算术平方根的与数轴 51．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，再直爬向点C停止，已知点A表示﹣，点C表示2，设点B所表示的数为m． （1）求m的值； （2）求|m+1|+的值； （3）直接写出蚂蚁从点A到点C所经过的整数中，非负整数有　3　个． 【解答】解：（1）m＝2﹣； （2）∵m＝2﹣， ∴m+1＝3﹣＞0， ∴|m+1|+ ＝m+1+m+1 ＝2m+2 ＝4﹣2+2 ＝6﹣2； （3）蚂蚁从点A到点C所经过的整数中，非负整数有0、1、2共3个， 故答案为：3． 52．如图，点A是以点O为圆心，OM长为半径画弧与数轴的交点；点B是以点O为圆心，ON长为半径画弧与数轴的交点．数轴上点A，B表示的数分别为a，b． （1）a＝　﹣　，b＝　2　． （2）先化简再求值：|a|+． 【解答】解：（1）OM＝＝， ∵a＜0， ∴a＝﹣； ON＝， ∵b＞0， ∴b＝2． 故答案为：﹣ （2）∵a＜0，a+b＜0，b﹣a＞0， ∴|a|+ ＝﹣a﹣（a+b）﹣（b﹣a） ＝﹣a﹣2b． 当a＝﹣；b＝2时， 原式＝﹣（﹣）﹣2×＝． 53．①计算＝（　2　），＝（　　），＝（　2　）． ②探索规律，对于任意的有理数a，都有＝（　|a|　）． ③有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简． 【解答】解：①＝2，＝，＝2． 故答案为：2，，2． ②＝|a|． 故答案为：|a|． ③由数轴可得：c＜b＜0＜a， ∴ ＝a﹣b+c﹣（a﹣b）+a﹣c ＝a﹣b+c﹣a+b+a﹣c ＝a． 54．已知a，b，c在数轴上位置如图，化简：（）2++． 【解答】解：原式＝c﹣a+（c﹣2a﹣b）+c+2b ＝c﹣a+c﹣2a﹣b+c+2b ＝3c﹣3a+b． 55．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简﹣+． 【解答】解：由数轴上点的位置，得 a＜0，b＞0，a﹣b＜0， ﹣+＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a． 56．汉语中的对联呈现对仗之美的不变性，即字面上、词类上声律上相对称．数学中也存对偶原理，即对于一个已知数或代数式或一个已知命题，我们引进一个与之对应的有某种对偶关系的命题，然后一起参与运算，从而使问题变得简单．阅读下列材料，回答问题． 材料一：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“√“去掉． 例如：已知，求的值． 解：． ∵，∴， 材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y2），AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以，反之，可将代数式的值看作点A（x1，y1）到点B（x2，y2）的距离． （1）利用材料一，解关于x的方程：，其中x≤10； （2）利用材料二，求代数式的最小值． 【解答】解：（1）∵（+）•（﹣）＝（25﹣x）﹣（10﹣x）＝15，+＝5， ∴﹣＝3； ∴＝4，＝1， ∴25﹣x＝16，10﹣x＝1， ∴x＝9； 经检验，x＝9是原方程的解， ∴x＝9； （2）+ ＝+， 而+可看作（x，y）到（1，4），（2，﹣3）的距离之和，如图： 根据两点之间，线段最短可知，当点（x，y）在点（1，4），（2，﹣3）组成的线段上时，+的值最小，最小值为＝5， ∴+的最小值为5． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$