拓展2-2逻辑用语的四个易错点分析-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第一册）

拓展2-2逻辑用语的四个易错点分析 一、混淆条件关系 三、命题的否定理解不清 二、忽视端点值的取舍 四、忽视最高项系数为0 一、混淆条件关系 易错分析：关键是分清条件和结论，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件:由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件 例1．下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中可以作为的充分不必要条件的所有序号为 ． 变式1-1．已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1-2．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（多选）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 二、忽视端点值的取舍 易错分析：在充分、必要条件求参问题上经常会转化成集合的包含关系，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心圆圈表示，利用集合之间的关系求解参数的取值范围的时候，要注意端点值的取舍问题. 例2．已知或，，若p是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 变式2-1．已知命题：方程没有实数根，若是真命题，实数的取值集合为． (1)求实数的取值集合； (2)集合，若是的必要条件，求的取值范围． 变式2-2．已知，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 变式2-3．已知：：或. (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 三、命题的否定理解不清 易错分析：①看清楚竖线左侧的类型，弄清代表元素是数还是点 例3．已知命题，，则是（    ） A．， B．， C．或， D．或， 变式3-1．已知命题，则命题的否定为 . 变式3-2．命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 变式3-3．命题 ，，则命题的否定为 ． 四、忽视最高项系数为0 易错分析：最高项的系数直接影响方程的求解方式，故要分类讨论 例4．（多选）若是的必要不充分条件，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D．3 变式4-1．命题是假命题，则的范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（多选）已知命题，若为真命题，则的值可以为（ ） A． B． C．0 D．3 变式4-3．已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 一、单选题 1．“关于x的不等式的解集为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设命题，则的否定为（    ） A． B． C． D． 3．设，为非零实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 6．使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．：若，则；： . 8．已知且的充分不必要条件是，则的取值范围是 . 9．若命题“，”为假命题，则的取值范围为 . 四、解答题 10．已知关于x的方程， (1)若，使方程只有一个实数根，求a的值. (2)若，方程至少有一个大于1的根，求集合M. 11．设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 12．已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展2-2逻辑用语的四个易错点分析 一、混淆条件关系 三、命题的否定理解不清 二、忽视端点值的取舍 四、忽视最高项系数为0 一、混淆条件关系 易错分析：关键是分清条件和结论，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件:由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件 例1．下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中可以作为的充分不必要条件的所有序号为 ． 【答案】②③ 【详解】由解得． 对于①，是的必要不充分条件； 对于②，是的充分不必要条件； 对于③，是的充分不必要条件； 对于④，是的充要条件； 对于⑤，是的必要不充分条件． 故选:②③． 变式1-1．已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】取，，则可知由“”无法推出“”． ，，两边平方化简得； 则，“”是“”的必要不充分条件； 故选：B 变式1-2．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 变式1-3．（多选）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【详解】对A：由可得，所以成立，所以“”是“”的充分条件； 由可得或，所以“”是“”的不必要条件. 综上可得：“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对B：“二次方程有一正根一负根”等价于“”，故B正确； 对C：由“且”可得“”，但“”时，如，，此时“且”不成立，故C错误； 对D：因为：推不出，但，所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确. 故选：ABD 二、忽视端点值的取舍 易错分析：在充分、必要条件求参问题上经常会转化成集合的包含关系，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心圆圈表示，利用集合之间的关系求解参数的取值范围的时候，要注意端点值的取舍问题. 例2．已知或，，若p是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】. 【详解】由是的必要不充分条件，所以BA， 当，即时，，满足题意； 当，即时，则有或，即或，所以. 综上，的取值范围是. 变式2-1．已知命题：方程没有实数根，若是真命题，实数的取值集合为． (1)求实数的取值集合； (2)集合，若是的必要条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若是真命题，则，解得， 所以； （2）若是的必要条件，则， 又，所以， 所以，解得. 变式2-2．已知，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设，， 是成立的充分不必要条件， 真包含，则或， 解得，的取值范围是． 故答案为：. 变式2-3．已知：：或. (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)． 【详解】（1）因为p：，所以p：，即， 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是或； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以，其中等号不能同时取到， 解得，即实数m的取值范围是． 三、命题的否定理解不清 易错分析：①看清楚竖线左侧的类型，弄清代表元素是数还是点 例3．已知命题，，则是（    ） A．， B．， C．或， D．或， 【答案】B 【详解】命题，是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以，． 故选：B． 变式3-1．已知命题，则命题的否定为 . 【答案】 【详解】命题为全称量词命题，其否定为：. 故答案为：. 变式3-2．命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题，的否定为，. 故选：C. 变式3-3．命题 ，，则命题的否定为 ． 【答案】， 【详解】命题 ，为存在量词命题， 其否定为：，. 故答案为：， 四、忽视最高项系数为0 易错分析：最高项的系数直接影响方程的求解方式，故要分类讨论 例4．（多选）若是的必要不充分条件，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】BC 【详解】由，得或. 解方程，得， 依题意，，，则或，解得或， 所以实数的值为或. 故选：BC 变式4-1．命题是假命题，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由命题是假命题可知：命题是真命题， 即有：①当时，不等式恒成立； ②当时，须使 解得： 综上所述,可知的范围是 故选：D. 变式4-2．（多选）已知命题，若为真命题，则的值可以为（ ） A． B． C．0 D．3 【答案】BCD 【详解】当时，，为真命题，则成立， 当时，若为真命题，则，解得且， 综上，为真命题时，的取值范围为. 故选：BCD 变式4-3．已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由，知，则或或， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 所以的取值集合为． （2）由题意得，，故， 又是的充分不必要条件， 所以是的真子集，于是， 解得：，经检验符合条件， 综上，实数m的取值范围是． 一、单选题 1．“关于x的不等式的解集为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当即时，不等式的解集为，符合题意； 当即时，若不等式的解集为， 可得，解得， 所以不等式的解集为可得，充分性不成立， 若，则不等式的解集为，必要性成立， 所以不等式的解集为”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．设命题，则的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为命题是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题，即为． 故选：C. 3．设，为非零实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由可以得到，故充分性成立， 当，时满足，但是推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 4．命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由命题“，”为真命题， 得，所以， 所以为该命题的一个必要不充分条件. 故选：. 二、多选题 5．“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设，选项对应的集合为， 因为选项是“”的一个充分不必要条件，所以是的真子集，B,C符合题意， 故选：BC 6．使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由命题“”为真命题等价于在上恒成立， 即，因，故有：在上恒成立， 设，因，故得：，则，即得：， 依题意， 应是正确选项的真子集，而符合要求的包括A,C,D三个选项. 故选：ACD. 三、填空题 7．：若，则；： . 【答案】若，则或 【详解】根据命题的否定，：若，则； 则：若，则或. 故答案为：若，则或. 8．已知且的充分不必要条件是，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意知当时, 当时， 则的取值范围是 故答案为： 9．若命题“，”为假命题，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可知，命题“，”为真命题. 当时，可得. 若，则有，符合题意； 若，则有，解得，不符合题意； 当时，则，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 10．已知关于x的方程， (1)若，使方程只有一个实数根，求a的值. (2)若，方程至少有一个大于1的根，求集合M. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由题知，方程只有一个实数根， 当时，解得，符合题意； 当时，分解因式得，解得或， 则有，得. 综上，或. （2）当时，，符合题意， 当时，由（1）可知，方程的两根为， 因为方程至少有一个大于1的根， 所以或，解得或，且. 综上， 11．设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是的充分条件，所以， 因为，， 所以，解得 故实数a的取值范围为 （2）①当时，满足，所以，解的； ②当时，因为，，且， 所以，解得， 综上所述：实数a的取值范围 12．已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)①；② 【详解】（1）若存在实数m，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数m，使得是成立的充要条件. （2）因为，故，故. 选①：充分不必要条件. 由题意是的真子集，故，解得，故，即m的取值范围为 选②：必要不充分条件. 由题意是的真子集，故，解得，故，又，故m的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$