精品解析：四川省宜宾市叙州区叙州区龙文学校2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题（二）

叙州区龙文学校2023年秋九年级数学期末模拟试题二 （考试时间：120分钟 考试总分150分） 姓名： 得分 一．选择题（本题共12小题48分，每题4分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加、减、乘、除的法则计算即可，逐一验证即可． 【详解】解：A. ，故原选项错误； B. ，故原选项错误； C. ，故原选项错误； D. ，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，掌握运算法则是解题的关键． 2. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在白砖上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：最终停留在白色的方砖上的概率就是白色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：观察这个图可知：白色区域（4块）的面积占总面积（9块）的， 则它最终停留在白砖上的概率是． 故选：B． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 3. 若是锐角，，则的值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数的函数值，根据是锐角，，得到，即可求的值． 【详解】解：是锐角，， ， ， 故选：B． 4. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于m的不等式，解之即可得出m的取值范围，在m的范围内选一个即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：或， 观察四个选项，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟记“当方程有两个不相等的实数根，则”是解题的关键． 5. 如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质．延长交于点，证明，得到，，则为的中点，从而得到为的中位线，即，从而得到． 【详解】解：延长交于点，如下图：     ∵ ∴ 又∵平分， ∴ 又∵ ∴ ∴， 即为的中点， 又∵是的中点， ∴为的中位线， ∴ ∵， ∴ 故选：B． 6. 我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法以方程，即为例说明，方图注中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】画出方程的拼图过程，由面积之间的关系得，，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， 解得：，. 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 7. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A. 7 B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的性质．由数轴上a的位置确定a的取值范围，再进一步求出和的取值范围，然后化简求值． 【详解】解：由数轴可得， ∴，， ∴ ， 故选：A． 8. 如图，在中，D，E是边的三等分点，是边的中线，，分别与交于点G，H，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．如图，过点F作，交于点P，过点H作，交于点Q，根据平行线分线段成比例可知，再由三角形中位线的性质，结合D，E是边的三等分点，得到，然后由，得到，进而由，，得到，从而证明，再结合三角形的面积关系可得答案． 【详解】解：如图，过点F作，交于点P，过点H作，交于点Q， ∴， ∵是边的中线， ∴， ∴， ∴， ∵D，E是边的三等分点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 不妨设，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，． ∴， ∴， 不妨设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 9. 已知和是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 2021 C. D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】由和是方程的两个根，根据根于系数关系可得，，由一元二次方程根的定义可得，即可求解； 【详解】和是方程的两个根， ， ， ，， 故选A． 【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键． 10. 某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1∶2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（ ）（参考数据：，，） A. 米 B. 米 C. 56米 D. 66米 【答案】B 【解析】 【分析】通过作辅助线，利用斜坡的坡度为，，由勾股定理可求出的长，设出的长，根据坡度表示，进而表示出，由于是等腰直角三角形，可表示，在中由锐角三角函数可列方程求出，进而求出． 【详解】解：如图，延长与水平线交于，过作，为垂足，过作，为垂足，连接，， 斜坡的坡度为， ， 设米，则米， 在中，米，由勾股定理得， ， 即， 解得， （米，（米， 斜坡的坡度为， 设米，则米， ， 米， 米， 在中，米，米， ， ， 解得， （米，（米， （米， （米， 答：基站塔的高为米． 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形仰角俯角问题，坡度坡角问题，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是解题关键． 11. 如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示： 在中，， ∴， ∵ ＝， ∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12， 故选：D． 【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题． 12. 如图，在菱形中，交的延长线于点E．连结交于点F，交于点G，于点H，连结．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（　　） A. ①③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的对称轴即可判断①，证明，根据相似三角形的性质即可判断②，设 ，根据已知条件，结合含30度角的直角三角形的性质，进而可得 ，证明，可得，设 ， 则 ，根据，求得，进而即可判断③，根据，分别求得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴对角线所在直线是菱形的对称轴， A与C关于对称， ，， 故①正确， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 故②正确， 菱形中，， ，，， 设 ， ， ， Rt中，， ， ， ， ， 设，则， ∴， 又， ， ， ， ， 故③正确， 中，， ∴， 中，， ， ， 中，， 中，， ， ， ， ， 故④正确， 故正确的为∶ ①②③④． 故选∶D 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握菱形的性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键． 二．填空题（本题共6小题24分，每题4分） 13. 若，则__． 【答案】1 【解析】 【分析】首先根据二次根式有意义的条件求出a的值，然后代入式子求出m的值，最后求出am的值． 【详解】解：要使有意义，则， 解得， 故， ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了求二次根式有意义的条件，二次根式的取值范围的基本依据是被开方数大于或等于零,当分母中含有二次根式时,还要保证分母不等于零,从而将其转化为解不等式或不等式组．若被开方数为非负数时,则取值范围是全体实数． 14. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”； ②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系； ③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”； ④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【详解】①解方程，得， ， 方程不是“倍根方程”．故①不正确； ②是“倍根方程”，且， 因此或． 当时，， 当时，， ，故②正确； ③， ， ， ， 因此是“倍根方程”，故③正确； ④方程的根为， 若，则， 即， ， ， ， ， ， 若，则， ， ， ， ， ．故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 15. 如图，长方形在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，．若上分别有点E、D，满足，则点E的坐标为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，坐标与图形的性质，关键是作辅助线构造相似三角形．延长，交于，作于，设，由勾股定理表示出的长，由相似三角形的性质求出、，利用三角形相似和由勾股定理求出、的长，即可点的坐标． 【详解】解：延长，交于，作于，设， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标是 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，，若将绕点顺时针旋转，得到，绕点顺时针旋转，得到，绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题关键是掌握求点的坐标的常用方法．由旋转的性质可得，，进而求解． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，， 由旋转可得，， 点的坐标为． 故答案为：． 17. 如图，在中，，点D是的中点，连接，过点D作交于点E，若，，则的长为________． 【答案】15 【解析】 【分析】由，可设，由勾股定理得到，由直角角三角形斜边上中线的性质得到，再证，求得，据此求解即可得到答案． 【详解】解：， ∴设， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角函数、直角三角形斜边上中线的性质，掌握三角函数，直角三角形中线的性质是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B为y轴正半轴上一动点，连接，以为边在下方作等边三角形，连接，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】以为对称轴，构造等边三角形，作直线，交x轴于点E，先确定点C在直线上运动，根据垂线段最短计算即可． 【详解】如图，以为对称轴，构造等边三角形，作直线，交x轴于点E， ∵， ∴， ∵等边三角形关于为对称， ∴， ∴， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴点C在直线上运动， ∴当时，最小， 如图， 此时， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判断，三角形的全等判定和性质，垂线段最短，熟练掌握三角形全等和垂线段最短原理是解题的关键． 三．解答题（本题共7小题78分） 19. 计算或解方程． （1）解方程； （2）计算：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程和二次根式的混合运算． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先化简二次根式和利用平方差公式计算，再进行除法运算，最后进行加减运算即可． 【小问1详解】 解： ∴， ∴或， 解得， 【小问2详解】 解： 20. 2023年10月26日，搭载三名航天员汤洪波、唐胜杰、江新林的神舟十七号载人飞船发射成功，三名航天员顺利进驻我国空间站．根据安排此次航天员乘组将进行出舱开展科学实验，每名航天员出舱的机会均等． （1）首次将安排1名航天员出舱，则航天员汤洪波被选中出舱的概率是___________； （2）若第2次安排两名航天员出舱，用列表或画树状图的方法求航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，根据题意，列出图表或树状图，利用概率公式计算概率即可． （1）直接根据概率计算即可． （2）根据列表法得出所有等可能情况，找出符合条件的情况数，利用概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：从三名航天员中安排1名航天员出舱，则航天员汤洪波被选中出舱的概率是 【小问2详解】 根据题意，列表如下： 汤洪波 唐胜杰 江新林 汤洪波 — 汤洪波，唐胜杰 汤洪波，江新林 唐胜杰 唐胜杰，汤洪波 — 唐胜杰，江新林 江新林 江新林，汤洪波 江新林，唐胜杰 — 由上表得共有6种可能结果，航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的情况有2种，故 航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的概率为． 21. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在第二象限画出，使与的位似比为，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求， 的坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据“图形关于x轴对称，对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数”分别画出B、C两点关于x轴的对称点、，再将A、、三点依次连接即可； （2）依题意，可将A、B、C三点的横、纵坐标分别乘以，得到其对应点、、的坐标，再在坐标系中描点连线即可得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查图形的轴对称和图形的位似，若图形关于x轴对称，则对应点变为，若图形关于y轴对称，则对应点变为，若图形关于原点对称，则对应点变为；若与关于原点位似，且位似比为k，则只需将A、B、C的坐标分别乘以，再在坐标系中描点连线，即可得到关于原点的位似图形． 22. 如图，在正方形中，点关于直线的对称点为，为边上一动点，交于点，交于点． （1）当点为中点时，求证：； （2）当时，求证：． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质和相似三角形判定与性质是解题的关键． （）利用正方形的性质，轴对称的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （）先证明，再根据性质得出，由轴对称的性质可得，可证，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 第届世界杯足球赛已于年月日在卡塔尔开幕，其吉祥物“拉伊卜”也深受人们的喜爱．河南某超市在年月份售出个“拉伊卜”，随着世界杯开幕的临近，“拉伊卜”在之后两个月的销售量持续走高，在售价不变的基础上，月份的销售量达到了个． （1）求“拉伊下”在，两个月销售量的月平均增长率； （2）若每个“拉伊卜”的进价为元，原售价为元，该超市计划在年月进行降价促销，经调查发现，若“拉伊卜”的价格在原售价的基础上每降价元，销售量可在月份的基础上增加个，当每个“拉伊卜”降价多少元时，在月份出售“拉伊卜”可获利元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）设“拉伊下”在，两个月销售量的月平均增长率为，根据增长率问题列出一元二次方程，解方程即可求解． （2）设“拉伊卜”降价元时，在月份出售“拉伊卜”可获利元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设“拉伊下”在，两个月销售量的月平均增长率为． 根据照意，得． 解得，（舍去）． ． 答：“拉伊下”在，两个月销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 设“拉伊卜”降价元时，在月份出售“拉伊卜”可获利元． 根据题意，得， 整理，得． 解得，（舍去）． 答：当每个“拉伊卜”降价元时，在12月份出售“拉伊卜”可获利元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键． 24. 如图，海岸边上有三个观测站，观测站在观测站的东北方向，观测站在观测站的正东方向，观测站之间的距离为30海里．某天，观测站同时收到一艘轮船在处发出的求救信号，经分析，在观测站的南偏东方向，在观测站的东南方向，在观测站的正东方向． （1）求的长度．（结果精确到个位） （2）目前只有观测站与配备了搜救艇，搜救艇航速为30海里/时．收到求救信号后，因观测站的搜救艇在检修，接到任务后不能马上出发，需30分钟后才能出发，而且必须先去处，才能再去处（在处停留时间可忽略不计）；而观测站的搜救艇接到任务后可马上出发，并直接到达处．请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达处？（参考数据：） 【答案】（1）42（海里）； （2）观测站搜救艇可以更快到达处． 【解析】 【分析】（1）本题主要考查锐角三角函数的实际应用，解答本题的关键在于找到相应边与角的对应关系，会正确处理是解答本题的重点也是难点，再用已知条件结合勾股定理去求解即可． （2）本题考查运用锐角三角函数解决问题的实际应用，解答本题的关键在于运用小问（1）的信息和结论，求出两观测站的搜救艇所经过的路程，及所用时间即可解答本题． 【小问1详解】 解：预备知识：如图1，在以，，的中，作． ∵ ∴ ∴在中，， ∴由锐角三角函数可得， ， ∴， 在中， ． 如图，过点作于点，由题意可得， ， ． 设， 则， ∴在中， ， ∴ ∴ ， ∴， ． 由勾股定理得， ∴（海里）． 【小问2详解】 由（1）知，， ∴从观测站行驶距离：（海里） 时间：（小时）； 从观测站行驶距离（海里） 时间：（小时） ∵， ∴观测站的搜救艇可以更快到达处． 25. 在我们的数学活动中，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用如下方法： 操作感知： 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，再把纸片展开； 第二步：如图2，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． （1）在图2中，请至少写出3个的角； （2）猜想论证：若延长交于点，如图3所示，请判定的形状并证明你的结论； （3）拓展探究：在图3中，若，，请说明当，满足什么关系时，才能在矩形纸片中剪出符合（2）中的． 【答案】（1），， （2） 是等边三角形， 证明：连接，如图： 由折叠可知：，垂直平分． ， ， 为等边三角形， ， ， ，， ， ， 是等边三角形． （3）或 【解析】 【分析】（1）设交与点，连接，由折叠可知，，，，，根据平行线的性质和三角形的内角和可得，得出，则； （2）连接，根据折叠的性质可得，垂直平分，推得，根据等边三角形的判定和性质可得，，推得，根据等边三角形的判定即可证明是等边三角形；． （3）根据题意可得要在矩形纸片上剪出等边，则，令，根据余弦的定义可得，结合，即可求得当或时，在矩形纸片上能剪出这样的等边． 【小问1详解】 设交与点，连接，如图： 由折叠可知，，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当或时，在矩形纸片上能剪出等边． 要在矩形纸片上剪出等边，则， 在中，，， ， ， ，即， 当或时，在矩形纸片上能剪出这样的等边． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形的内角和，等边三角形的判定和性质，余弦的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 叙州区龙文学校2023年秋九年级数学期末模拟试题二 （考试时间：120分钟 考试总分150分） 姓名： 得分 一．选择题（本题共12小题48分，每题4分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在白砖上的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 若是锐角，，则的值是（ ） A. B. C. D. 1 4. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法以方程，即为例说明，方图注中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A. 7 B. C. D. 无法确定 8. 如图，在中，D，E是边的三等分点，是边的中线，，分别与交于点G，H，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知和是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 2021 C. D. 2023 10. 某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1∶2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（ ）（参考数据：，，） A. 米 B. 米 C. 56米 D. 66米 11. 如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 12. 如图，在菱形中，交的延长线于点E．连结交于点F，交于点G，于点H，连结．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（　　） A. ①③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 二．填空题（本题共6小题24分，每题4分） 13. 若，则__． 14. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 15. 如图，长方形在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，．若上分别有点E、D，满足，则点E的坐标为 ____________________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，，若将绕点顺时针旋转，得到，绕点顺时针旋转，得到，绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为________． 17. 如图，在中，，点D是的中点，连接，过点D作交于点E，若，，则的长为________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B为y轴正半轴上一动点，连接，以为边在下方作等边三角形，连接，则的最小值为______． 三．解答题（本题共7小题78分） 19. 计算或解方程． （1）解方程； （2）计算：． 20. 2023年10月26日，搭载三名航天员汤洪波、唐胜杰、江新林的神舟十七号载人飞船发射成功，三名航天员顺利进驻我国空间站．根据安排此次航天员乘组将进行出舱开展科学实验，每名航天员出舱的机会均等． （1）首次将安排1名航天员出舱，则航天员汤洪波被选中出舱的概率是___________； （2）若第2次安排两名航天员出舱，用列表或画树状图的方法求航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的概率． 21. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在第二象限画出，使与的位似比为，并写出点的坐标． 22. 如图，在正方形中，点关于直线的对称点为，为边上一动点，交于点，交于点． （1）当点为中点时，求证：； （2）当时，求证：． 23. 第届世界杯足球赛已于年月日在卡塔尔开幕，其吉祥物“拉伊卜”也深受人们的喜爱．河南某超市在年月份售出个“拉伊卜”，随着世界杯开幕的临近，“拉伊卜”在之后两个月的销售量持续走高，在售价不变的基础上，月份的销售量达到了个． （1）求“拉伊下”在，两个月销售量的月平均增长率； （2）若每个“拉伊卜”的进价为元，原售价为元，该超市计划在年月进行降价促销，经调查发现，若“拉伊卜”的价格在原售价的基础上每降价元，销售量可在月份的基础上增加个，当每个“拉伊卜”降价多少元时，在月份出售“拉伊卜”可获利元？ 24. 如图，海岸边上有三个观测站，观测站在观测站的东北方向，观测站在观测站的正东方向，观测站之间的距离为30海里．某天，观测站同时收到一艘轮船在处发出的求救信号，经分析，在观测站的南偏东方向，在观测站的东南方向，在观测站的正东方向． （1）求的长度．（结果精确到个位） （2）目前只有观测站与配备了搜救艇，搜救艇航速为30海里/时．收到求救信号后，因观测站的搜救艇在检修，接到任务后不能马上出发，需30分钟后才能出发，而且必须先去处，才能再去处（在处停留时间可忽略不计）；而观测站的搜救艇接到任务后可马上出发，并直接到达处．请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达处？（参考数据：） 25. 在我们的数学活动中，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用如下方法： 操作感知： 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，再把纸片展开； 第二步：如图2，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． （1）在图2中，请至少写出3个的角； （2）猜想论证：若延长交于点，如图3所示，请判定的形状并证明你的结论； （3）拓展探究：在图3中，若，，请说明当，满足什么关系时，才能在矩形纸片中剪出符合（2）中的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $