第26章 微探究小专题7 锐角三角函数值的求法 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（冀教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 冀教版 2 第二十六章　解直角三角形 微探究小专题7　 锐角三角函数值的求法 类型1　运用定义求锐角三角函数值 1. 如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， AB ＝13， BC ＝5，则 sin A 的值是 (　C　) A. B. C. D. 【解析】∵∠ C ＝90°， AB ＝13， BC ＝5， ∴ sin A ＝ ＝ . C 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题7　锐角三角函数值的求法 2. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝15， BC ＝12. (1)求 AB 的长； 解：(1)由勾股定理，得 AB ＝ ＝ ＝ ＝3 . (2)求 sin A ， cos A 的值； 解：(2)在Rt△ ABC 中， sin A ＝ ＝ ＝ ， cos A ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题7　锐角三角函数值的求法 (3)求 sin 2 A ＋ cos 2 A 的值； 解：(3) sin 2 A ＋ cos 2 A ＝ ＋ ＝1. (4)比较 sin A ， cos B 的大小. 解：(4)∵ sin A ＝ ， cos B ＝ ，∴ sin A ＝ cos B . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题7　锐角三角函数值的求法 类型2　运用参数法求锐角三角函数值 3. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，若 cos A ＝ ，则tan A 的值为(　A　) A. 2 B. C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题7　锐角三角函数值的求法 【解析】如图，根据题意，得 cos A ＝ ＝ ， 设 AC ＝ k ，则 AB ＝3 k . 在Rt△ ABC 中， BC ＝ ＝ ＝2 k . ∴tan A ＝ ＝ ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题7　锐角三角函数值的求法 4. 如图，在菱形 ABCD 中， DE ⊥ AB 于点 E ， cos A ＝ ，则tan∠ DBE 的值是(　A　) A. 2 B. C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题7　锐角三角函数值的求法 【解析】∵ DE ⊥ AB ，∴∠ AED ＝90°. ∵ cos A ＝ ＝ ， ∴可设 AE ＝3 k ， AD ＝ AB ＝5 k . ∴ BE ＝ AB － AE ＝5 k －3 k ＝2 k . 在Rt△ AED 中， DE ＝ ＝ ＝4 k . ∴tan∠ DBE ＝ ＝ ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题7　锐角三角函数值的求法 5. 如图，在正方形 ABCD 中， E 为 BC 的中点，点 F 在 CD 边上，且 CF ＝ CD ，求 sin ∠ EAF . 解：设正方形 ABCD 的边长为4 a ( a ＞0). ∵ E 是 BC 的中点，∴ BE ＝ EC ＝2 a . ∵ CF ＝ CD ，∴ FC ＝ a .∴ DF ＝4 a － a ＝3 a . 在Rt△ ABE 中，由勾股定理，得 AE2＝ AB2＋ BE2＝(4 a )2＋(2 a )2＝20a2， 在Rt△ ECF 中，由勾股定理，得 EF2＝ CE2＋ CF2＝(2 a )2＋ a2＝5 a2， 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题7　锐角三角函数值的求法 在Rt△ ADF 中，由勾股定理， 得 AF2＝ AD2＋ DF2＝(4 a )2＋(3 a )2＝25a2， ∵ AE2＋ EF2＝25 a2， AF2＝25 a2，∴ AE2＋ EF2＝ AF2. ∴△ AEF 是直角三角形，且∠ AEF ＝90°. 由上可知 EF ＝ a ， AF ＝5 a ， ∴ sin ∠ EAF ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题7　锐角三角函数值的求法 类型3　利用等角转化求锐角三角函数值 6. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， CE 是斜边 AB 上的中线，过 点 E 作 EF ⊥ AB 交 AC 于点 F . 若 BC ＝4，△ AEF 的面积为5，则 sin ∠ CEF 的值为(　A　) A. B. C. D. 第6题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题7　锐角三角函数值的求法 【解析】如图，连接 BF . ∵ CE 是斜边 AB 上的中线， EF ⊥ AB ， ∴ EF 是 AB 的垂直平分线. ∴ BF ＝ AF ， S△ AFE ＝ S△ BFE ＝5，∠ FBA ＝∠ A . ∴ S△ AFB ＝10＝ AF · BC . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题7　锐角三角函数值的求法 ∵ BC ＝4， ∴ BF ＝ AF ＝5. 在Rt△ BCF 中， BC ＝4， BF ＝5， ∴ CF ＝ ＝ ＝3. ∵ CE ＝ AE ＝ BE ＝ AB ， ∴∠ A ＝∠ FBA ＝∠ ACE . 又∵∠ BCA ＝90°＝∠ BEF ， ∴∠ CBF ＝90°－∠ BFC ＝90°－2∠ A ， 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题7　锐角三角函数值的求法 ∠ CEF ＝90°－∠ BEC ＝90°－2∠ A . ∴∠ CEF ＝∠ FBC . ∴ sin ∠ CEF ＝ sin ∠ FBC ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题7　锐角三角函数值的求法 7. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点 A ， B ， C ， D 都在 这些小正方形的顶点上， AB ， CD 交于点 O ，则 cos ∠ AOD ＝(　D　) A. B. C. D. 第7题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题7　锐角三角函数值的求法 【解析】如图，连接 BE ， AE . 则 EB ＝ ＝ ， AB ＝ ＝ . ∵ CD ， BE ， AE 都是正方形的对角线， ∴∠ CDE ＝∠ BEF ＝∠ AEO ＝∠ BEO ＝45°. ∴ CD ∥ BE ，∠ AEB ＝∠ AEO ＋∠ BEO ＝90°. ∴∠ AOD ＝∠ ABE ，△ ABE 是直角三角形. ∴ cos ∠ AOD ＝ cos ∠ ABE ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题7　锐角三角函数值的求法 8. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ BAC ＝90°，点 F 在边 BC 上，且 sin ∠ FAC ＝ ， E 为 AC 上一点，且 AE ∶ EC ＝2∶1， EF ⊥ AF ，求tan∠ CFE . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题7　锐角三角函数值的求法 解：如图，过点 C 作 CH ⊥ AF 交 AF 的延长线于点 H . ∵ EF ⊥ AF ， sin ∠ FAC ＝ ，∴在Rt△ AEF 中， sin ∠ FAC ＝ ＝ . 设 EF ＝ k ，则 AE ＝3 k ， 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题7　锐角三角函数值的求法 ∴ AF ＝ ＝ ＝2 k . ∵ EF ⊥ AF ， CH ⊥ AF ，∴ EF ∥ CH . ∴ AF ∶ FH ＝ AE ∶ EC ＝2∶1，∠ CFE ＝∠ HCF . ∴2 k ∶ FH ＝2∶1，∴ FH ＝ k . ∴ AH ＝ AF ＋ FH ＝2 k ＋ k ＝3 k . ∵ EF ∥ CH ，∴△ AEF ∽△ ACH . ∴ AF ∶ AH ＝ EF ∶ CH . ∴2 k ∶3 k ＝ k ∶ CH . ∴ CH ＝1.5 k . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题7　锐角三角函数值的求法 在Rt△ CFH 中，tan∠ HCF ＝ ＝ ＝ ， ∴tan∠ CFE ＝tan∠ HCF ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题7　锐角三角函数值的求法 $$