2. 第24章 一元二次方程 适应性评估卷-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（冀教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 冀教版 2 第二十四章适应性评估卷 一、选择题(共12题.每题3分，共36分) 1. 一元二次方程 x2＝3 x －4的二次项系数，一次项系数，常数项分别是 (　C　) A. 0，3，－4 B. 1，3，－4 C. 1，－3，4 D. 0，－3，4 【解析】 x2＝3 x －4，变形为 x2－3 x ＋4＝0. ∴二次项系数，一次项系数，常数项分别是1，－3，4. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 2. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－2 x ＋ a2－9＝0的一个根是0，则 a 的 值是(　D　) A. 4 B. 3 C. －3 D. 3或－3 【解析】把 x ＝0代入方程 x2－2 x ＋ a2－9＝0，得 a2－9＝0，∴ a ＝±3. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 3. 若关于 x 的方程( m －2) x｜ m｜＋8 x ＋2 m ＝0是一元二次方程，则 m 的 值是(　B　) A. 2 B. －2 C. ±2 D. 0 【解析】∵关于 x 的方程( m －2) x｜ m｜＋8 x ＋2 m ＝0是一元二次方程， ∴｜ m ｜＝2且 m －2≠0，解得 m ＝－2. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 4. 若关于 x 的一元二次方程 kx2－2 x ＋3＝0有两个实数根，则 k 的取值 范围是(　D　) A. k ＜ B. k ≤ C. k ＜ 且 k ≠0 D. k ≤ 且 k ≠0 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 【解析】∵关于x的一元二次方程kx2－2x＋3＝0， ∴k≠0. ∵方程有两个实数根， ∴Δ＝(－2)2－4k×3≥0，解得k≤. ∴k的取值范围是k≤且k≠0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 5. 一元二次方程 x2＋1＝0的根是(　D　) A. x1＝ x2＝1 B. x1＝ x2＝－1 C. x1＝－1， x2＝1 D. 没有实数根 【解析】 x2＋1＝0. ∵ a ＝1， b ＝0， c ＝1， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝02－4×1×1＝－4＜0， 故一元二次方程 x2＋1＝0没有实数根. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 6. 某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出 300件.经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件.若商场想每天获得3 750元利润，设每件玩具涨 x 元，可列方程为(30＋ x －20)(300－10 x )＝3 750.对所列方程中出现的代数式，下列说法错误的是(　D　) D A. (30＋ x )表示涨价后玩具的单价 B. 10 x 表示涨价后少售出玩具的数量 C. (300－10 x )表示涨价后销售玩具的数量 D. (30＋ x －20)表示涨价后的每件玩具的单价 【解析】D. ∵(30＋ x －20)表示涨价后的每件玩具的利润，∴D选项错 误，符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 7. 若关于 x 的一元二次方程 x2＋( k －2) x －1＝0的两个实数根互为相反 数，则 k 的值为(　B　) A. ±2 B. 2 C. －2 D. 不能确定 【解析】方程 x2＋( k －2) x －1＝0的两个实数根互为相反数. 设两个根为 x1， x2，则 x1＋ x2＝－( k －2)＝2－ k ＝0， ∴ k ＝2. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 8. 用配方法解一元二次方程 x2－8 x ＋1＝0，将其化成( x ＋ a )2＝ b 的形 式，则变形正确的是(　D　) A. ( x ＋4)2＝15 B. ( x －4)2＝17 C. ( x －8)2＝15 D. ( x －4)2＝15 【解析】 x2－8 x ＋1＝0. 移项，得 x2－8 x ＝－1. 配方，得 x2－8 x ＋16＝－1＋16. ( x －4)2＝15. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 9. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1 000 万元.如果平均每月增长率为 x ，则由题意列方程应为(　D　) A. 200(1＋ x )2＝1 000 B. 200＋200×2 x ＝1 000 C. 200(1＋ x )＋200(1＋ x )2＝1 000 D. 200＋200(1＋ x )＋200(1＋ x )2＝1 000 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 【解析】∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为 x ， ∴二月份的营业额为200×(1＋ x )， 三月份的营业额为200×(1＋ x )×(1＋ x )＝200×(1＋ x )2. ∴可列方程200＋200×(1＋ x )＋200×(1＋ x )2＝1 000， 即200＋200(1＋ x )＋200(1＋ x )2＝1 000. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 10. 已知关于 x 的一元二次方程( a ＋1) x2＋2 bx ＋( a ＋1)＝0有两个相等 的实数根，则下面说法正确的是(　C　) A. 1一定不是方程 x2＋ bx ＋ a ＝0的根 B. 0一定不是方程 x2＋ bx ＋ a ＝0的根 C. －1可能是方程 x2＋ bx ＋ a ＝0的根 D. 1和－1都是方程 x2＋ bx ＋ a ＝0的根 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 【解析】∵关于 x 的一元二次方程( a ＋1) x2＋2 bx ＋( a ＋1)＝0有两个相 等的实数根， ∴ ∴ b ＝ a ＋1或 b ＝－( a ＋1). 当 b ＝ a ＋1时，有 a － b ＋1＝0，此时－1是方程 x2＋ bx ＋ a ＝0的根； 当 b ＝－( a ＋1)时，有 a ＋ b ＋1＝0，此时1是方程 x2＋ bx ＋ a ＝0的根. ∵ a ＋1≠0， ∴ a ＋1≠－( a ＋1). ∴1和－1不都是关于 x 的方程 x2＋ bx ＋ a ＝0的根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 11. 对于两个不相等的实数 a ， b ，我们规定符号max{ a ， b }表示 a ， b 中的较大的数，如：max{2，4}＝4，按照这个规定，方程max{ x ，－ x }＝ x2－ x －1的解为(　D　) A. 1＋ 或1－ B. 1或－1 C. 1－ 或1 D. 1＋ 或－1 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 【解析】①当x≥－x，即x≥0时， ∵max{x，－x}＝x2－x－1， ∴x＝x2－x－1， 解得x1＝1＋，x2＝1－(舍去)； ②当－x＞x，即x＜0时，－x＝x2－x－1， 解得x1＝－1，x2＝1(舍去)， 即方程max{x，－x}＝x2－x－1的解为1＋或－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 12. [2023·石家庄赵县期中]我国古代数学家研究过一元二次方程的正数 解的几何解法.以方程 x2＋2 x －35＝0，即 x ( x ＋2)＝35为例加以说明， 三国时期的数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中 记载的方法：构造如图中大正方形的面积是( x ＋ x ＋2)2，同时它又等于 四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35＋22，据此易得 x ＝ 5.小刚用此方法解关于 x 的方程 x2＋ mx － n ＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为81，小正方形的面积为25，则关于 x 的方程 x2＋ mx － n ＝0的正数解为(　D　) D A. x ＝7 B. x ＝5 C. x ＝3 D. x ＝2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 【解析】设矩形的宽为 x ，长为 x ＋ a ， ∵大正方形的面积为81，小正方形的面积为25， ∴( x ＋ x ＋ a )2＝81， a2＝25. 解得 a ＝5.代入( x ＋ x ＋ a )2＝81，解得 x ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 二、填空题(共4题.每题3分，共12分) 13. 请在横线上写一个常数，使得关于 x 的方程 x2－6 x ＋ ＝0有两 个相等的实数根. 【解析】 a ＝1， b ＝－6. ∵Δ＝ b2－4 ac ＝(－6)2－4×1× c ＝0， ∴ c ＝9. 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 14. 三角形两边长分别为2和4，第三边是方程 x2－6 x ＋8＝0的解，则这 个三角形的周长是 ⁠. 【解析】 x2－6 x ＋8＝0， 解得 x ＝2或 x ＝4. ∵4－2＜ x ＜4＋2，即2＜ x ＜6. ∴ x ＝4. ∴这个三角形的周长为2＋4＋4＝10. 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 15. 若 x ＝3是关于 x 的方程 ax2－ bx ＝6的解，则2 023－6 a ＋2 b 的值 为 ⁠. 【解析】把 x ＝3代入方程，得9 a －3 b ＝6，即3 a － b ＝2， ∴2 023－6 a ＋2 b ＝2 023－2(3 a － b )＝2 023－2×2＝2 019. 2 019　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 16. 一款衬衫每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为 了扩大销售量，增加利润，商店决定降价销售，经市场调查发现，如果 每件衬衫每降价1元，那么平均每天可多售出2件.每件衬衫降价 ⁠ 元时，平均每天盈利1 200元. 【解析】设每件衬衫降价 x 元， 根据题意，得(20＋2 x )·(120－80－ x )＝1 200. 解得 x1＝20， x2＝10. ∵为了扩大销售量，增加利润，∴ x ＝20. 20　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 三、解答题(共52分) 17. (16分)用适当的方法解下列方程： (1)( x －1)2－3＝0； (2) x ( x －2)＝8； 解：(1)(x－1)2－3＝0，x－1＝±，x1＝1＋，x2＝1－. (2)x(x－2)＝8，x2－2x＝8，(x－1)2＝9，x－1＝±3，x1＝－2，x2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 解： (3)2x2＋1＝3x，2x2－3x＝－1，x2－x＝－， x2－2×x＋＝－＋，∴＝.∴x－＝±. ∴x＝±.∴x1＝1，x2＝. (4)4(2x－3)2＝(3x－1)2， [2(2x－3)＋(3x－1)][2(2x－3)－(3x－1)]＝0，(7x－7)(x－5)＝0， ∴7x－7＝0或x－5＝0.∴x1＝1，x2＝5. (3)2 x2＋1＝3 x ； (4)4(2 x －3)2＝(3 x －1)2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 18. (6分)下面是小聪同学用配方法解方程2 x2＋4 x －1＝0的过程，请仔 细阅读后，解答下面的问题. 解：移项，得2x2＋4x＝1，① 二次项系数化为1，得x2＋2x＝，② 配方，得x2＋2x＋12＝，(x＋1)2＝，③ 由此可得x＋1＝±，④ x1＝－1＋，x2＝－1－.⑤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 (1)整个解答过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ⁠ ⁠ ； ③　 右边没有 加上1　 (2)用上述方法解方程2 x2－4 x －3＝0. 解：2x2－4x－3＝0. 移项，得2x2－4x＝3. 二次项系数化为1，得x2－2x＝. 配方，得x2－2x＋12＝＋12. 即(x－1)2＝. 由此可得x－1＝±. x1＝1－，x2＝1＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 19. (6分)在参加学校组织的毕业典礼后，数学社团中的每两个九年级同 学之间都通过握手来告别，如果社团中所有九年级学生一共握手55次， 那么该校数学社团共有多少名九年级学生？ 解：设该校数学社团共有 x 名九年级学生. 由题意，得 x ( x －1)＝55. 整理，得 x2－ x －110＝0. 解得 x1＝11， x2＝－10(不符合题意，舍去). 答：该校数学社团共有11名九年级学生. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 20. (7分)园林部门计划在某公园建一个长方形花圃ABCD，花圃的一面靠墙(墙足够长)，另外三边用木栏围成，如图1所示BC＝2AB，建成后所用木栏总长120 m，在总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路，如图2，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1 728 m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 (1)求长方形 ABCD 花圃的长和宽； 解：(1)设 AB ＝ x m， ∴ BC ＝2 AB ＝2 x m. 根据题意，得2 x ＋ x ＋ x ＝120， 解得 x ＝30. ∴ AB ＝30 m， BC ＝60 m. 答：长方形 ABCD 花圃的长为60m，宽为30 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 (2)求出网红打卡点的面积. 解：设网红打卡点的边长为y m. 根据题意，得(60－y)·y＋y2 ＝60×30－1 728. 解得y1＝4，y2＝－24(舍去). ∴网红打卡点的面积为4×4＝16(m2). 答：网红打卡点的面积为16 m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 21. (8分)某电子器件厂生产一种电脑显卡，2022年该类电脑显卡的出厂 价是200元/个，2023年，2024年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技 术，降低成本，2024年该电脑显卡的出厂价调整为162元/件. (1)这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的 百分率； 解：(1)设平均每年下降的百分率为 x . 依题意，得200(1－ x )2＝162， 解得 x1＝0.1＝10％， x2＝1.9(不合题意，舍去). 答：平均每年下降的百分率为10％. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 (2)2024年某电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售 时，平均每天可销售20个.为了尽快减少库存，商场决定降价销售.经调 查发现，单价每降低1元，每天可多售出2个，如果每天盈利1 150元， 单价应降低多少元？ 解：(2)设单价应降低 m 元，则每个的销售利润为(200－ m －162)＝(38 － m )元，每天可售出(20＋2 m )个. 依题意，得(38－ m )(20＋2 m )＝1 150， 解得 m1＝15， m2＝13. ∵为了减少库存，∴ m ＝15. 答：单价应降低15元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 22. (9分)如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝16 cm， BC ＝6 cm，动点 P ， Q 分别以3 cm/s，2 cm/s的速度从点 A ， C 同时出发，沿规定路线移动. (1)如图1，若点 P 从点 A 移动到点 B 停止，点 Q 随点 P 的停止而停止移 动，问经过多长时间 P ， Q 两点之间的距离是10 cm？ 解：(1)如答图1，过点 P 作 PE ⊥ CD 于点 E ， 设经过x s后，点P和点Q的距离是10 cm. (16－2x－3x)2＋62＝102，∴x1＝，x2＝. ∴经过 s 或 s，P，Q两点之间的距离是10 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 (2)如图2，若点 P 沿着 AB → BC → CD 移动，点 Q 从点 C 移动到点 D 停 止时，点 P 随点 Q 的停止而停止移动，试探求经过多长时间△ PBQ 的 面积为12 cm2？ 解：(2)设经过y s后，△PBQ的面积为12 cm2. ①如答图2，当0≤y≤时，PB＝16－3y， ∴PB·BC＝12，即×(16－3y)×6＝12， 解得y＝4； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 ②如答图3，AB＋BC＝22，当≤y≤时，BP＝3y－16，CQ＝2y， 则BP·CQ＝(3y－16)×2y＝12，解得y1＝6，y2＝－(舍去)； ③如答图4，＜y≤8时，PC＝3y－22， QP＝CQ－PC＝2y－(3y－22)＝22－y， 则QP·BC＝(22－y)×6＝12， 解得y＝18(舍去). 综上所述，经过4 s或6 s，△PBQ的面积为12 cm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 第二十四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 $$