23.3 方差-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（冀教版）河北专版

第1课时　方差的计算 课时目标 1.了解方差是刻画数据相对于平均数的离散程度的量,能借助计算器计算一组数据的方差. 2.能在具体的问题情境中运用方差刻画一组数据的波动大小. 3.探索方差产生的过程,发展合情推理的能力. 学习重点 理解方差的意义,掌握方差的计算公式,并会使用计算器求方差. 学习难点 会用方差来比较两组数据的波动大小,解决一些实际问题. 课时活动设计 引进新知 平均数刻画数据的“平均水平”,但评价选手的射击水平、机器加工零件的精度、手表的日走时误差的时误差等,只用平均数是不够的,这时我们就需要用一个新的数,即方差,来刻画一组数据的波动情况. 设计意图:开门点题,让学生清楚本节课的学习重点. 探究新知 探究一 1.甲、乙两名业余射击选手参加了一次射击比赛,每人各射10发子弹,成绩如图所示. (1)观察上图,甲、乙射击成绩的平均数、中位数各是多少? (2)甲、乙射击成绩的平均数是否相同?若相同,他们的射击水平就一样吗? (3)哪一组数据相对于其平均数波动较大?波动大小反映了什么? 学生分组讨论:先独立思考,再组内交流. 在学生充分讨论的基础上,学生展示,师生共同归纳. 分析:观察两名企业射击选手成绩的散点图,直观感受两选手射击水平的高低及稳定性. 解:(1)两人射击成绩的平均数和中位数都是7环. (2)两人射击成绩的平均数相同,并不能说明射击水平一定相同. (3)甲射击成绩波动较大,波动的大小反映射击水平的稳定性有差异. 归纳:比较甲和乙的射击水平,自然想到比较射击成绩的平均数或中位数.但是,甲和乙射击成绩的平均数和中位数都是7环.两人相比,乙的成绩大多集中在7环附近,而甲的成绩相对于平均数波动较大. 我们在分析数据的特征时,仅考虑数据的平均数是不够的,还需要关注数据的波动情况. 2.观察上图,甲射击成绩的波动比乙大.如何用一个数来描述一组数据的波动大小呢? 假如设n个数据x1,…,xn的平均数为.请同学们思考: (1)如何描述每个数据与平均数的偏差? 解:x1-,x2-,…,xn-. (2)把所有的偏差直接相加能表示所有数据的总偏差吗? 解:不能,因为正负偏差会相互抵消. (3)如何防止正负偏差相互抵消? 解:将各偏差平方后再求和. (4)如何消除数据个数的影响? 解:将各偏差平方求和后再求平均数. 总结概念 设n个数据x1,…,xn的平均数为,各个数据与平均数偏差的平方分别是,,…,.偏差平方的平均数叫做这组数据的方差,用s2表示,即 s2=. 归纳:结合图示和方差公式,我们就可以发现,当数据分布比较分散的时候,各个数据与平均数的差的平方和较大,所以,方差就越大,数据的波动也越大;当数据分布比较集中的时候,各个数据与平均数的差的平方和较小,所以,方差就较小,数据的波动就会越小.因此,方差的大小反映了数据波动(或离散程度)的大小,通常,如果一组数据的方差越小,我们就说它越稳定. 探究二 问题:如何利用计算器求方差呢? 学生分组讨论:先独立思考,再组内交流. 在学生充分讨论的基础上,学生展示,师生共同归纳. 归纳:(1)不同品牌的计算器的操作步骤有所不同,操作时需要参阅计算器的使用说明书. (2)通常需要先按动有关键,使计算器进入统计状态;然后依次输入数据x1,x2,…,xn ;最后按动求方差的功能键(例如σx2键),计算器便会求出方差S2=[(x1-)2+(x2-)+……+(xn-)2]的值. 设计意图:一方面培养学生的读图的能力,另一方面,借助图形的直观,使学生加深理解数据的离散程度的意义;给出方差的概念,并让学生尝试去理解方差公式的合理性.同时教师应强调公式中的s2,n,,x1,x2,…,xn各指什么数据;通过讲解,使学生能够更加清晰的理解方差越大,波动越大,方差越小,波动越小.通过使用计算器,使学生能够熟练用计算器求方差. 典例精讲 例1　两个小组各5名同学,用分度值是1 cm的刻度尺测量同一支铅笔的长度,测量误差数据(单位:mm)如下: 第一组:-2　-1　0　1　2 第二组:-3　-2　0　2　3 (1)从直观上看,哪一组同学测量得较准确? (2)分别计算两组数据的方差,并进行比较,验证你的结论. 解:(1)直观来看,第一组数据更准确. (2)两组数据的平均数都是0,第一组的方差是×[(-2-0)2+(-1-0)2+(0-0)2+(1-0)2+(2-0)2]=2;第二组数据的方差是×[(-3-0)2+(-2-0)2+(0-0)2+(2-0)2+(3-0)2]=5.2.从方差来看,第一组数据波动小,故第一组测量得较准确. 例2　利用计算器计算下列数据的平均数和方差.(结果精确到0.01) 66　78　81　75　86　82 解:(1)进入统计状态,选择一元统计. (2)输入数据.[2] (3)显示结果. 按Rcl键,显示结果为78. 按Rcl键,显示结果为40.333 33. 所以=78,s2≈40.33. 设计意图:通过例题,使学生能够解决简单数据的方差的计算问题. 巩固训练 1.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数根据表中数据,要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择(　A　) A.甲　　　　　　B.乙　　　　　　C.丙　　　　　　D.丁 甲 乙 丙 丁 平均数/cm 561 560 561 560 方差/cm2 3.5 3.5 15.5 16.5 2.有三组数据,每组5个数据的大小如图所示: (1)根据图示,直观比较三组数据的波动大小. (2)分别计算三组数据的平均数和方差. (3)结合这三组数据,说明方差的大小与数据的波动大小的关系. 解:(1)直观比较,第一组数据没有波动,第二组波动最大,第三组数据波动较小. (2)如下表. 数据组 平均数 方差 (1) 4 0 (2) 4 2 (3) 4 0.8 (3)当平均数相等时,方差大,数据的波动也大,方差小,数据的波动也小,方差为0时,数据没有波动. 设计意图:通过练习,加强对方差公式的理解与记忆,并能根据图示,初步判断数据的波动大小. 课堂8分钟. 1.教材第21页习题A组第2题,习题B组题. 2.七彩作业. 第1课时　方差的计算 　 定义: 设n个数据x1,…,xn的平均数为,各个数据与平均数偏差的平方分别是,,…,.偏差平方的平均数叫做这组数据的方差,用s2表示,即 s2=. 教学反思   第2课时　方差在实际问题中的应用 课时目标 1.能计算一组数据的方差,并会用方差分析数据的离散程度. 2.学会从实际问题中提取信息,用合适的统计量去分析数据,解决问题. 3.学生通过独立思考,提出解决问题的设想和策略,能够合理的解决问题,提高决策能力. 学习重点 能准确计算一组数据的方差,会用方差分析数据的离散程度. 学习难点 在实际问题中进一步理解方差的意义,体会方差的作用,体会统计的决策作用. 课时活动设计 回顾引入 在上节课,我们学习了方差的定义,并学会了如何求一组数据的方差,下面谁能说一下方差的定义以及意义呢? s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2] 方差是用来衡量一组数据的波动大小的数据(即这组数据偏离平均数的大小). 方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小. 在本节课的学习中,我们将进一步用方差解决具体的实际问题. 设计意图:回忆之前所学,学生能够说出方差的定义以及意义. 新知探究 张老师乘公交车上班,从家到学校有A,B两条路线可选择,他做了一番试验.第一周(5个工作日)选择A路线,第二周(5个工作日)选择B路线,每天两趟,记录所用时间如下表: 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A线路所用时间/min 35 52 35 36 54 38 41 34 55 40 B路线所用时间/min 45 49 44 45 47 46 50 48 50 46 　 根据上表数据绘制的折线统计图如图所示. (1)从图形看,哪条线路平均用时少,哪条路线用时的波动大? (2)用计算器分别计算选择A,B两条路线所用时间的平均数和方差. (3)如果某天上班可用时间只有40 min,应选择走哪条路线? (4)如果某天上班可用时间为50 min,应选择走哪条路线? 分组讨论:观察统计图表,先独立思考,再组内交流. 在学生充分讨论的基础上,学生展示,师生共同归纳. 分析:从直观上看,A路线平均用时少,但用时的波动较大,说明A路线通行不顺畅.B路线的平均用时较多,但用时比较稳定,可能B路线较长,但通行较顺畅. 当上班可用时间只有40 min时,应选择走A路线,因为在10次记录中,B路线所用时都超过40 min,而A路线有6次用时不超过40 min,当上班可用时间为50 min时,应选择走B路线. 解:(1)A路线的平均用时少,波动大. (2)=42,=63.2,=47,=4.2. (3)选择A路线. (4)选择B路线. 思考:解决实际问题的过程是什么? 解:(1)收集数据;(2)用统计图表示数据特征;(3)分析数据,并定量比较数据;(4)进行决策. 典例精讲 例　测试甲、乙两个品牌的手表各50只,根据日走时误差数据绘制的统计图如图所示,从日走时误差角度分析这两个品牌手表的优劣. 教师提出问题: (1)你会想到用哪个统计量去做比较?平均数越大越好吗? (2)平均数相同的情况下,我们还可以通过什么统计量来比较甲、乙两个品牌手表日走时误差的优劣? (3)观察两种手表日走时误差的分布范围,你有什么发现?你能通过图示,说明两种手表的方差的大小吗? (4)若规定日走时误差的绝对值不超过1 s为优秀,判断甲、乙的优劣. 解:(1)平均数是首选,因为平均数代表的是平均水平. 由于我们考察的数据是手表日走时误差,所以平均数与0越接近,说明误差越小,质量越好. 计算甲、乙两品牌手表日走时误差的平均数: =×=0, =×=0. 通过计算,我们会发现两个品牌的平均数相同,所以单从平均数角度已无法判断甲、乙的优劣. (2)由甲、乙两个品牌手表的日走时误差的平均数均为0,则需要计算并比较甲、乙方差的大小. =×=1.2, =×[(-3)2×2+(-2)2×6+(-1)2×11+02×14+12×8+22×6+32×3]=2.24. 由于<,所以从日走时误差方差的的角度看,甲品牌优于乙品牌. 学生独立完成计算平均数,发现平均数相同后,便会感受到本题中只有平均数已不能比较两种手表的好坏,此时,分组讨论,思考新的办法判断甲、乙的优劣,即用方差比较两种手表的好坏. (3)甲品牌的误差分布范围在-2到2之间,乙品牌的误差范围在-3到3之间,甲品牌的误差范围较小,所以甲品牌手表优于乙品牌手表. (4)甲的优秀率为(11+17+13)÷50×100%=82%, 乙的优秀率为(11+14+8)÷50×100%=66%. ∵82%>66%, ∴甲品牌优于乙品牌. 设计意图:通过解决实际问题,让学生进行充分的讨论,发展学生解决问题的能力,进一步理解方差的意义,体会方差的作用. 扩展应用 例　现有两组数据如下: A:300　400　500　600　700　800　900 B:570　580　590　600　610　620　630 这两组数据的平均数都是600,那么,平均数对哪一组数据的代表性较好呢?请用平均数和方差进行分析. 解:平均数对B组数据的代表性较好. 由于A,B两组数据的平均数都是600,方差分别为=4 0000,=400. 一组数据的方差较大时,平均数对数据的代表性较差.方差较小时,平均数对数据的代表性较好. 设计意图:通过练习,使学生再次体会,当一组数据的方差较大的时候,其平均数对数据的代表性变差. 巩固训练 1.甲、乙两名学生参加学校组织的100米短跑训练,教练把同一时间段内两人各10次的测试成绩用折线图来表示,如下图. 计算得=13.22,=0.224;=13.22,=0.064. (1)请你根据图形及平均数和方差对甲、乙的训练成绩作出评价. (2)如果要选出一人参加市中学生运动会100米比赛,你认为应该选择谁?简述你的理由. 解:(1)从图形看,前5次测试中,乙的成绩比甲好,但后5次测试,甲的成绩都比乙好,反映甲的进步比较明显.甲、乙的平均成绩相同,乙的测试成绩的方差小,反映乙的成绩整体有进步,但进步不如甲明显. (2)无论从进步的趋势看还是从最好成绩看都应该选择甲. 2.某篮球队对运动员进行3分球投篮成绩测试,每人每天投3分球10次,对甲、乙两名队员在五天中进球的个数统计结果如下: 队员 每人每天进球数 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 甲 10 6 10 6 8 乙 7 9 7 8 9 经过计算,甲进球的平均数为=8,方差为=3.2. (1)求乙进球的平均数和方差. (2)现在需要根据以上结果,从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛,你认为应该选哪名队员去?为什么? 解:(1)乙进球的平均数为==8, 方差为==0.8. (2)我认为应该选乙队员去参加3分球投篮大赛. 因为甲乙的平均成绩一样,=3.2,=0.8, >,所以说明乙队员进球数更稳定. 课堂8分钟. 1.教材第24页习题A组第1题,习题B组第1题. 2.七彩作业. 第2课时　方差在实际问题中的应用 方差的意义: 1.方差用来衡量一组数据的波动大小(即这组数据偏离平均数的大小). 2.方差越大,数据的波动越大; 3.方差越小,数据的波动越小. 例2: 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$