第24章 微探究小专题3 一元二次方程的应用 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（冀教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 冀教版 2 第二十四章　一元二次方程 微探究小专题3　 一元二次方程的应用 类型1　数字、传播、球赛问题 1. 一个两位数，个位与十位上的数字之和为8，把这个两位数的个位数 字与十位数字对调，得到一个新的两位数，所得的新两位数与原来的两 位数的乘积为1 855，则原来的两位数是 ⁠. 2. 网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出一个“祝福”链接，将这 个“祝福”链接发给 n 个人，收到链接的人也需把链接发给相同数量的 新人，经过两轮传播后，共有91人参与了这个“祝福”链接的传播，则 n 的值为 ⁠. 35或53　 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微探究小专题3　一元二次方程的应用 3. 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，某市开展“希望 杯”足球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).现计划安排21场 比赛，应邀请多少个球队参赛？ 解：设应邀请 x 个球队参加. 由题意，得 x ( x －1)＝21. 解得 x ＝7或 x ＝－6(舍去). 答：应邀请7个球队参赛. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微探究小专题3　一元二次方程的应用 类型2　变化率和销售问题 4. 为了美化环境，2021年某市的绿化投资额为20万元，2023年的绿化投 资额为45万元，则这两年该市绿化投资额的年平均增长率为(　B　) A. 40％ B. 50％ C. 60％ D. 70％ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微探究小专题3　一元二次方程的应用 5. 某商场在今年国庆期间进行促销活动，A商品的进价为每件120元， 原售价为每件200元. (1)国庆期间经过两次降价后，A商品的售价为每件162元，求平均每次 降价的百分率； 解：(1)设平均每次降价的百分率为 x ， 根据题意，得200(1－ x )2＝162. 解得 x1＝0.1＝10％， x2＝1.9(不符合题意，舍去). 答：平均每次降价的百分率为10％. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微探究小专题3　一元二次方程的应用 (2)国庆节后，该商场A商品还有库存，为了清仓决定再降价处理，经市 场调研发现：当A商品售价降为每件150元时，每天可售出10件；在此 基础上，售价每降低1元，则每天又可以多卖出2件.若要使商场销售A商 品一天的获利为500元，且要尽快清仓，则售价在150元的基础上应降价 多少元？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微探究小专题3　一元二次方程的应用 解：(2)设售价在150元的基础上应降价 y 元，则每件的销售利润为(150 － y －120)元，每天可售出(10＋2 y )件. 根据题意，得(150－ y －120)(10＋2 y )＝500. 整理，得 y2－25 y ＋100＝0. 解得 y1＝5， y2＝20. ∵要尽快清仓，∴ y ＝20. 答：售价在150元的基础上应降价20元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微探究小专题3　一元二次方程的应用 类型3　几何问题 6. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙长为30 m)，中间用一 道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门，已知可建墙体材料(不 包括门)总长为54 m，若建成的饲养室总面积为264 m2，求墙体 AB 的材 料长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微探究小专题3　一元二次方程的应用 解：设墙体 AB 的材料长为 x m，则墙体 BC 的长为(54＋3－3 x )m. 根据题意，得 x (54＋3－3 x )＝264.整理，得 x2－19 x ＋88＝0. 解得 x1＝8， x2＝11. 当 x ＝8时，54＋3－3 x ＝54＋3－3×8＝33＞30，不符合题意，舍去； 当 x ＝11时，54＋3－3 x ＝54＋3－3×11＝24＜30，符合题意. 答：墙体 AB 的材料长为11 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微探究小专题3　一元二次方程的应用 7. 如图，在长为30 m，宽为20 m的矩形空地上，修建一横一纵两条道 路，并且横、纵两条道路的宽度比为2∶3，余下的部分作为草坪，若草 坪面积为486 m2，求两条道路的宽度各是多少米？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微探究小专题3　一元二次方程的应用 解：设横道路的宽为2 x m，则纵道路的宽为3 x m. 根据题意，得(30－3 x )(20－2 x )＝486. 整理，得 x2－20 x ＋19＝0. 解得 x1＝1， x2＝19(不符合题意，舍去). ∴2 x ＝2×1＝2，3 x ＝3×1＝3. 答：横道路的宽为2 m，纵道路的宽为3 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微探究小专题3　一元二次方程的应用 8. 如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝16 cm， BC ＝8 cm，一动点 P 从点 C 出发沿着 CB 方向以2 cm/s的速度运动，另一动点 Q 从点 A 出发沿着 AC 方向以4 cm/s的速度运动， P ， Q 两点同时出发，运动时间为 t (s). (1)若△ PCQ 的面积是△ ABC 面积的 ，求 t 的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微探究小专题3　一元二次方程的应用 解：(1)根据题意可设 CP ＝2 t cm， CQ ＝(16－4 t )cm. ∵△ PCQ 的面积是△ ABC 面积的 ， ∴ ×2 t (16－4 t )＝ × ×8×16. 整理，得 t2－4 t ＋4＝0. 解得 t1＝ t2＝2. 答： t 的值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微探究小专题3　一元二次方程的应用 (2)△ PCQ 的面积能否与四边形 ABPQ 的面积相等？若能，求出 t 的值； 若不能，请说明理由. 解：(2)△ PCQ 的面积不能与四边形 ABPQ 的面积相等. 由(1)知 CP ＝2 t cm， CQ ＝(16－4 t )cm. 若△ PCQ 的面积与四边形 ABPQ 的面积相等，则 S△ PCQ ＝ S△ ABC ，∴ ×2 t (16－4 t )＝ × ×8×16. 整理，得 t2－4 t ＋8＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微探究小专题3　一元二次方程的应用 ∵Δ＝(－4)2－4×1×8＝－16＜0， ∴该方程没有实数根. ∴△ PCQ 的面积不能与四边形 ABPQ 的面积相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微探究小专题3　一元二次方程的应用 类型4　其他问题 9. 为丰富学生的学习生活，某班组织学生参观某爱国主义教育基地，所 联系的旅行社收费标准如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微探究小专题3　一元二次方程的应用 活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用5 600元，该班共有多少 人参加这次活动？ 解：设该班共有 x 人参加这次活动. ∵25×200＝5 000＜5 600，∴ x ＞25. 根据题意，得 x [200－4( x －25)]＝5 600. 整理，得 x2－75 x ＋1 400＝0. 解得 x1＝40， x2＝35. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微探究小专题3　一元二次方程的应用 ∵人均活动费用不低于150元， ∴200－4( x －25)≥150，解得 x ≤37.5. ∴ x 取35. 答：该班参加这次春游活动的人数为35名. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微探究小专题3　一元二次方程的应用 10. 某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不 低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量 y (件)与每件售价 x (元)之间符合一次函数关系，如图所示. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微探究小专题3　一元二次方程的应用 解：(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0). 将(25，70)，(35，50)代入 y ＝ kx ＋ b ，得 解得 ∴ y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝－2 x ＋120(20≤ x ≤38). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微探究小专题3　一元二次方程的应用 (2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应 定为多少元？ 解：(2)依题意，得( x －20)(－2 x ＋120)＝600. 整理，得 x2－80 x ＋1 500＝0. 解得 x1＝30， x2＝50. ∵20≤ x ≤38，∴ x ＝30. 答：每件商品的售价应定为30元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 微探究小专题3　一元二次方程的应用 $$