精品解析：江苏省无锡市锡山高级中学实验学校2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

省锡中实验学校2023−2024学年度第二学期 初二数学期末测试 一、选择题（共10题，每题3分，总分30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意；  故选：D． 2. 若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 15 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入反比例函数关系式是解决问题的基本方法．把点代入反比例函数，计算即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选：C． 3. 下列调查中，适宜采用普查方式的是 （ ） A. 调查一批新型电动汽车的电池使用寿命 B. 调查无锡市中小学生的课外阅读时间 C. 对全市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查 D. 对卫星“天宫一号”的零部件质量情况的调查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A．调查一批新型电动汽车的电池使用寿命适合抽样调查； B．调查无锡市中小学生的课外阅读时间适合抽样调查； C．对全市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查适合抽样调查； D．对卫星“天宫一号”的零部件质量情况的调查必须进行全面调查， 故选：D． 4. 用配方法解方程 时，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解答此题最重要的一步是在等式两边同时加上一次项系数一半的平方．把方程左边化为完全平方式即可． 【详解】解： 两边加1得，， 即：． 故选：B 5. 如图，将平行四边形折叠，使顶点恰落在边上的点处，折痕为，那么下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得出正确的结论，进而得到说法不正确的选项． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 由折叠可得， ， ，故A选项正确，不合题意； ， ， 由折叠可得， ， ，故B选项正确，不合题意； 与不一定相等， 不一定成立，故C选项错误，符合题意； ，， 四边形是平行四边形， ，故D选项正确，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 6. 点和在反比例函数图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将，坐标代入函数解析式，求出和是解题的关键．将点和点的坐标分别代入，求出和即可解决问题． 【详解】解：将点代入得， ． 将点代入得， ， 所以． 故选：C 7. 由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一周的票房及增长率，即可得出第二周票房约亿元、第三周票房约亿元，根据三周后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：第一周票房约5亿元，且以后每周票房的增长率为， 第二周票房约亿元，第三周票房约亿元． 依题意得：． 故选：D． 8. 正方形边上有一动点E，以为边作矩形且边过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积（　　） A. 保持不变 B. 一直变小 C. 先变小后变大 D. 先变大后变小 【答案】A 【解析】 【分析】连接，可得的面积是矩形的一半，也是正方形的一半，可得矩形与正方形面积相等． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴矩形与正方形的面积相等． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质，连接由面积关系进行转化是解题的关键． 9. 如图，已知中，，将绕着边上的点旋转得到分别交于点、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的性质和相似三角形的判定与性质．设交于点，先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，，接着证明，，得到 ，，则，即，再证明，得到，即，再求解即可． 【详解】解：设交于点，如图， ，，， ， ， ， 将绕着边上的点旋转得到， ，，，， ， ，， ，， ，， ， 即， ， ， ， ，即， 解得． 故选：C 10. 在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，交于，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．如图1中，作于，于，由，推出，由，，可得，故①正确，如图2中，延长交的延长线于，作于．易证，可得，设，则，通过计算即可一一判断． 【详解】解：如图，作于，于． ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ，， ， 平分，故①正确， 如图中，延长交的延长线于，作于． 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， 设，则， ， ，， ， ，故②正确， ， ， ， ，故③正确， ， ，故④错误， 故选：A 二、填空题（共8题，每题3分，总分24分） 11. 在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠A＝__． 【答案】50°． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质即可求解. 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∵∠A+∠C＝100°， ∴∠A＝50°， 故答案为：50°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质. 12. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．由题意知，，，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． 13. 若函数是反比例函数，则的值为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义：形如(为常数，)的函数就叫做反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 根据反比例函数的定义列出关于方程或不等式，求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， 且， 解得：， ∴的值为2． 故答案为：2． 14. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的8个小球，其中红球3个，黑球5个．若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件．那么，当____时，事件为随机事件． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．根据随机事件的概念即可得出答案． 【详解】∵事件为随机事件． ∴“摸出黑球”为随机事件， ∴必须留有红球，才能使摸出黑球为随机事件， ∵， ∴m的值是2； 故答案为：2． 15. 如图，三角形中，、分别为边、上的一点，且平行于与相似比，则____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，能求出是解此题的关键． 根据相似三角形的判定得出，根据相似三角形的性质得出面积比，即可求出答案． 【详解】解：， ， ∵与相似比， ， ， ， 故答案为：1． 16. 如图，在中，平分．点，分别是的中点，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、三角形的中位线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、三角形的中位线的性质是解题的关键．过点作于点，先证明，可得，，设，则，在中，，从而得出，解出方程，再利用三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， 设，则， 在中，， 解得：， ， 点，分别是的中点， ， 故答案为：． 17. 一个有趣的摆件，它由同种材质小棒焊接而成：如图，摆件有一大一小2个正方体，它们的8对对应顶点用8根长度相等的小棒连接，其中点、点是一对对应点．观察俯视图发现：①小正方形的面积和一个梯形的面积相等，②线段，则小正方体的棱长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了俯视图以及正方形的性质，勾股定理，梯形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得到俯视图，再结合正方形性质以及俯视图的信息，得出，该俯视图是轴对称图形，其对称轴为直线，证明是等腰直角三角形，再结合梯形面积以及正方形面积联立方程，运用配方法解方程，即可作答． 【详解】解：如图：立体图形的俯视图： ∵摆件有一大一小2个正方体，它们的8对对应顶点用8根长度相等的小棒连接，其中点、点是一对对应点，观察俯视图发现：①小正方形的面积和一个梯形的面积相等，②线段， ∴ ∵是正方形，且 ∴，该俯视图是轴对称图形，其对称轴为直线 ∴ ∴过点分别作 ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴（负值已舍去） 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形 ∴ 设 ∵小正方形的面积和一个梯形的面积相等 ∴ 解得（负值已舍去） 故答案为： 18. 如图，四边形为矩形，点在第四象限，点关于的对称点为点，且，都在函数的图象上，轴于点，的延长线交轴于点，当矩形的面积为时，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“”的几何含义等知识，解决问题的关键是学会利用面积法解决问题．如图，连接，．首先证明，推出，推出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，． 四边形为矩形， ， 由对称的性质可得：， ， ， 与的边上的高相等， ， ． ， 故答案为：． 三、解答题（共8题，总分76分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴， ∴． 20. 某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生必选且只选一类），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题： （1）本次抽样的学生有______人； （2）通过计算补全条形统计图； （3）扇形图中，______，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是______； （4）若该中学有900名学生，那么该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人？ 【答案】（1）300 （2） 补全统计图如下： （3）35，18 （4）90人 【解析】 【分析】本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用B类的人数除以其对应的百分比即可解答； （2）总人数减去喜爱A、B、D、E类电视节目的人数，可得喜爱C类电视节目的人数，然后将扇形图补全即可； （3）用所占人数除以总人数可得m的值；节目类型E对应的扇形圆心角的度数等于乘以节目类型E的百分比即可； （4）用900乘以样本中喜欢新闻类节目的学生百分比即可得解答． 【小问1详解】 解：由条形图可知，喜爱B类节目的学生有60人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的， 本次抽样调查的样本容量是：． 故答案为：300． 【小问2详解】 解：喜爱C类电视节目的人数为：（人）， 【小问3详解】 解：，故， 节目类型E对应的扇形圆心角的度数是：． 故答案为：35，18． 【小问4详解】 解：该校900名学生中喜欢新闻类节目的学生有：（人）． 答：该校喜欢新闻类节目的学生大约有90人． 21. 如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）2.4 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性质推出，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形， （1）由平行四边形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由三角形面积公式得到，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形是矩形，又， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积， ∴， ∴． 22. 如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点． （1）若，求的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：， ， ∵在正方形 中，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）通过证明，由相似三角形的性质可求解； （2）通过证明，可得，可得结论． 【小问1详解】 解：四边形是边长为4的正方形， ， ， ， ，即 ； 【小问2详解】 略 23. 如图，以轴上长为1的线段为宽作矩形，矩形长、交直线于点、，反比例函数的图像正好经过点，． （1）若点的横坐标为，请用只含字母的代数式表示点的坐标； （2）求反比例函数的表达式； （3）若反比例函数图像在一次函数图像下方，请直接写出自变量的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出的横坐标为，代入直线求出的坐标； （2）将点和点的坐标代入反比例函数解析式求出值即可； （3）根据的值结合函数图像求出的取值范围． 【小问1详解】 解：，点的横坐标为， 的横坐标为， 点在直线上， 点的纵坐标为， 故点的坐标为； 【小问2详解】 解：点和点在直线上， ，， 点和点在反比例函数上， ， 解得， 反比例函数的表达式为； 【小问3详解】 解：由（2）知，，， 反比例函数图像在一次函数图像下方时， 解集为． 【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图像和性质是解题的关键． 24. 某农场计划建造一个长方形养牛场，为充分利用现有资源，该长方形养牛场一面靠墙（墙的长度为15米），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的长方形，已知栅栏的总长度为48米，设较小长方形的宽为米（如图），栅栏厚度不计． （1）若长方形养牛场的总面积为144平方米，求此时的值； （2）养牛场的总面积是否有可能达到180平方米？若有可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 【答案】（1） （2）牛场的总面积不可能达到180平方米， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据题意可得较大长方形的长为米，则较大长方形的宽为（米），依题意得：，再求解即可； （2）依题意得：，再进行求解并判断即可． 【小问1详解】 解：中间再用栅栏把它分成两个面积为的长方形，较小长方形的宽为米， 较大长方形的长为米， 则较大长方形的宽为（米）， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去． ． 【小问2详解】 牛场的总面积不可能达到180平方米，理由如下： 依题意得：， 整理得：． 解得：，． 当时，，不合题意，舍去． 当时，，不合题意，舍去． 牛场的总面积不可能达到180平方米． 25. 关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， （1）方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； （3）若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】（1）① （2）的值为18 （3）代数式的值为或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及新定义，解题的关键是读懂“倍根方程”的定义和分类讨论思想的应用． （1）求出的根为，，可知是“倍根方程”；求出的根为，，知不是“倍根方程”； （2）设的两个根为和，可得，即可解得的值为18； （3）求出，，可得或，即或，分别代入求值即可． 【小问1详解】 的根为，， ， 是“倍根方程”； 的根为，， ， 不是“倍根方程”； 故答案为：①； 【小问2详解】 由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和， ， 解得； 经检验，符合题意， 的值为18； 【小问3详解】 由得，， 是“倍根方程”， 或，即或， 当时，； 当时，； 代数式的值为或． 26. 已知正方形的边长为3，是边上的一个动点， （1）如图1，若点关于直线的对称点为，连接，连接并延长交于点，连接．则______； （2）如图2，在点运动过程中，作的平分线交延长线于，交于，若，请求出线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由轴对称的性质可知，利用全等三角形的性质证明即可解决问题； （2）过点作，交的延长线于点，，交的延长线于点， 证明，由全等三角形的性质得出，由角平分线的性质得出，根据三角形面积公式可得出答案． 【小问1详解】 四边形是正方形，点关于对称， ，，， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点作，交的延长线于点，，交的延长线于点， 点关于直线的对称点为， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 平分，，， ， ，， ， ， ， ． ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 27. [基础学习] （1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，交于点，求证：． [尝试应用] （2）如图2，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和于点、和，求的值． [拓展提高] （3）如图3，矩形中（为常数），点是矩形边上的一个动点，延长至点，使，连接，，与相交于点，连接，求的最小值（用的代数式表示）． 【答案】 （1）证明：， ，， ，， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． （1）由题意得：，，根据相似三角形的性质得到，进而证明出结论； （2）过点M作交于点H，交于点N，交于点G，由（1）中结论可得，，根据，证明，，，，根据相似三角形的性质可得，整理可得； （3）如图，连接并延长交于点H，连接，证明，求出，由此可得：点H为定点，点G在线段上运动，当时，有最小值，利用勾股定理求出，由，即可求出的最小值为． 【详解】（1）略 （2）如图，过点M作交于点H，交于点N，交于点G， ∵， 由（1）中结论可得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ； （3）解：如图，连接并延长交于点H，连接， ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由此可得：点H为定点，点G在线段上运动， 当时，有最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 省锡中实验学校2023−2024学年度第二学期 初二数学期末测试 一、选择题（共10题，每题3分，总分30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 15 C. D. 3. 下列调查中，适宜采用普查方式的是 （ ） A. 调查一批新型电动汽车的电池使用寿命 B. 调查无锡市中小学生的课外阅读时间 C. 对全市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查 D. 对卫星“天宫一号”的零部件质量情况的调查 4. 用配方法解方程 时，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将平行四边形折叠，使顶点恰落在边上的点处，折痕为，那么下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 点和在反比例函数图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为(　　) A. B. C. D. 8. 正方形边上有一动点E，以为边作矩形且边过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积（　　） A. 保持不变 B. 一直变小 C. 先变小后变大 D. 先变大后变小 9. 如图，已知中，，将绕着边上的点旋转得到分别交于点、，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，交于，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（共8题，每题3分，总分24分） 11. 在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠A＝__． 12. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为___________． 13. 若函数是反比例函数，则的值为____． 14. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的8个小球，其中红球3个，黑球5个．若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件．那么，当____时，事件为随机事件． 15. 如图，三角形中，、分别为边、上的一点，且平行于与相似比，则____． 16. 如图，在中，平分．点，分别是的中点，则的长为____． 17. 一个有趣的摆件，它由同种材质小棒焊接而成：如图，摆件有一大一小2个正方体，它们的8对对应顶点用8根长度相等的小棒连接，其中点、点是一对对应点．观察俯视图发现：①小正方形的面积和一个梯形的面积相等，②线段，则小正方体的棱长为______． 18. 如图，四边形为矩形，点在第四象限，点关于的对称点为点，且，都在函数的图象上，轴于点，的延长线交轴于点，当矩形的面积为时，则的值为____． 三、解答题（共8题，总分76分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生必选且只选一类），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题： （1）本次抽样的学生有______人； （2）通过计算补全条形统计图； （3）扇形图中，______，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是______； （4）若该中学有900名学生，那么该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人？ 21. 如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 22. 如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点． （1）若，求的长； （2）求证：． 23. 如图，以轴上长为1的线段为宽作矩形，矩形长、交直线于点、，反比例函数的图像正好经过点，． （1）若点的横坐标为，请用只含字母的代数式表示点的坐标； （2）求反比例函数的表达式； （3）若反比例函数图像在一次函数图像下方，请直接写出自变量的范围． 24. 某农场计划建造一个长方形养牛场，为充分利用现有资源，该长方形养牛场一面靠墙（墙的长度为15米），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的长方形，已知栅栏的总长度为48米，设较小长方形的宽为米（如图），栅栏厚度不计． （1）若长方形养牛场的总面积为144平方米，求此时的值； （2）养牛场的总面积是否有可能达到180平方米？若有可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 25. 关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， （1）方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； （2）若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； （3）若是“倍根方程”，求代数式的值． 26. 已知正方形的边长为3，是边上的一个动点， （1）如图1，若点关于直线的对称点为，连接，连接并延长交于点，连接．则______； （2）如图2，在点运动过程中，作的平分线交延长线于，交于，若，请求出线段的长． 27. [基础学习] （1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，交于点，求证：． [尝试应用] （2）如图2，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和于点、和，求的值． [拓展提高] （3）如图3，矩形中（为常数），点是矩形边上的一个动点，延长至点，使，连接，，与相交于点，连接，求的最小值（用的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $