第3章 代数式（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版）

第3章 代数式（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列各式中，书写正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是 B．多项式是三次三项式 C．多项式的次数是2 D．单项式的次数是1 3．对代数式，，，，，判断正确的是（    ） A．只有个单项式 B．只有个单项式 C．有个整式 D．有个二次多项式 4．若a与2互为倒数，则等于（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 5．已知单项式与单项式是同类项，则的值为（　　） A． B．8 C．4 D． 6．下列各项去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，将边长为m的正方形纸片沿虚线剪成两块正方形和两块长方形，若拿掉边长为n的小正方形后，再把剩下的三块图形拼成一块长方形，则这块长方形周长为（   ） A． B． C． D． 8．如图是2022年12月的日历表，在此日历表中用阴影十字框选中5个数（如2、8、9、10、16）．若这样的阴影十字框上下左右移动选中这张日历表中的5个数，则这5个数的和可能为（    ） A．41 B．46 C．75 D．116 9．如图是由一些火柴棒摆成的图案，按照这种方式摆下去，摆第100个图案用（    ）根火柴棒． A．399 B．400 C．401 D．402 10．有依次排列的3个整式：a，，，将任意相邻的两个整式相加，所得之和写在这两个整式之间，可以产生一个整式串：a，，，，，这称为第1次“取和操作”；将第1次“取和操作”后的整式串按上述方式再做一次“取和操作”，可以得到第2次“取和操作”后的整式串；以此类推．下列说法： ①当时，第1次“取和操作”后，整式串中所有整式的积为负数； ②第3次“取和操作”后，整式串中倒数第二个整式为； ③第4次“取和操作”后，整式串中所有整式之和为； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．若，则 ． 12．已知，，则式子的值是 ． 13．单项式的系数是 ． 14．当的值为时，代数式的值是 ． 15．将一串有理数按以下列规律排列，则第2023个数排在对应于A，B，C，D中的 字母位置（填字母）． 16．已知代数式的值是7，则代数式的值是 ． 17．一个正方形的边长为，它的各边长减少后，得到的新正方形的周长为，则与的关系式为 ． 18．如图数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为…，第n个数记为，则 ． 3、 解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．计算： (1)； (2) 20．先化简，再求值 ，其中，． 21．有理数在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空______，______，______，______． (2)化简：． 22．已知：，． (1)计算：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 23．已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是3，是最大的负整数．求的值． 24．赵叔叔准备买一套新房子，这套住房的建筑平面图（由四个长方形组成）如图所示： 用含的式子表示这套住房的总面积． 25．观察下面的变形规律：，，，……， 解答下面的问题： (1)＝　 　，＝　 　． (2)若为正整数，猜想＝　 　． (3)求值． 26．国家提倡节能减排，创造节约型社会，某城市提出实施居民生活用水年度阶梯水价，具体水价标准见下表： 类别 水费价格（元/立方米） 污水处理费（元/立方米） 综合水价 不超过120立方米部分 3.5 1.5 5 超过120立方米，但不超过180立方米部分 5.25 1.5 6.75 超过180立方米部分 10.5 1.5 12 (1)小明家2022年共用水100立方米，则应缴纳水费多少元？ (2)小红家2022年共用水160立方米，则应缴纳水费多少元？ (3)小敏家2022年共用水立方米（），请用含的代数式表示应缴纳的水费． 27．阅读材料：我们知道，，类似的我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用： (1)把看成一个整体，求出的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 28．某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 代数式（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列各式中，书写正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代数式的书写要求： （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写； （2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求逐项判断． 【详解】解：选项A正确的书写是、 选项B的正确书写是 选项C的正确书写是， 选项D的书写正确． 故选：D． 2．下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是 B．多项式是三次三项式 C．多项式的次数是2 D．单项式的次数是1 【答案】B 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数．据此求解即可． 【详解】解：A．单项式的系数是，故不正确，不符合题意； B．多项式是三次三项式，正确，符合题意； C．多项式的次数是4，故不正确，不符合题意； D．单项式的次数是0，故不正确，不符合题意； 故选B． 3．对代数式，，，，，判断正确的是（    ） A．只有个单项式 B．只有个单项式 C．有个整式 D．有个二次多项式 【答案】A 【分析】本题考查了整式，单项式，多项式的概念，熟练掌握整式，单项式，多项式的概念是解答本题的关键．单项式和多项式统称为整式；数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式；次数最高的项的次数，叫做多项式的次数；按照以上概念逐个判断即可． 【详解】解：、、是单项式， 是二次多项式，是三次多项式， 、、、、是整式， 以上代数式中共有个单项式，个二次多项式，个三次多项式，个整式， 故选：A． 4．若a与2互为倒数，则等于（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查倒数及绝对值．根据倒数的定义求得的值后代入中计算即可． 【详解】解：与2互为倒数， ， ， 故选：A． 5．已知单项式与单项式是同类项，则的值为（　　） A． B．8 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数也相同． 根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列出关于的式子，由此求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ， ， 故选：C． 6．下列各项去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查去括号法则，根据去括号法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，原去括号错误，故此选项不符合题意； B、，原去括号正确，故此选项符合题意； C、，原去括号错误，故此选项不符合题意； D、，原去括号错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 7．如图，将边长为m的正方形纸片沿虚线剪成两块正方形和两块长方形，若拿掉边长为n的小正方形后，再把剩下的三块图形拼成一块长方形，则这块长方形周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，根据题意可得拼成的长方形的长为，宽为，据此根据长方形周长计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，拼成的长方形的长为，宽为， ∴新长方形的周长为， 故选：B． 8．如图是2022年12月的日历表，在此日历表中用阴影十字框选中5个数（如2、8、9、10、16）．若这样的阴影十字框上下左右移动选中这张日历表中的5个数，则这5个数的和可能为（    ） A．41 B．46 C．75 D．116 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是根据所给数据得到阴影十字框中的五个数字之和是5的倍数．设阴影十字框中间的数为x，得到其余4个数的代数式，把这5个数相加，可得和为，再逐一分析各选项中的数即可． 【详解】解：设阴影十字框中正中间的数为x，则这个数的和为 ， 即这个数的和为5的倍数， A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C 9．如图是由一些火柴棒摆成的图案，按照这种方式摆下去，摆第100个图案用（    ）根火柴棒． A．399 B．400 C．401 D．402 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形，可知，后一个图形比前一个图形多4根火柴，进而求出第100个图案所用的火柴棒即可． 【详解】解：观察图形，可知，后一个图形比前一个图形多4根火柴， ∴第个图形用的火柴数为：， ∴第100个图案用根火柴棒． 故选：C． 10．有依次排列的3个整式：a，，，将任意相邻的两个整式相加，所得之和写在这两个整式之间，可以产生一个整式串：a，，，，，这称为第1次“取和操作”；将第1次“取和操作”后的整式串按上述方式再做一次“取和操作”，可以得到第2次“取和操作”后的整式串；以此类推．下列说法： ①当时，第1次“取和操作”后，整式串中所有整式的积为负数； ②第3次“取和操作”后，整式串中倒数第二个整式为； ③第4次“取和操作”后，整式串中所有整式之和为； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是正确理解题目所给“取和操作”的定义． 根据，判断第1次“取和操作”后，各个式子的正负，即可判断①；根据“取和操作”的定义，得出第3次“取和操作”后，整式串中倒数第二个整式，即可判断②；得出第四次“取和操作”所有整式，相加即可判断③． 【详解】解：①∵， ∴，，，， ∴第1次“取和操作”后，有3个正数，2个负数， ∴整式串中所有整式的积为正数，故①不正确； ②第一次“取和操作”后，整式串中倒数二个整式为，， 第二次“取和操作”后，整式串中倒数二个整式为，， 第三次“取和操作”后，整式串中倒数二个整式为，， ∴第3次“取和操作”后，整式串中倒数第二个整式为，故②正确； ③第一次“取和操作”所有整式为：a，，，，， 第二次“取和操作”所有整式为：a，，，，，，，，， 第三次“取和操作”所有整式为：a，，，，，，，，，，，，，，，，， 第四次“取和操作”所有整式为：a，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， ∴第4次“取和操作”后，整式串中所有整式之和为；故③不正确， 综上：正确的有1个， 故选：B． 2、 填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．若，则 ． 【答案】 【分析】根据已知可得，然后利用比例的性质进行计算即可解答．本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．已知，，则式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的加减，先把已知条件两边同时除以2得到①，把已知等式看作②，然后①②，进行化简即可． 【详解】解：∵ ∴，① ∵，② ∴①②得： ∴， ∴， 故答案为：． 13．单项式的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式系数的定义，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数的关键．利用单项式系数的定义“单项式中数字因数叫做单项式的系数”即可求解； 【详解】解：根据单项式定义得：单项式的系数是； 故答案为： 14．当的值为时，代数式的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了代数式求值，绝对值的意义，根据绝对值的意义得出是解本题的关键；根据的值为时，得出的值，代入求值即可． 【详解】解： 即 ， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 15．将一串有理数按以下列规律排列，则第2023个数排在对应于A，B，C，D中的 字母位置（填字母）． 【答案】D 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据有理数的排列规律发现第2023个数的位置与第3个数的位置一样是解题的关键．观察有理数的排列顺序，将从开始的连续四个有理数看成一组即可解决问题． 【详解】解∶将从开始的连续四个有理数看成一组，且， 所以第2023个数所在位置与第3个数所在位置相同，而第四个数为，位于D位置，所以第2023个数也位于D位置， 故答案：D． 16．已知代数式的值是7，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，将式子变形为，再将代数式的值整体代入求解，即可解题． 【详解】解：， ， 故答案为：． 17．一个正方形的边长为，它的各边长减少后，得到的新正方形的周长为，则与的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式； 根据正方形的周长公式列式即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 18．如图数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为…，第n个数记为，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字变化规律问题，通过归纳出第n个数记为，再进行求解即可． 【详解】解：根据题意知 ， ， ， 则， ， 故答案为：210． 3、 解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查整式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． （1）根据整式的加减运算法则即可求出答案． （2）根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 20．先化简，再求值 ，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 21．有理数在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空______，______，______，______． (2)化简：． 【答案】(1)，，，； (2)． 【分析】（）根据数轴得到，进而即可判断求解； （）利用数轴先判断的符号，进而根据绝对值的性质化简即可求解； 本题考查了数轴与绝对值，由数轴判断出的符号是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可得，， ∴，，，， 故答案为：，，，； （2）解：∵， ∴，，， ∴原式 ， ． 22．已知：，． (1)计算：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）把，代入中，再根据整式的加减运算进行计算即可求解； （）由（）得，根据的值与的取值无关，可得，解之即可求解； 本题考查了整式的加减运算，整式的无关型问题，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ； （2）解：由（）得，， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 23．已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是3，是最大的负整数．求的值， 【答案】4或 【分析】根据相反数，倒数，绝对值，最大的负整数得出，，，，，分，两种情况代入代数式计算即可． 【详解】∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是3，y是最大的负整数， ∴，，，， 当时， ； 当时， ； ∴的值是： 4或． 【点睛】本题主要考查了有理数有关概念和运算，代数式求值．熟练掌握相反数，倒数，绝对值，最大的负整数，的幂，分类讨论，整体代入法求解代数式的值，是解题的关键． 24．赵叔叔准备买一套新房子，这套住房的建筑平面图（由四个长方形组成）如图所示： 用含的式子表示这套住房的总面积． 【答案】平方米 【分析】本题考查列代数式的应用，根据图形列代数式即可． 【详解】解：住房的总面积为：（平方米）， ∴住房的总面积为：平方米． 25．观察下面的变形规律：，，，……， 解答下面的问题： (1)＝　 　，＝　 　． (2)若为正整数，猜想＝　 　． (3)求值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算：（1）根据题目中给出的算式，可以写出相应的算式； （2）根据题目中给出的算式，可以写出相应的猜想； （3）根据题目中的算式和所求式子的特点，可以先拆项，然后再计算即可． 【详解】解：（1），． 故答案为：，． （2）若为正整数，． 故答案为：． （3） ． 26．国家提倡节能减排，创造节约型社会，某城市提出实施居民生活用水年度阶梯水价，具体水价标准见下表： 类别 水费价格（元/立方米） 污水处理费（元/立方米） 综合水价 不超过120立方米部分 3.5 1.5 5 超过120立方米，但不超过180立方米部分 5.25 1.5 6.75 超过180立方米部分 10.5 1.5 12 (1)小明家2022年共用水100立方米，则应缴纳水费多少元？ (2)小红家2022年共用水160立方米，则应缴纳水费多少元？ (3)小敏家2022年共用水立方米（），请用含的代数式表示应缴纳的水费． 【答案】(1)元 (2)元 (3)元 【分析】本题考查有理数的混合运算以及列代数式． （1）根据表格中规定的分段计算方法列式计算可得； （2）根据表格中规定的分段计算方法列式计算可得； （3）利用总价单价数量，结合阶梯水价，即可得出结论． 【详解】（1）解：（元）， 答：应缴纳水费元． （2）解：（元）， 答：应缴纳水费元． （3）解：应缴纳的水费为元． 答：应缴纳水费元． 27．阅读材料：我们知道，，类似的我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用： (1)把看成一个整体，求出的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）把看成一个整体，运用乘法分配律求解即可； （2）运用整体代入法求解即可； （3）将看出整体，化为，从而得解． 【详解】（1）解：； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴． 28．某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 【答案】(1)见解析； (2)， (3)场 【分析】本题主要考查了列代数式，总结图形规律，有理数的混合运算，正确理解题意，总结图形规律是解题的关键． （1）根据所给材料作图即可； （2）先总结规律，进而即可得解； （3）把代入计算即可得解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； …… ∴多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 故答案为：，； （3）解：（场） ∴总共要比赛场． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$