第25章 微探究小专题5 证明比例式(等积式)的常用方法 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（冀教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 冀教版 2 第二十五章　图形的相似 微探究小专题5　 证明比例式(等积式)的常用方法 三点定形法 1. 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝∠ C ，点 P 从点 B 运动到点 C ，且∠ APD ＝∠ C . (1)求证： AB · CD ＝ CP · BP ； 1 2 3 4 5 6 7 8 (1)证明：∵∠ B ＝∠ C ，∠ APD ＝∠ C ，∴∠ B ＝∠ APD . ∵∠ APC ＝∠ APD ＋∠ DPC ，∠ APC ＝∠ B ＋∠ BAP ， ∴∠ DPC ＝∠ PAB . ∴△ ABP ∽△ PCD . ∴ ＝ .∴ AB · CD ＝ CP · BP . 微探究小专题5　证明比例式(等积式)的常用方法 (2)若 AB ＝6， BC ＝10，求点 P 到什么位置时， PD ∥ AB . (2)解：如答图，∵ PD ∥ AB ， ∴∠ BAP ＝∠ APD ＝∠ C . 又∵∠ B ＝∠ B ，∴△ BAP ∽△ BCA . ∴ ＝ . ∵ AB ＝6， BC ＝10，∴ ＝ . ∴ BP ＝ ，即当 BP ＝ 时， PD ∥ AB . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题5　证明比例式(等积式)的常用方法 2. 如图，△ ABC 与△ DEA 是两个全等的等腰直角三角形， ∠ BAC ＝∠ D ＝90°. (1)求证： AF2＝ FG · FC； (1)证明：∵△ ABC 与△ DEA 是两个全等的等腰直角三角形， ∠ BAC ＝∠ D ＝90°， ∴∠ C ＝∠ B ＝∠ DAE ＝∠ E ＝45°. ∵∠ AFG ＝∠ AFC ，∠ C ＝∠ FAG ＝45°， ∴△ FAG ∽△ FCA . ∴ ＝ .∴ AF2＝ CF · FG . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题5　证明比例式(等积式)的常用方法 (2)已知等腰直角三角形 ABC 的斜边长为4. ①求证：△ ACF ∽△ GBA ； ②求 BG · CF 的值. (2)①证明：∵∠ AFC ＝∠ B ＋∠ BAF ＝45°＋∠ BAF ， ∠ BAG ＝∠ FAG ＋∠ BAF ＝45°＋∠ BAF ，∴∠ AFC ＝ ∠ BAG . ∵∠ B ＝∠ C ， ∴△ ACF ∽△ GBA . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题5　证明比例式(等积式)的常用方法 ②解：∵△ ACF ∽△ GBA ，∴ ＝ . ∴ BG · CF ＝ AC · AB . ∵ BC ＝4，∵△ ABC 是等腰直角三角形， ∴ AC ＝ AB ， AB2＋ AC2＝ BC2. 由题意，知 BC ＝4，∴2 AB2＝42＝16. ∴ AB ＝2 (负值已舍去). ∴ AC ＝ AB ＝2 .∴ BG · CF ＝2 ×2 ＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题5　证明比例式(等积式)的常用方法 等线段替换法 3. 如图， AD 是△ ABC 的高， DE ⊥ AB 于点 E ， DF ⊥ AC 于点 F . 求 证： ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题5　证明比例式(等积式)的常用方法 证明：∵ AD 是△ ABC 的高， DE ⊥ AB ，∴∠ AED ＝∠ ADB ＝∠ ADC ＝90°. ∵∠ BAD ＝∠ EAD ， ∴△ AED ∽△ ADB . ∴ ＝ .∴ AD2＝ AE · AB . 同理可证明 AD2＝ AF · AC ， ∴ AE · AB ＝ AF · AC . ∴ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题5　证明比例式(等积式)的常用方法 4. 如图，在正方形 ABCD 中，∠ EAF ＝45°. AE ， AF 分别交 BC ， CD 于点 E ， F ，交 BD 于点 H ， G . 求证： (1) AD2＝ BG · DH ； 证明：(1)∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ ABD ＝∠ ADB ＝45°， AB ＝ AD . ∵∠ EAF ＝45°，∠ ABD ＝45°， ∴∠ BAG ＝∠ EAF ＋∠ BAH ＝45°＋∠ BAH ，∠ AHD ＝∠ ABD ＋∠ BAH ＝45°＋∠ BAH . ∴∠ BAG ＝∠ AHD . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题5　证明比例式(等积式)的常用方法 又∵∠ ABD ＝∠ ADB ＝45°， ∴△ ABG ∽△ HDA . ∴ ＝ . ∴ BG · DH ＝ AB · AD ＝ AD2. 即 AD2＝ BG · DH . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题5　证明比例式(等积式)的常用方法 (2) CE ＝ DG ； 证明：(2)如图，连接 AC . ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ ACE ＝∠ ADB ＝∠ CAD ＝45°，∠ ADC ＝90°， AD ＝ CD . ∴ AC ＝ ＝ AD . ∵∠ EAF ＝45°，∴∠ EAF ＝∠ CAD . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题5　证明比例式(等积式)的常用方法 ∴∠ EAF －∠ CAF ＝∠ CAD －∠ CAF . ∴∠ EAC ＝∠ GAD . ∴△ EAC ∽△ GAD . ∴ ＝ . ∵ AC ＝ AD ，∴ ＝ ＝ . ∴ CE ＝ DG . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题5　证明比例式(等积式)的常用方法 (3) EF ＝ HG . 证明：(3)由(2)得△ EAC ∽△ GAD ，∴ ＝ ＝ . 同理可得△ AFC ∽△ AHB ，易得 AC ＝ AB ， ∴ ＝ ＝ .∴ ＝ ＝ . ∵∠ GAH ＝∠ EAF ，∴△ GAH ∽△ EAF . ∴ ＝ .又∵ ＝ ，∴ EF ＝ HG . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题5　证明比例式(等积式)的常用方法 等比替换法 5. 如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AD ⊥ BC 于点 D ， E 是 AC 的中 点， ED ， AB 的延长线交于点 F . 求证： ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题5　证明比例式(等积式)的常用方法 证明：∵ AD ⊥ BC ， ∴∠ ADB ＝∠ ADC ＝90°. 在Rt△ ADC 中， E 是斜边 AC 的中点， ∴ DE ＝ CE ＝ AC . ∴∠ C ＝∠1.又∵∠1＝∠2，∴∠ C ＝∠2. ∵∠ BAD ＋∠ DAC ＝90°，∠ C ＋∠ DAC ＝90°， ∴∠ BAD ＝∠ C ＝∠2. 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题5　证明比例式(等积式)的常用方法 ∵∠ F ＝∠ F ，∴△ FDB ∽△ FAD . ∴ ＝ . ∵∠ ADB ＝∠ ADC ，∠ BAD ＝∠ C ， ∴△ ABD ∽△ CAD . ∴ ＝ .∴ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题5　证明比例式(等积式)的常用方法 6. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形， E 是边 BC 延长线上一点，连接 AE 分别交 BD ， DC 于点 F ， G . (1)求证： ＝ ； (1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥ BC ， AB ∥ CD ， 即 AD ∥ CE ， AB ∥ CG . ∴ ＝ ， ＝ .∴ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题5　证明比例式(等积式)的常用方法 (2)若 AD ＝2， BE ＝6，∠ DBC ＝∠ BAE ，求 AF 的长. (2)解：∵ AD ∥ BC ，∴ ＝ . ∵ AD ＝2， BE ＝6，∴ ＝ ＝ ，即 EF ＝3 AF . ∵ EF ＝3 AF ，∴ AE ＝4 AF . ∴∠ BAE ＝∠ DBC ，∠ E ＝∠ E ， ∴△ EAB ∽△ EBF . ∴ ＝ ，即 BE2＝ AE · EF . ∴62＝4 AF ·3 AF . ∴ AF ＝ (负值已舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题5　证明比例式(等积式)的常用方法 构造相似三角形法 7. 如图，在△ ABC 中， D 为 AB 的中点， DF 交 AC 于点 E ，交 BC 的延 长线于点 F ，求证： AE · CF ＝ BF · EC . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题5　证明比例式(等积式)的常用方法 证明：如图，过点 C 作 CG ∥ AB 交 DF 于点 G ，则△ GCF ∽△ DBF ， △ GCE ∽△ DAE . ∴ ＝ ， ＝ . ∵ D 为 AB 的中点，∴ AD ＝ BD . ∴ ＝ . ∴ AE · CF ＝ BF · EC . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题5　证明比例式(等积式)的常用方法 8. 如图，已知△ ABC 的边 AB 上有一点 D ，边 BC 的延长线上有一点 E ，且 AD ＝ CE . DE 交 AC 于点 F ，试证明： AB · DF ＝ BC · EF . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题5　证明比例式(等积式)的常用方法 证明：如图，作 DG ∥ BC 交 AC 于点 G ，则△ ADG ∽△ ABC ，△ DGF ∽△ ECF ，∴ ＝ ， ＝ . ∴ ＝ . ∵ AD ＝ CE ，∴ ＝ .∴ ＝ . ∴ AB · DF ＝ BC · EF . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题5　证明比例式(等积式)的常用方法 $$