25.3 相似三角形 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（冀教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 冀教版 2 第二十五章　图形的相似 25.3 相似三角形 相似三角形的相关概念及性质 1. 下面两个三角形一定相似的是(　D　) A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个钝角三角形 D. 两个等边三角形 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】A. 等腰三角形的角不一定相等，各边也不一定对应成比 例，所以A不正确； B. 两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未 知，所以B不正确； C. 两个钝角三角形的对应角不一定相等，各边也不一定对应成比 例，所以C不正确； D. 两个等边三角形的各角角度都为60°，各边对应成比例，所以D 正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 2. 【教材第71页练习第2题改编】如图，已知△ ADC ∽△ BAC ，若∠ B ＝35°，∠ C ＝72°，则∠ BAD 的度数是(　A　) A. 38° B. 36.5° C. 36° D. 35° A 【解析】∵∠ B ＝35°，∠ C ＝72°， ∴∠ BAC ＝180°－35°－72°＝73°. ∵△ ADC ∽△ BAC ， ∴∠ DAC ＝∠ B ＝35°. ∴∠ BAD ＝∠ BAC －∠ DAC ＝73°－35°＝38°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 3. 如图，△ ADE ∽△ ABC ，且 AD ∶ DB ＝1∶3，则△ ADE 与△ ABC 的相似比为(　B　) A. 1∶3 B. 1∶4 C. 3∶1 D. 4∶1 【解析】∵ AD ∶ DB ＝1∶3，∴ AD ∶ AB ＝1∶4.∴△ ADE 与△ ABC 的相似比为1∶4. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 4. 若△ ABC 与△ DEF 的相似比是3∶2，其中一个三角形的最长 边是6 cm，那么另一个三角形的最长边是 ⁠. 【解析】△ ABC 与△ DEF 的相似比是3∶2，当△ DEF 的最长边是6 cm 时，△ ABC 的最长边∶△ DEF 的最长边＝3∶2，即△ ABC 的最长边是 9 cm.当△ ABC 的最长边是6 cm时，△ ABC 的最长边∶△ DEF 的最长边 ＝3∶2，即△ ADE 的最长边是4 cm. 4 cm或9 cm　 思路点拨 　　没有明确最长边是哪个三角形，需要分情况讨论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 5. 如图，在平面直角坐标系中， C 为△ AOB 的 OA 边上一点， AC ∶ OC ＝1∶2，过点 C 作 CD ∥ OB 交 AB 于点 D ， C ， D 两点纵坐标分别为 1，3，则点 B 的纵坐标为(　C　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 C 利用平行线判定三角形相似 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵ CD ∥ OB ， ∴ ＝ .∵ AC ∶ OC ＝1∶2， ∴ ＝ . ∵ C ， D 两点纵坐标分别为1，3， ∴ CD ＝3－1＝2. ∴ ＝ ，解得 OB ＝6. ∴点 B 的纵坐标为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 6. 如图， FD ∥ BC ， FB ∥ AC ， ＝ ，则 的值为(　B　) A. B. C. D. 第6题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】∵ FD ∥ BC ， FB ∥ AC ， ∴四边形 BCDF 为平行四边形. ∴ BC ＝ FD . ∵ ＝ ，∴ ＝ . ∴ ＝ . ∵ FB ∥ AC ， ∴△ ADE ∽△ BFE . ∴ ＝ ＝ . 第6题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 7. 如图，在▱ ABCD中 ， F 为 BC的中点，延长 AD 至点 E ，使 DE ∶ AD ＝1∶3，连接 EF 交 DC 于点 G ，则 DG ∶ AB ＝(　D　) A. 2∶3 B. 1∶2 C. 3∶5 D. 2∶5 第7题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】设 DE ＝ x ， ∵ DE ∶ AD ＝1∶3， ∴ AD ＝3 x . ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥ BC ， BC ＝ AD ＝3 x . ∵ F 是 BC 的中点， ∴ CF ＝ BC ＝ x . ∵ AD ∥ BC ， ∴△ DEG ∽△ CFG . ∴ DG ∶ CG ＝ DE ∶ CF ＝2∶3. ∴ DG ∶ AB ＝2∶5. 第7题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 8. 如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3 m宽的亮区. 已知亮区一边到窗下墙角的距离 CE ＝7 m，窗口高 AB ＝1.8 m，求窗口 底边离地面的高度 BC 的长. 解：∵ BD ∥ AE ， ∴△ CBD ∽△ CAE . ∴ ＝ ，即 ＝ . ∴ BC ＝2.4，即窗口底边离地面的高度 BC 的长为2.4 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 9. (2023·秦皇岛一模)如图，在△ ABC 中， D ， E 为边 AB 的三等分点， EF ∥ DG ∥ AC ， H 为 AF 与 DG 的交点.若 AC ＝6，则 DH ＝(　B　) A. 2 B. 1 C. 0.5 D. 1.5 B 【解析】∵ D ， E 为边 AB 的三等分点， ∴ AD ＝ DE ＝ EB . ∴ AB ＝3 BE ， AE ＝2 AD . ∵ EF ∥ AC ，∴△ BEF ∽△ BAC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 ∴ EF ∶ AC ＝ BE ∶ BA . ∵ AC ＝6， AB ＝3 BE ，∴ EF ∶6＝ BE ∶3 BE . ∴ EF ＝2. ∵ DG ∥ EF ，∴△ ADH ∽△ AEF . ∴ DH ∶ EF ＝ AD ∶ AE . ∵ EF ＝2， AE ＝2 AD ， ∴ DH ∶2＝ AD ∶2 AD . ∴ DH ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 10. (2023·雅安中考)如图，在▱ ABCD 中， F 是 AD 上一点， CF 交 BD 于 点 E ， CF 的延长线交 BA 的延长线于点 G ， EF ＝1， EC ＝3，则 GF 的 长为(　C　) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 C 【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥ BC ， AB ∥ CD ， AD ＝ BC . ∴△ DEF ∽△ BEC . ∴ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 ∵ EF ＝1， EC ＝3，∴ ＝ ，即 ＝ . ∴ ＝ . ∵ AB ∥ CD ，∴△ DFC ∽△ AFG . ∴ ＝ . ∵ EF ＝1， EC ＝3， ∴ CF ＝4.∴ ＝ .∴ GF ＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 11. (2022·河北中考)如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单 位长度的小正方形顶点，钉点 A ， B 的连线与钉点 C ， D 的连线交于点 E ，则： (1) AB 与 CD 是否垂直？ (填“是”或“否”)； 【解析】(1)如图1， 是　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 在△ ACM 和△ CFD 中， ∴△ ACM ≌△ CFD (SAS). ∴∠ CAM ＝∠ FCD . ∵∠ CAM ＋∠ CMA ＝90°， ∴∠ FCD ＋∠ CMA ＝90°. ∴∠ CEM ＝90°. ∴ AB ⊥ CD . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 (2) AE ＝ ⁠. 【解析】(2)如图2，在Rt△ ABH 中， AB ＝ ＝ ＝2 ，∵ AC ∥ BD ， ∴∠ CAE ＝∠ DBE ，∠ ACE ＝∠ BDE . ∴△ ACE ∽△ BDE . ∴ ＝ ＝ . ∴ ＝ .∴ AE ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 12. 已知平行四边形 ABCD ， E 是线段 AD 的三等分点， AE ＞ DE ，连 接 BE 并延长交 CD 的延长线于点 F . (1)求证：△ DEF ∽△ CBF； 解：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥ BC . ∴△ DEF ∽△ CBF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 (2) DF 与 DC 有什么数量关系？请说明理由. 解：(2) DC ＝2 DF . 理由：∵点 E 是线段 AD 的三等分点， AE ＞ DE ， ∴ DE ∶ BC ＝1∶3. ∵△ DEF ∽△ CBF . ∴ DF ∶ CF ＝ DE ∶ CB ＝1∶3. ∴ DF ∶ DC ＝1∶2. ∴ DC ＝2 DF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 13. (2023·温州中考改编)如图，已知矩形 ABCD ， 点 E 在 CB 的延长线上，点 F 在 BC 延长线上，过点 F 作 FH ⊥ EF 交 ED 的延长线于点 H ，连接 AF 交 EH 于点 G ， GE ＝ GH . (1)判断 BE 与 CF 的数量关系，并说明理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 解：(1) BE ＝ CF . 证明：∵ FH ⊥ EF ， GE ＝ GH ，∴ GE ＝ GF ＝ GH . ∴∠ E ＝∠ GFE . ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AB ＝ CD ，∠ ABC ＝∠ DCB ＝90°. ∴△ ABF ≌△ DCE (AAS).∴ BF ＝ CE . ∴ BF － BC ＝ CE － BC ，即 BE ＝ CF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 (2)当 ＝ ， AD ＝4时，求 EF 的长. 解：(2)∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AB ＝ CD ，∠ DCB ＝90°， BC ＝ AD ＝4. ∵ FH ⊥ BF ， ∴∠ HFB ＝∠ DCB ＝90°. ∴ CD ∥ FH . ∴△ DCE ∽△ HFE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 ∴ ＝ . ∴ ＝ ＝ . 设 BE ＝ CF ＝ x ，则 CE ＝ x ＋4， EF ＝2 x ＋4， ∴ ＝ ，解得 x ＝1. ∴ EF ＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25.3 相似三角形 素养达标 能力突破 基础通关 $$