1.2.5 空间中的距离 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.2.5 空间中的距离 学习目标　 抬头望星光 　　1.理解图形与图形的距离的概念.(数学抽象) 　　2.理解空间中两点之间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、相互平行的直线与平面之间的距离以及相互平行的平面与平面之间的距离的概念,会求它们之间的距离.(数学抽象、逻辑推理) 　　3.会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、线面距和面到面的距离.(逻辑推理、数学运算) 教材认知·内化必备知识 空间中的距离 名称 概念 求法 两点之间的距离 空间中两个点连线的线段长 求向量的模 点到直线的距离 过直线外一点作直线的一条垂线段的长 求向量的模 点到平面的距离 过平面外一点作平面的一条垂线段的长 d= , 其中A是平面外一点,B是平面内一点,n是平面的一个法向量 名称 概念 求法 线到面的距离 当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离 转化为求点到平面的距离 面到面的距离 (公垂线段长) 当平面与平面平行时,一个平面内的任意一点到另一个平面的距离 点睛 (1)用向量法求直线外一点到直线的距离的实质是构造直角三角形求解,优点是在空间中无法直接作出点到直线距离时,利用向量法避免了作辅助线. (2)过平面外一点向平面作垂线段,则该垂线段所在的直线是唯一的,也是连接平面外一点与平面内任一点的所有线段中最短的. 【思考】如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.如何利用这些条件求点P到直线l的距离? 【质疑辨析】 (1)点到直线的距离就是点到直线的最短距离. (　 　) (2)直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面上任一点的距离. (　 　) 提示:直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面的距离. (3)两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点与另一个平面内的任一点 之间的距离. (　 　) 提示:两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点到另一个平面的距离. √ × × 合作探究·形成关键能力 (3)(2023·平顶山高二检测)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,D1D=3,M,N分别是B1C1,AB的中点,设点P是线段DN上的动点,则MP的最小值为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.以点D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 因为底面ABCD是边长为2的正方形,D1D=3,所以M(1,2,3), 因为点P在xDy平面上, 所以设点P的坐标为(x,y,0),y∈[0,1], 因为P在DN上运动, 所以==2, 所以x=2y,所以点P的坐标为(2y,y,0), 所以|MP|===, 因为y∈[0,1], 所以当y=时,|MP| 取得最小值. 2.在空间直角坐标系中,已知点A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,1),点P在yOz平面上,且点P到点A,B,C的距离相等,则点P的坐标为__________ .  【解析】由于点P在yOz平面上,则可设P(0,y,z),由题意得|PA|=|PC|,|PB|=|PC|,所以 , 解得,所以点P的坐标为(0,1,-2). 答案:(0,1,-2) 3.(2023·六安高一检测)在如图所示的试验装置中,两个正方形框架ABCD,ABEF的边长都是2,且它们所在的平面互相垂直,活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动,且CM和BN的长度保持相等,记CM=BN=a,其中0<a<2.则MN的长的最小值为________.  【解题指南】根据面面垂直性质可证得BC⊥平面ABEF,则以B为坐标原点可建立空间直角坐标系;利用空间中两点间距离公式可表示出MN;将MN整理为,由二次函数最值可得结果. 【补偿训练】 　　如图,空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1,点M,N分别是边AB,CD的中点,则MN的长为________.  类型二　求点到直线的距离(逻辑推理、数学运算) [例2](教材提升·例2) 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1C,D1A1的中点,求点A到直线EF的距离. 【思路导引】建系,用坐标法求解. 【总结升华】 利用向量法求点到直线的距离的常用方法 (1)利用空间向量找垂线段,再求模即可. (2)①建立空间直角坐标系; ②求直线的方向向量; ③计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影的数量; ④利用勾股定理求点到直线的距离. 注意:线上的点可以任意取,但一般选择特殊点(如端点),同时直线的方向向量也可以任意取. 再就是平行直线间的距离可转化为点到直线之间的距离. 【即学即练】 1.(2023·赣州高二检测)已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,点E是BC的中点,则点E到直线PD的距离是 (　　) A. B. C. D. 2.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为 (　　) A.1 B. C. D. 3.已知直线l的一个方向向量为m=(1,,-1),若点P(-1,1,-1)为直线l外一点,A(4,1,-2)为直线l上一点,则点P到直线l的距离为________.  【补偿训练】 　　(2023·武汉高二检测)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面ADD1A1上的动点.且PC1∥平面AEF,则点P的轨迹长为__________.点P到直线AF的距离的最小值为__________.  【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接BC1,FD1,AD1,如图,平面ABC1D1为矩形, 因为点E,F分别是棱BC,CC1的中点, 则EF∥BC1∥AD1,EF=AD1, 即平面AEF截正方体所得截面为梯形AEFD1, 显然过点C1与平面AEFD1平行的平面交平面BCC1B1、平面ADD1A1分别于BC1,MN, 因此MN∥BC1∥AD1,连接MC1, 平面BMNC1、平面AEFD1与平面ACC1A1分别交于MC1,AF, 因此MC1∥AF,AM∥FC1, 即四边形AMC1F为平行四边形, 所以AM=FC1=, 即点M为AA1的中点,同理N为A1D1的中点,所以MN=, 因为动点P始终满足PC1∥平面AEF, 【名师点睛】作截面常用的三种方法:直接法,截面的定点在几何体的棱上;平行线法,截面与几何体的两个平行平面相交,或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行;延长交线得交点,截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 类型三　求点到平面的距离(数学运算、逻辑推理) 角度1　点到平面的距离 [例3](教材提升·例3)(2023·常州高二检测)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,AD=2,M为BC的中点. (1)求直线BD与平面APM所成角的正弦值; (2)求D到平面APM的距离. 【总结升华】 用向量法求点面距的方法与步骤 角度2　线面距离与面面距离 [例4](1)(2023·兰州高二检测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为 (　　) A. B. C. D. 【思路导引】将平面AB1D1与平面BDC1的距离转化为点B到平面AB1D1的距离,建立空间直角坐标系,然后用空间向量求解. 【解析】选D.由正方体的性质: AB1∥DC1,D1B1∥DB, AB1∩D1B1=B1,DC1∩DB=D, 且AB1⊂平面AB1D1,D1B1⊂平面AB1D1, DC1⊂平面BDC1,DB⊂平面BDC1, 所以平面AB1D1∥平面BDC1, 则两平面间距离可转化为点B到平面AB1D1的距离. 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示: (2)(教材提升·例4)(2023·济南高二检测)矩形ABCD所在平面与等腰梯形ACEF所在平面互相垂直,EF∥AC,EF=AC,直线AF与平面ABCD所成角为60°,EF=AB=2. ①求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值; ②线段AF上任意一点到平面BDE的距离是否为定值? 如果是,则求出定值,否则说明理由. 【思路导引】①建立空间直角坐标系,结合题意可求得相关点坐标,进而求得平面BDE与平面ABCD的法向量,根据空间角的向量求法可得答案; ②根据线面平行的判定定理可证明AF∥平面BDE,从而可判断线段AF上任意一点到平面BDE的距离为定值,利用空间距离的向量求法可求得定值. 【解析】①过点F作FG⊥AC,垂足为G, 因为平面ACEF⊥平面ABCD,平面ACEF∩平面ABCD=AC,FG⊂平面ACEF, 故FG⊥平面ABCD,则∠FAG为直线AF与平面ABCD所成角,即∠FAG=60°, 过点C作平面ABCD的垂线为z轴,以CD,CB为x,y轴,建立空间直角坐标系, 因为EF=AC,EF=AB=2, 所以AC=4,BC===2, 在等腰梯形ACEF中,AF==2, 【总结升华】 线面距离与面面距离的求解思路 (1)求相互平行的直线与平面间的距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可. (2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可. 注意:求空间的各种距离的关键点是合理化和准确计算,选择点的时候一般选取相关线段的端点或已知的其他的点. 【即学即练】 1.(2022·黄山高二检测)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC上的一点,F为CD的中点,若点E到平面AB1F的距离为1,则线段CE的长度为(　　) A.1 B. C. D.2 2.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的棱DA,DC和DD1的长分别为1,2,1.求: (1)顶点B到平面DA1C1的距离; (2)直线B1C到平面DA1C1的距离. 3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,求平面AMN与平面EFBD间的距离. 【解析】如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz, 则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0), E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4). 【教材拓展】 异面直线的距离 射影法求异面直线的距离:分别以这两条异面直线上任意两点为起点和终点的向量为a,与这两条异面直线都垂直的法向量为n,则两条异面直线间的距离是a在n方向上的正射影向量的模,设为d,从而由公式d=求解. [例5]如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AB=a, PB=PD=a,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,求异面直线PB与CE的距离. 提示:已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.在Rt△APQ中,由勾股定理,得PQ==. 【解析】选A.根据题意可知,点A关于xOy平面对称的点C的坐标为C; 又B,可得=, 所以B,C两点间的距离为==6. 类型一　求空间中两点之间的距离(逻辑推理、数学运算) [例1](1)(2023·丹东高二检测)空间直角坐标系中,已知A,B,点A关于xOy平面对称的点为C,则B,C两点间的距离为 (　　) A.6 B.2 C.2 D. (2)如图,二面角α-l-β等于120°,A,B是棱l上两点,BD,AC分别在半平面α,β 内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=BD=2,则CD 的长等于 (　　) A.2 B. C.4 D.5 【解析】选C.由二面角的平面角的定义知<,>=120°,·=cos<,>=2×2×cos120°=-2,由AC⊥l,BD⊥l,得·=0,·=0,=++,==+++2·+2·+2· =22+22+22-2·=12-2×(-2)=16,所以=4,即CD=4. 【总结升华】 计算两点间的距离的两种方法 (1)利用=a·a,通过向量运算求,如求A,B两点间的距离,一般用==求解. (2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离),此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系. 【即学即练】 1.(2023·潍坊高二检测)三个平面两两垂直,它们交于一点O,空间一点P到三个面的距离分别为,和2,则点P到顶点O的距离为 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】选A.构造以OP为体对角线的长方体, 则=++,且,,两两垂直, 且| |=,| |=,| |=2, 故==++ =2+3+20=25,所以OP=5. 【解析】因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,BC⊥AB,BC⊂平面ABCD, 所以BC⊥平面ABEF,则以B为坐标原点,,,为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(2,0,0),C(0,0,2),F(2,2,0),E(0,2,0), 因为CM=BN=a, 所以M(,0,2-),N(,,0), 所以MN==(0<a<2); 则MN==, 所以当a=时,MN最小,最小值为. 答案: 【解析】设=p,=q,=r, 由题意可知,|p|=|q|=|r|=1, 且p,q,r三个向量两两夹角均为60°, =-=-=(q+r-p), 所以||2=·=·(q+r-p) =[q2+r2+p2+2(q·r-q·p-r·p)] =×2=, 所以||=,即MN的长为. 答案: 【解析】方法一:以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,如图. 则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),=(1,-2,1),=(1,0,-2). 所以||==, ·=1×1+0×(-2)+(-2)×1=-1, 所以在上的投影的长为=. 所以点A到直线EF的距离d===. 方法二:以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,如图. 则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),=(1,-2,1), 设点G,且满足=λ,⊥, 则=(x,y-2,z-1)=λ(1,-2,1)=(λ,-2λ,λ), 所以G(λ,2-2λ,1+λ),所以=(λ-2,2-2λ,1+λ), 由·=0得λ=,=, ==, 即点A到直线EF的距离为. 【解析】选D.如图建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),D(0,1,0),E(1,,0), 所以=(0,1,-1),=(1,-,0), 所以||=,||=,==-, 所以点E到直线PD的距离是==. 【解析】选D.如图,建立空间直角坐标系, 则A1(1,0,1),C1(0,1,1), 设P(x,0,1-x),0≤x≤1, 则=(x-1,0,-x),=(-1,1,0), 所以动点P到直线A1C1的距离为 d== ==≥, 当x=时取等号,即线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为. 【解析】因为P(-1,1,-1),A(4,1,-2), 所以=(5,0,-1),又m=(1,,-1), 所以cos<m,>===, 所以sin<m,>==,又||=, 所以点P到直线l的距离为||sin<m,>=×=. 答案: 于是PC1⊂平面BMNC1, 又P在侧面ADD1A1上, 所以点P的轨迹是线段MN,轨迹长为; 以点D为原点建立空间直角坐标系, 则M(1,0,),N(,0,1),A(1,0,0),F(0,1,), 则=(-,0,),= (0,0,), =(-1,1,), 令=t=(-t,0,t), 则有=+=(-t,0,), ·=,==t+, 故点P到直线AF的距离 d===≥, 当且仅当t=0时取等号, 所以点P到直线AF的距离的最小值为. 答案:　 【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系, D(0,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),A(2,0,0),M(,2,0),=(2,2,0), 设平面APM的法向量为n=(x,y,z), =(2,0,-2),=(,-2,0),于是有⇒⇒n=(,1,2), cos<,n>===, 所以直线BD与平面APM所成角的正弦值为; (2)由(1)可知平面APM的法向量为n=(,1,2),=(0,0,2),d==, 所以D到平面APM的距离为. 由正方体的棱长为1,所以A(1,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),C(0,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1), 所以=(1,-1,1),=(0,-1,0), =(0,1,1),=(-1,-1,0). 连接A1C,由·=(1,-1,1)·(0,1,1)=1×0+(-1)×1+1×1=0, ·=(1,-1,1)·(-1,-1,0)=1×(-1)+(-1)×(-1)+1×0=0, 所以⊥⇒CA1⊥AB1,⊥⇒CA1⊥B1D1,且AB1∩B1D1=B1, 可知CA1⊥平面AB1D1,得平面AB1D1的一个法向量为=n=(1,-1,1), 则两平面间的距离:d====. 则C(0,0,0),B(0,2,0),E(,,),D(2,0,0),=(2,-2,0),= (-,,), 设平面BDE的法向量为n1=(x,y,z), 则, 令x=,则y=1,z=1, 故n1=(,1,1), 平面ABCD的一个法向量可取为n2=(0,0,1), 故cos<n1,n2>===, 故平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值为. ②设AC,BD交于点H,连接EH, 因为AH∥EF,且AH=AC=EF,故四边形AHEF为平行四边形, 则AF∥EH,AF⊄平面BDE,EH⊂平面BDE, 故AF∥平面BDE, 所以线段AF上任意一点到平面BDE的距离为定值, 又A(2,2,0),=(0,-2,0), 故A点到平面BDE的距离为d===, 即定值为. 【解析】选A.以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),F(0,1,0),B1(2,2,2), 设CE=a(0≤a≤2),则E(a,2,0),=(0,2,2),=(-2,1,0),=(a-2,2,0). 设n=(x,y,z)为平面AB1F的一个法向量, 则 令x=1,得y=2,z=-2,所以n=(1,2,-2). 则点E到平面AB1F的距离为d===1,解得a=1,所以线段CE的长度为1. 【解析】(1)以点D为原点,分别以,与为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系. 则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,1),B1(1,2,1),C1(0,2,1),D1(0,0,1). 设平面DA1C1的一个法向量为n=(x,y,z),所以n⊥,n⊥.因为=(1,0,1),=(0,2,1),由得不妨取y=1,则n=(2,1,-2).而=(1,0,-1), 所以B到平面DA1C1的距离d===; (2)直线B1C到平面DA1C1的距离等于B1到平面DA1C1的距离. 因为=(1,0,0),所以B1到平面DA1C1的距离d1===. 从而=(2,2,0),=(2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,0,4), 所以=,=, 所以EF∥MN,AM∥BF, EF∩BF=F,MN∩AM=M, 所以平面AMN∥平面EFBD. 设n=(x,y,z)是平面AMN的一个法向量, 从而 解得 取z=1,得n=(2,-2,1),由于=(0,4,0), 所以在n上的投影的长为==. 所以两平行平面间的距离d==. 【解析】连接BD,由PE∶ED=2∶1知,在BD上取点F使BF∶FD=2∶1,连接CF,EF,易知PB∥EF,从而PB∥平面CEF,于是只需求直线PB到平面CEF的距离,即可求点P到平面CEF的距离.以A为坐标原点,AD为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,由已知,P(0,0,a),C(a,a,0),F(a,a,0),E(0,a,a), 则=(0,a,-a),=(-a,a,a),=(-a,0,0). 设平面CEF的法向量为n=(x,y,z), 则 所以 于是令x=0,y=-2,z=1, 则n=(0,-2,1). 所以PB与平面CEF间的距离d===a,从而异面直线PB与CE的距离为a. $$