第21章 二次根式 单元测试-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

第21章 二次根式 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第21章（二次根式）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．下面式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．化简正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如果有意义，那么代数式的值为（    ） A． B．8 C． D．无法确定 5．已知长方形相邻两边的长分别为、，则它的面积是（　　） A． B． C． D． 6．估算的结果在（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A． B． C． D．0 8．图1是第七届国际数学教育大会会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的，那么的长为（   ） A． B． C． D． 9．已知 ，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 10．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线和第一象限内的（轴，）．直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移（平移距离设为m），对应生成的直线被的两边所截得的线段长设为n．若n与m的函数图象如图2所示，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．计算： ． 12．写出的一个有理化因式 13．比较大小：5 ； ．（填“”“”或“”）． 14．若，，则化简的结果是 15．计算： ． 16．已知，则的值是 ． 17．已知一个三角形的三边长分别为1，1，x，化简： ． 18．如图，在中，于点，为上一点，且，，连接，若为的中点，则 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．计算 (1)； (2)． 20．若一个三角形的三边长分别为、、，设，则这个三角形的面积（海伦-秦九韶公式）．求当，，时，的值． 21．若x，y为实数，且，求的值． 22．观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式： …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第个等式： ； (2)计算： ； (3)利用这一规律计算：． 23．阅读与思考： 【阅读理解】 爱思考的小利在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ，即， ， ． 【任务】 请你根据小利的分析过程，解决如下问题： (1)计算：___________； (2)若，求的值． 24．阅读下列解题过程： …………………………，请回答下列回题： (1)观察上面的解答过程，请写出___________； (2)利用上面的化解方法，请计算： 25．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． (1)若，求的最小值________；若，求的最小值________． (2)已知且，求的最小值是? (3)，且，不等式恒成立，求的范围? (4)已知且，求的最小值? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次根式 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第21章（二次根式）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据二次根有意义的条件，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 2．下面式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，根据被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，这样的二次根式叫做最简二次根式，进行判断即可． 【详解】解：，，，不是二次根式，是最简二次根式， 故选：D． 3．化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求答案． 本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型 【详解】解：原式， 故选：D． 4．如果有意义，那么代数式的值为（    ） A． B．8 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，化简绝对值和二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据绝对值的意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴； 故选B． 5．已知长方形相邻两边的长分别为、，则它的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵长方形相邻两边的长分别为、， ∴它的面积是：． 故选：A 6．估算的结果在（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，先根据二次根式的运算法则，进行计算，再利用夹逼法求出无理数的范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选B． 7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键； 根据实数a和b在数轴上的位置，确定出a和b取值范围，再利用二次根式和绝对值的性质，将原式化简，求出答案即可． 【详解】由数轴得，， ，，， ； 故选：B． 8．图1是第七届国际数学教育大会会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，数字类的找规律，勾股定理求得是解题的关键． ，根据勾股定理可得，找到的规律，即可计算的长． 【详解】解：∵， ∴由勾股定理可得， ， ， ， 故选：A． 9．已知 ，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先求的值，再计算，然后将所求的代数式分子和分母先除以，利用进行化简得出结果．本题是分式的计算，考查了分母有理化及代数式的化简问题，利用特殊方法进行变形，得出正确结果． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 10．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线和第一象限内的（轴，）．直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移（平移距离设为m），对应生成的直线被的两边所截得的线段长设为n．若n与m的函数图象如图2所示，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可得，直线经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，可得，当直线经过点时，交于点，过作垂足为点，如图所示：求解，直线为，则从点到点的平移可理解为：先向上移动个单位，再向右移动个单位，再进一步解答即可． 【详解】解：由图可得，直线经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，经过时移动的距离为， ∴，，，， ∴， 当直线经过点时，交于点，过作垂足为点，如图所示： ∵轴，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴从点到点的平移可理解为：先向上移动个单位，再向右移动个单位， ∴当时，则， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，平移的性质，一次函数的应用，平行四边形的性质，化为最简二次根式，理解函数图象的含义是解本题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式加法，熟练掌握二次根式加法法则是解题的关键． 合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 12．写出的一个有理化因式 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查有理化因式，根据有理化因式的定义求解即可．有理化因式即为与之乘积为有理式的因式． 【详解】解：由得：的一个有理化因式可以是：， 故答案为：(答案不唯一)． 13．比较大小：5 ； ．（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，不等式的性质，化简二次根式，熟练掌握知识点是解题的关键． ①由得，即；②由，得，即． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．若，，则化简的结果是 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握其定义及性质是解题的关键．结合已知条件，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 15．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和积的乘方与平方差公式是解决问题的关键． 先根据积的乘方得到原式，然后利用平方差公式计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 16．已知，则的值是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，掌握二次根式中被开方数为非负数是解题的关键． 依据二次根式中被开方数为非负数，即可得到的值，代入原式进而得出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：由题意可得， 解得，， 代入可得，， ， ． 故答案为：25． 17．已知一个三角形的三边长分别为1，1，x，化简： ． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系定理，得，结合，去掉绝对值即可． 本题考查了三角形三边关系定理，二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为1，1，x， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 18．如图，在中，于点，为上一点，且，，连接，若为的中点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识．证明，由全等三角形的性质得出，证出，过点作于点，作于点，由全等三角形的性质得出，，得出，由角平分线的性质，再根据，求出的长，最后利用等腰直角三角形的性质得出结论． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作于点，作于点， ， ，， ，， ， 平分； ， ， ，为的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的乘法等，解题的关键是掌握相应的运算法则． （1）利用二次根式的性质化简后，再相加； （2）利用平方差公式进行分母有理化即可． 【详解】（1）解： （2） ． 20．若一个三角形的三边长分别为、、，设，则这个三角形的面积（海伦-秦九韶公式）．求当，，时，的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，以及利用二次根式的性质化简等知识点，读懂题意，弄清海伦公式的计算方法是解题的关键． 先根据三角形的三边长求出的值，然后再代入三角形面积公式中计算即可． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， 的值是． 21．若x，y为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，先根据二次根式有意义的条件，求出，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 22．观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式： …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第个等式： ； (2)计算： ； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究： （1）根据已有等式，写出第4个等式即可； （2）根据二次根式的性质结合已知，进行求解即可； （3）根据二次根式的性质，结合相关规律，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，第个等式为：； 故答案为：； （2）； 故答案为： （3）由题意，可知第个式子为：， ∴ ． 23．阅读与思考： 【阅读理解】 爱思考的小利在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ，即， ， ． 【任务】 请你根据小利的分析过程，解决如下问题： (1)计算：___________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了二次根式混合运算，分母有理化，乘法公式等，熟练掌握分母有理化的方式是解题关键． （1）利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将代数式变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ，即， ， 24．阅读下列解题过程： …………………………，请回答下列回题： (1)观察上面的解答过程，请写出___________； (2)利用上面的化解方法，请计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，实数运算有关的规律，正确理解题意得到规律是解题的关键． （1）仿照题意进行分母有理化即可； （2）根据（1）得到规律，据此求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ， … ∴可以得到规律， ∴ ． 25．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． (1)若，求的最小值________；若，求的最小值________． (2)已知且，求的最小值是? (3)，且，不等式恒成立，求的范围? (4)已知且，求的最小值? 【答案】(1)4，6 (2) (3) (4)4 【分析】本题考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简．理解题意，熟练掌握不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）时，，根据，计算求解，然后作答即可；当时，，根据，计算求解，然后作答即可； （2）同理（1），根据 ，计算求解，然后作答即可； （3）同理（1），根据 ，计算求解即可； （4）由，可得，根据求解，进而可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4； 当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为6； 故答案为：4，6； （2）解：∵且， ∴，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为； （3）解：∵，且，则，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为， ∵恒成立， ∴的最小值，即； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$