23.2 中位数和众数-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（冀教版）河北专版

第1课时　中位数和众数的认识 课时目标 1.理解中位数、众数的概念和意义,会求一组数据的中位数和众数. 2.会利用平均数、中位数、众数作为数据的代表值,对数据进行分析,选择恰当的数据代表值描述一组数据的特征,进而做出自己的判断,并在具体问题情境中加以应用. 3.培养学生互相交流的能力,增强学生的数学应用意识. 学习重点 中位数、众数的概念和意义,会求一组数据的中位数和众数. 学习难点 选择恰当的数据代表值描述数据的特征. 课时活动设计 回顾引入 在前边的学习中,我们知道平均数可作为一组数据的代表值,但是有的时候,用平均数作为一组数据的代表值也会存在局限性,这个时候我们就需要引入新的数据作为一组数据的代表值,这就是本节课我们要学习的中位数和众数. 设计意图:开门点题,让学生知道本节课的学习重点. 探究新知 探究一 小琴的英语听力成绩一直很好,在六次测试中,前五次的得分(满分30分)分别为:28分,25分,27分,28分,30分.第六次测试时,因耳机出现故障只得了6分.如何评价小琴英语听力的实际水平呢? (1)用6个分数的平均数评价小琴英语听力的实际水平合理吗? (2)如果不合理,那么应该用哪个数作为评价结果呢? 学生分组讨论:先独立思考,再组内交流. 在学生充分讨论的基础上,学生展示,师生共同归纳. 分析:一组数据中,任何一个数的变动都会引起平均数的变动.当数据中有异常值(与其他数据的大小差异很大的数)时,平均数就不是一个好的代表值了. 解:(1)由于数据中出现了异常值,此时,平均数不能很好地反映听力的实际水平. (2)方法不唯一.如 方法一:去掉一个最高分30分,去掉一个最低分6分,得到一组新的数据:28分,25分,27分,28分,取这组数据的平均数(28+25+27+28)÷4=27(分)作为评价结果,比较合理. 方法二:如果将这6个数有小到大排列为6,25,27,28,28,30,去(27+28)÷2=27.5(分)作为评价结果,也比较合理. 总结概念 一般地,将n个数据按大小顺序排序,如果n为奇数,那么把处于中间位置的数据叫做这组数据的中位数;如果n为偶数,那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数. 如图所示,图1中5个数据的中位数为x3,图2中6个数据的中位数为(x3+x4). 图1　　　　　　图2 归纳:求中位数的一般步骤:(1)排序;(2)判断数据个数;(3)按定义求解. 设计意图:通过实际问题,使学生认识到当数据中存在极端异常值或者数据的波动较大的时候,平均数的代表性就会变差,给学生独立思考和交流的时间,让学生发表各自的观点,体会中位数出现的必要性,从而引起中位数的概念. 探究二 某班用无记名投票的方式选班长,5名候选人分别编为1号,2号,3号,4号,5号.投票结果如下表: 候选人 1号 2号 3号 4号 5号 合计 票数 7 18 10 9 6 50 思考1:在这个问题中, (1)我们会关注这组数据的平均数吗? (2)我们会关注这组数据的中位数吗? (3)我们最关注的应该是什么? 学生分组讨论:先独立思考,再组内交流. 在学生充分讨论的基础上,学生展示,师生共同归纳. 解:(1)不会. (2)不会. (3)出现次数最多的那个数据. 总结概念 一般地,把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数. 思考2(可自主思考,也可小组之间探讨、交流): (1)一组数据中众数一定只有一个吗? (2)一组数据中一定会有众数吗? (3)若一组数据中有众数,众数一定是该组数据中的数吗? 解:(1)不一定. (2)不一定. (3)不一定. 归纳:一组数据的众数可能不止一个,也可能没有众数; 众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 设计意图:通过解决具体问题,揭示众数出现的必要性,总结出众数的概念;通过思考,让学生能够体会到,一组数据中,众数可能不止一个,也可能没有众数,同时众数可能是数值、数字、文字和字母等,一定注意众数是研究的原始数据(或者原始对象). 典例精讲 例　统计全班45名学生每天上学路上所用的时间.如果时间取最接近5的倍数的整数,那么整理后的数据如下表: 所用时间/min 5 10 15 20 25 30 合计 人数/名 2 6 14 12 8 3 45 求所用时间的平均数、中位数和众数. 解:45个数据的平均数为: =×(5×2+10×6+15×14+20×12+25×8+30×3)=18(min). 将这45个数据由小到大排列,第23个数据是20 min,所以中位数是20 min. 所用时间出现最多的是15 min,所以众数是15 min. 设计意图:通过例题,学生能够熟悉求平均数、中位数和众数的方法,并进行比较. 巩固训练 1.学校团委组织“阳光助残”捐款活动,九年一班学生捐款情况如下表: 捐款金额/元 5 10 20 50 人数/人 10 13 12 15 则学生捐款金额的中位数是(　D　) A.13人　　　　B.12人　　　　C.10元　　　　D. 20元 2.11名同学参加数学竞赛初赛,他们的得分互不相同,按从高分录到低分的原则,取前6名同学参加复赛,现在小明同学已经知道自己的分数,如果他想知道自己能否进入复赛,那么还需知道所有参赛学生成绩的(　B　) A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 3.某校女子排球队12名队员的年龄分布如下表所示: 年龄(岁) 13 14 15 16 人数(人) 1 2 5 4 则该校女子排球队12名队员年龄的众数、中位数分别是(　C　) A.13岁,14岁 B.14岁,15岁 C.15岁,15岁 D.15岁,14岁 4.某中学由6名师生组成一个排球队,他们的年龄(单位:岁)如下: 15　16　17　17　17　40 (1)这组数据的平均数为20.33岁,中位数为17岁,众数为17岁. (2)用哪个值作为他们年龄的代表值较好? 解:用中位数或众数作为年龄的代表值比平均数好. 5.(1)数据3,5,3,5,3,6,5,7中,众数是　3　和　5　.  (2)数据3,4,6,5,7,8,9,2中,存在众数吗?为什么? 解:该组数据中每个数据各出现一次,所以这组数据没有众数. 设计意图:通过练习,巩固求平均数、中位数和众数的方法. 课堂8分钟. 1.教材第15页习题A组第1,2题,习题B组第2题. 2.七彩作业. 第1课时　中位数和众数 　　　　一、定义: 中位数:一般地,将n个数据按大小顺序排列,如果n为奇数,那么把处于中间位置的数据叫做这组数据的中位数;如果n为偶数,那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数. 如图所示,图1中5个数据的中位数为x3,图2中6个数据的中位数为(x3+x4) 图1　　　图2 众数:一般地,把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数. 二、中位数求解的一般步骤: (1)排序;(2)判断数据个数;(3)按定义求解. 例: 教学反思 第2课时　“三数”的综合应用 课时目标 1.进一步体会平均数、中位数和众数都可以反映一组数据的集中趋势. 2.会利用平均数、中位数和众数作为数据的代表值,对数据进行分析,选择恰当的数据代表值对数据作出自己的判断,并在具体问题情境中加以应用. 3.培养学生互相交流的能力,增强学生的数学应用意识. 学习重点 平均数、中位数、众数的概念和意义,会求一组数据的平均数、中位数和众数. 学习难点 选择恰当的数据代表值描述数据的特征. 课时活动设计 情境引入 前面我们学习了三个重要的统计量:平均数、中位数和众数,一起来思考下列问题: 有6户家庭的年收入(单位:万元)分别为:4,5,5,6,7,50.你认为这6户家庭的年收入水平大概是多少? 学生讨论,交流. 解:(1)用平均数估计:=≈12.83(万元); (2)用中位数估计:中位数==5.5(万元); (3)用众数估计:众数=5万元. 教师:用哪一个统计量来反映6户家庭的年收入水平呢?这就是这节课要学习的内容. 设计意图:开门点题,引出本节课所学——选择合适的数据代表值描述数据的特征. 探究新知 某公司销售部统计了14名销售人员6月份销售某商品的数量,结果如下表: 6月份销量/件 1 500 1 360 500 460 400 人数/名 1 1 5 4 3 (1)求销量的平均数、中位数和众数. 学生分组讨论:先独立思考,再组内交流. 在学生充分讨论的基础上,学生展示,师生共同归纳. 解:(1)平均数:==600(件). 由表可知, 一共有14名销售人员,排第7和第8的分别销售500件和460件, 所以中位数为=480(件). 由表格看出销售500件的人数最多,所以众数为500件. (2)公司在制订销售人员月销量定额时,有以下三种观点: 观点一:平均数是数据的代表值,应该用平均数作为销量定额; 观点二:只有两人的销量超过平均数,应该用中位数作为销量定额; 观点三:众数出现的次数最多,应该用众数作为销量定额; 你认为哪种观点比较合理些? 解:在这个具体的问题中,由于有两个异常大的数据会使得平均数偏大,若用平均数600件作为定额,根据过去的销售情况,则只有两个人能够完成定额,显然不合适,用中位数480件或者众数500件作为定额比较合理,约有半数员工能够完成定额.因此,观点二、三比较合理. 归纳:对于大多数实际问题,如果数据分布比较正常(没有异常数据),平均数是一个较好的代表值.例如,在考虑农作物产量时,知道平均产量就可以知道总产量;对某企业员工的工资情况调查,知道平均工资就知道工资总额.但平均数易受异常值的情况,当数据中有异常值时,平均数的代表性变差.当我们描述“中间位置”或“中等水平”时,可以选择中位数,中位数受异常值的影响较小. 设计意图:通过实际问题,让学生计算平均数、中位数和众数,以巩固学生对平均数、中位数和众数的计算方法,并结合问题的实际背景和数据特点展开讨论,能够选择合适的数据代表值描述数据特征;教师总结,加深学生选择合适的数据代表值去描述数据特征的合理性. 典例精讲 例　某企业50名职工的月工资分为5个档次,分布情况如下表: 月工资额/元 2 500 3 000 3 500 4 000 4 500 人数/名 6 12 18 10 4 　(1)求月工资的平均数和中位数. (2)企业经理关心哪个数?普通职工关心哪个数? 解:(1)月工资的平均数为: ×(2 500×6+3 000×12+3 500×18+4 000×10+4 500×4)=3 440(元). 50个数由小到大排列,最中间的两个数均为3 500,所以中位数为3 500. (2)企业经理关心平均工资,知道平均工资就知道了工资总额.普通职工关心中位数,知道了中位数,就知道自己工资水平大概的位置. 设计意图:通过例题的教学,让学生在不同的背景、不同的角度下,体会平均数和中位数的意义和作用. 巩固训练 1.九年级一班和二班每班选8名同学进行投篮比赛,每名同学投篮10次,对每名同学投中的次数进行统计,甲说:“一班同学投中次数为6个的最多”,乙说:“二班同学投中次数大约每个同学3个.”上面两名同学的议论分别反映出的统计量是(　A　) A.众数和平均数　　　　　　B.众数和中位数 C.中位数和平均数 D.中位数和众数 2.在奥运会男子50 m步枪射击决赛中,某著名选手10次射击的成绩(单位:环)为: 9.4　10.4　9.3　10.4　9.5　10.1　9.9　9.4　10.0　0 其中第10次射击意外地射向别人的靶子,痛失金牌. (1)分别求这组数据的平均数和中位数. (2)平均数、中位数哪个更能反映这名选手的真实射击水平? 解:(1)这组数据的平均数为×(9.4+10.4+9.3+10.4+9.5+10.1+9.9+9.4+10.0+0)=8.84(环), 10次射击成绩重新排列为0,9.3,9.4,9.4,9.5,9.9,10.0,10.1,10.4,10.4, 所以这组数据的中位数为=9.7(环). (2)中位数更能反映这名选手的真实射击水平. 设计意图:通过练习,学生能够选择合适的数据代表值去描述数据的特征. 课堂小结 思考:用平均数、中位数和众数描述一组数据的“集中趋势”,各有哪些优缺点呢? 总结:平均数计算要用到所有的数据,任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动,它能够充分利用所有的数据信息,但它受极端值的影响较大. 众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时,人们往往关心的一个量,众数不受极端值的影响,这是它的一个优势,缺点是当众数有多个且众数的频数相对较小时可靠性小,局限性大. 数仅与数据的排列位置有关,不易受极端值影响,中位数可能出现在所给数据中,也可能不在所给的数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其趋势,中位数的计算很少. 设计意图:通过思考,鼓励学生能够列举出更多的实际例子,并结合不同问题的背景、目的和任务说明平均数、中位数和众数的优缺点. 课堂8分钟. 1.教材第17页练习,习题A组第2题,习题B组第2题. 2.七彩作业. 第2课时　“三数”的综合应用 　　　　例: 平均数、中位数和众数的优缺点: 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$