第25章 微探究小专题6 相似三角形中的分类讨论问题 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（冀教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 冀教版 2 第二十五章　图形的相似 微探究小专题6　 相似三角形中的分类讨论问题 1. (2023·石家庄期末)如图，在直角坐标系中，已知点 A (2，0)， B (0， 4)，在 x 轴上找到点 C (1，0)，在 y 轴的正半轴上找到点 D ，使△ AOB 与△ DOC 相似，则点 D 的坐标是 ⁠. 或(0，2)　 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 【解析】若△ AOB ∽△ DOC ，则∠ B ＝∠ OCD ， ∴ ＝ ，即 ＝ . ∴ OD ＝ .∴ D ； 若△ AOB ∽△ COD ，则∠ B ＝∠ ODC ， ∴ ＝ ，即 ＝ .∴ OD ＝2.∴ D (0，2). 综上所述，点 D 的坐标是 或(0，2). 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 2. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝12 cm， BC ＝16 cm，动点 P 以2 cm/s 的速度从点 A 出发，沿 AC 向点 C 运动，同时动点 Q 以1 cm/s的速度从 点 C 出发.沿 CB 向点 B 运动，设 P ， Q 两点运动 t s(0＜ t ＜10)后，△ CQP (阴影部分)的面积为 S cm2. (1)当运动时间为多少秒时，△ CPQ 与△ ABC 相似？ 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 解：(1)在Rt△ ABC 中， AC ＝ ＝ ＝20(cm). ∵∠ PCQ ＝∠ ACB ，∴当∠ PQC ＝∠ B 时，△ CQP ∽△ CBA ， 则 ＝ ，即 ＝ ，解得 t ＝ ； 当∠ PQC ＝∠ BAC 时，△ CQP ∽△ CAB ， 则 ＝ ，即 ＝ ，解得 t ＝ . ∴当运动时间为 s或 s时，△ CPQ 与△ ABC 相似. 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 (2)在 P ， Q 两点运动过程中，四边形 ABQP 与△ CPQ 的面积能否相 等？若能，求出此时 t 的值；若不能，请说明理由. 解：(2)四边形 ABQP 与△ CPQ 的面积不能相等.理由 如下： 如图，作 PH ⊥ BC 于点 H ， 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 ∵∠ PHC ＝∠ ABC ＝90°，∠ PCH ＝∠ ACB ， ∴△ CPH ∽△ CAB . ∴ ＝ ，即 ＝ .∴ PH ＝ . 当四边形 ABQP 与△ CPQ 的面积相等时， S△ ABC ＝2 S△ CPQ ， ∴ ×12×16＝2× × t × . 整理，得 t2－10 t ＋80＝0. ∵Δ＝(－10)2－4×1×80＝－220＜0， ∴此方程无实数解. ∴四边形 ABQP 与△ CPQ 的面积不能相等. 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 3. 在△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， AB ＝3， BC ＝4. Q 是线段 AC 上的一个 动点，过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB (如图1)或线段 AB 的延长线(如图2) 于点 P ，连接 BQ . (1)当点 P 在线段 AB 上时，求证：△ AQP ∽△ ABC ； (1)证明：∵ PQ ⊥ AC ， ∴∠ AQP ＝90°＝∠ ABC . 又∵∠ A ＝∠ A ，∴△ AQP ∽△ ABC . 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 (2)当△ PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长. (2)解：在Rt△ ABC 中， AB ＝3， BC ＝4， ∴ AC ＝ ＝ ＝5. ①当点 P 在线段 AB 上时，如图1所示，则∠ QPB 为钝角，∴当△ PQB 为等腰三角形时， 只可能是 PB ＝ PQ . 由(1)，可知△ AQP ∽△ ABC ， 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 PB ＝ . ∴ AP ＝ AB － PB ＝3－ ＝ ； ②当点 P 在线段 AB 的延长线上时，如图2所示，则∠ QBP 为钝角，∴ 当△ PQB 为等腰三角形时，只可能是 PB ＝ BQ . ∴∠ BQP ＝∠ P . ∵ PQ ⊥ AC ，∴∠ AQP ＝90°. ∴∠ BQP ＋∠ AQB ＝90°，∠ A ＋∠ P ＝90°， ∴∠ AQB ＝∠ A . ∴ BQ ＝ AB . ∴ AB ＝ BP . ∴ AP ＝2 AB ＝2×3＝6. 综上所述，当△ PQB 为等腰三角形时， AP 的长为 或6. 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 4. 我们定义：连接凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的 “准中位线”. (1)概念理解：如图1，四边形 ABCD 中， F 为 CD 的中点，∠ ADB ＝ 90°， E 是 AB 边上一点，满足 DE ＝ AE ，试判断 EF 是否为四边形 ABCD 的“准中位线”，并说明理由. 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 解：(1) EF 是四边形 ABCD 的准中位线. 理由：∵ DE ＝ AE ，∴∠ EDA ＝∠ A . ∵∠ ADB ＝90°， ∴∠ EDA ＋∠ EDB ＝90°，∠ A ＋∠ ABD ＝90°， ∴∠ EDB ＝∠ ABD . ∴ DE ＝ BE . ∵ DE ＝ AE ，∴ AE ＝ BE . ∴ E 为 AB 的中点. 又∵ F 为 CD 的中点， ∴ EF 为四边形 ABCD 的准中位线. 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 (2)问题探究：如图2，△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝6， BC ＝8，动 点 E 以每秒1个单位的速度，从点 A 出发向点 C 运动，动点 F 以每秒6个 单位的速度，从点 C 出发沿射线 CB 运动，当点 E 运动至点 C 时，两点 同时停止运动. D 为线段 AB 上任意一点，连接并延长 CD ，射线 CD 与 点 A ， B ， E ， F 构成的四边形的两边分别相交于点 M ， N ，设运动时 间为 t (秒).问 t 为何值时， MN 为点 A ， B ， E ， F 构成的四边形的“准中位线”. 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 解：(2)当 MN 为点 A ， B ， F ， E 构成的四边形的准中位线时， ①如答图1，当点 F 在线段 BC 上时，0≤6 t ≤8，即0≤ t ≤ ，则需满足 EF ∥ AB 且 M ( D )为 AB 的中点， 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 t ＝ ； ②如答图2，当点 F 在 CB 的延长线上时， ＜ t ≤6时，需满足 BE ∥ AF 且 M 为 AF 的中点， 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 t ＝2或 t ＝4， 综上所述，当 t ＝ 或 t ＝2或 t ＝4时， MN 为点 A ， B ， E ， F 构成的 四边形的准中位线， 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 (3)应用拓展：如图3， EF 为四边形 ABCD 的“准中位线”， AB ＝ CD ，延长 FE 分别与 BA ， CD 的延长线交于点 M ， N ，请找出图中与∠ M 相 等的角并证明. 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 解：(3)∠ M ＝∠ CNF . 证明：如答图3，连接 BD ，取 BD 的中点 H ，连接 EH ， FH . ∵ E ， H 分别为 AD ， BD 的中点， ∴ EH ∥ AB ， EH ＝ AB . ∴∠ M ＝∠ HEF . ∵ F ， H 分别为 BC ， BD 的中点， 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 ∴ FH ∥ CD ， FH ＝ CD . ∴∠ CNF ＝∠ HFE . ∵ AB ＝ CD ，∴ HE ＝ HF . ∴∠ HEF ＝∠ HFE . ∴∠ M ＝∠ CNF . 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 5. 在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 是边 BC 的中点，以 D 为角的顶点作∠ MDN ＝∠ B ＝α.如图1，射线 DN 经过点 A ，射线 DM 交边 AC 于点 E . 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 (1)不添加辅助线，请直接写出图1中所有与△ ADE 相似的三角形； 解：(1)△ ABD ，△ ACD ，△ DCE 【解析】∵ AB ＝ AC ，∠ MDN ＝∠ B ＝α， ∴∠ B ＝∠ C ＝∠ MDN ＝α. 又∵ AB ＝ AC ， D 是边 BC 的中点，∴∠ BAD ＝∠ CAD . ∵∠ ADC ＝∠ B ＋∠ BAD ＝∠ MDN ＋∠ MDC ， ∴∠ BAD ＝∠ MDC ＝∠ CAD . ∴△ ADE ∽△ ABD ∽△ ACD ∽△ DCE . 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 (2)如图2，将∠ MDN 从图1中的位置开始，绕点 D 按逆时针方向旋转(旋 转角不大于α)，射线 DM ， DN 分别交 AC ， AB 于点 E ， F . ①求证：△ BFD ∽△ CDE ； ②如图3，若 AB ＝ AC ＝10， BC ＝16，在线段 AC 上有一点 P ，且 AP ＝3，若点 P 始终在∠ MDN 内(包括边界上)，求 AF 的取值范围； ③若α＝55°，直接写出旋转角为多少度时，△ BDF 与△ ABC 相似. 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 解：(2)①证明：∵∠ FDC 是△ BFD 的一个外角， ∴∠ FDC ＝∠ B ＋∠ BFD . ∵∠ FDC ＝∠ FDE ＋∠ CDE ，∠ FDE ＝∠ B ， ∴∠ BFD ＝∠ CDE . 又∵∠ B ＝∠ C ，∴△ BFD ∽△ CDE . ②解：如图1，初始位置时， AF ＝0.如图2，当射线 DM 过点 P (点 E 与 点 P 重合)时，由①知△ BFD ∽△ CDE ，∴ ＝ . 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 ∵ BC ＝16， D 为 BC 的中点，∴ BD ＝ CD ＝ BC ＝8.∴ ＝ ， 解得 AF ＝ . ∴ AF 的取值范围为0≤ AF ≤ . 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 ③ 20°或35° 【解析】∵ AB ＝ AC ，∴∠ B ＝∠ C ＝55°. ∴∠ BAC ＝180°－∠ B －∠ C ＝70°. ∵ D 是 BC 的中点， AB ＝ AC ，∴ AD ⊥ BC . 当△ BDF ∽△ BAC 时，∠ BDF ＝∠ BAC ＝70°，旋转角为90°－ 70°＝20°； 当△ BDF ∽△ BCA 时，∠ BDF ＝∠ C ＝55°，旋转角为90°－55°＝ 35°. 综上所述，当旋转角为20°或35°时，△ BDF 与△ ABC 相似. 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 思路点拨 　　(2)①根据三角形的外角性质可以得到∠ BFD ＝∠ CDE ，再根据∠ B ＝∠ C ，即可得到△ BFD ∽△ CDE ；②根据相似三角形的性质得到 ＝ ，即可求解；③分△ BDF ∽△ BAC 与△ BDF ∽△ BCA 两种情 况讨论. 1 2 3 4 5 微探究小专题6　相似三角形中的分类讨论问题 $$