精品解析：2024年辽宁省初中毕业升学考试数学预测试题

辽宁省2024年初中毕业升学考试数学预测考向卷 参考公式：抛物线顶点坐标为 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（　　） A. 3 B. ﹣3 C. D. 2. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标是，则点P在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 爱达·魔都号，是中国第一艘国产大型邮轮，全长米，总吨位为万吨，可搭载乘客5246人．将万用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一次函数的图象过点，则当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长是（    ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 8. 苯丙酮尿症是常染色体上隐性基因控制的遗传病，主要表现为智力发育落后，生长发育受限和精神异常等．苯丙酮尿症由一对基因控制，体内由成对基因、控制的个体是正常的，而体内由成对基因控制的个体患病．设母亲和父亲的基因是，那么他们的孩子不患苯丙酮尿症的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为54cm，宽为27cm的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是11：20，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少cm？设边框的宽度为xcm，下列符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线．分别交于点D，E，连接．若，则等于（ ） A B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中自变量x的取值范围是_________． 12. 九年级（1）班要从甲、乙、丙、丁四名同学中推选一人参加学校的魔方复原挑战赛，他们5场三阶魔方复原测试成绩的平均数（单位：秒）及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 x 25 25 20.5 20 2 1.6 2.5 1.5 根据测试结果，要从中选择一名成绩好且发挥稳定选手参赛，应选择_______． 13. 如图，是的直径，点，是上的两点．若则的度数是_______． 14. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．当点，，在同一条直线上时，则的大小是_________． 15. 如图，在矩形中，，，点E是的中点，点F在上，，点P是矩形边上一动点．若点P从点F出发，沿的路线运动，当时，的长是_________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：． （2）化简： 17. 我市某校为了落实“阳光体育活动”，在八年级开展了篮球赛．比赛规则是：八年级10个班级每个班级派出一支队伍参赛，赛制采用的是单循环积分赛（每个班级都与其他9个班级进行一场比赛），胜一场记2分，负一场记1分，然后按照积分高低进行排名．赛程过半，小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分． （1）求小明所在班级胜、负的场次各是多少； （2）根据分析，总积分超过15分才能确保进入前两名，小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得几场胜利？ 18. 年月日“中国航天日”主场活动在武汉举行，今年的主题是“极目楚天，共襄星汉”，这是自年以来的第九个“中国航天日”．在武汉举行的主场活动，包括启动仪式、中国航天大会、航天科普系列展览等多项内容．为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：．；．；．；．；．．已知组的数据为．根据以上数据，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了_______名学生，其中成绩在组的有________名学生． （2）在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数是________． （3）随机抽取这部分学生的成绩的中位数是________分． （4）该校要对成绩在E组学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校名学生中获得一等奖的学生人数． 19. 智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． （1）当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； （2）加热一次，求水温不低于的时间． 20. 如图1，绿植是家中最常见的装饰品之一，它不仅能够美化家居环境，还能净化空气，调节湿度，然而，将绿植放在空调出风口附近会对它的生长造成影响．如图2是小聪家客厅横截面示意图，将空调近似地看作，绿植近似地看作、已知客厅横截面是一个矩形，客厅的高，两面墙之间的距离，绿植的高是1.2m，空调出风口到地面的距离，可以通过调节挡风板控制空调出风口向下吹风的角度，，与地面平行． （1）当时，请通过计算判断绿植能否避开空调直接吹送出的风．（参考数据：，，） （2）如图3，若小聪发觉空调的遥控器坏了，无法调节空调出风口吹风的角度，求小聪需将绿植向点B处至少移动多少米才能让绿植避开空调直接吹送的风．（结果保留两位小数．参考数据：，） 21. 如图，内接于，，，连接并延长，交于点，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若求的长． 22. 如图，在矩形中，，点为射线上一点（点不与点重合），将沿折叠，得到直线与直线交于点． （1）如图1，当点与点关于直线对称时，若， ①求证： ②求的长． （2）当点E在矩形外时，若如图2，当点在线段上时，求的长． （3）如图3，当点在线段的延长线上时，若（2）中其他条件不变，请直接写出的长． 23. 如图1，垂直于轴的直线与抛物线相交于，两点，我们把线段称为抛物线的“碗宽”．例如，当，，时，直线与抛物线相交于，两点，则就是抛物线的“碗宽”． （1）抛物线的“碗宽”长为_______；抛物线的“碗宽”长为______；抛物线的“碗宽”长为________；抛物线的“碗宽”长为_______．（后两空均用含的式子表示） （2）抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，两条抛物线与直线的交点按从左往右的顺序依次是点，，，，若点在点的左侧且不是抛物线的“碗宽”． ①如图2，当，两点重合时，求，两点之间的距离． ②如图3，当，两点不重合时，求与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省2024年初中毕业升学考试数学预测考向卷 参考公式：抛物线顶点坐标为 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（　　） A. 3 B. ﹣3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数． 【详解】解：的相反数为﹣． 故选：D． 【点睛】本题考查了相反数的概念，求一个数的相反数只要改变这个数的符号即可． 2. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间有一个小正方形， 故选：A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 3. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标是，则点P在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，根据平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，即可求解． 【详解】解：∵点P的坐标为， ∴点P第二象限内． 故选B． 4. 爱达·魔都号，是中国第一艘国产大型邮轮，全长米，总吨位为万吨，可搭载乘客5246人．将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：万． 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的加法的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，积的乘方和幂的乘方运算法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式的加减法，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 6. 如图，一次函数的图象过点，则当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据函数图象找到当时，自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知y随x增大而减小，则当时，的取值范围是， 故选：A． 7. 如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长是（    ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】∵E、F分别是、的中点 ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长为． 故选：D． 8. 苯丙酮尿症是常染色体上隐性基因控制的遗传病，主要表现为智力发育落后，生长发育受限和精神异常等．苯丙酮尿症由一对基因控制，体内由成对基因、控制的个体是正常的，而体内由成对基因控制的个体患病．设母亲和父亲的基因是，那么他们的孩子不患苯丙酮尿症的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率．列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： A a A AA Aa a Aa aa 共有4种等可能的情况数，其中孩子不患苯丙酮尿症的情况数是3， 则他们有正常孩子的概率是， 故选：D． 9. 《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为54cm，宽为27cm的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是11：20，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少cm？设边框的宽度为xcm，下列符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程，分别表示装裱后的长和宽，再根据比例列出方程即可． 【详解】装裱后的长为cm，宽为cm，根据题意，得 ． 故选：D． 10. 如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线．分别交于点D，E，连接．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由垂直平分线的性质和直角三角形的性质，求出，然后求出的度数． 【详解】解：根据题意，MN垂直平分AB， ∴点D是AB的中点，∠BDE=90°， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中自变量x的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可解答． 【详解】解：根据题意得：3x-4≥0， 解得x≥． 故答案为：x≥． 【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足被开方数非负． 12. 九年级（1）班要从甲、乙、丙、丁四名同学中推选一人参加学校的魔方复原挑战赛，他们5场三阶魔方复原测试成绩的平均数（单位：秒）及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 x 25 25 20.5 20 2 1.6 2.5 1.5 根据测试结果，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的选手参赛，应选择_______． 【答案】丁 【解析】 【分析】本题重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据平均数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度即可解决． 【详解】解：从平均数来看，丁的平均数最小，成绩最好， ∵从方差来看，丁的方差最小， ∴丁成绩最稳定， ∴成绩较好且发挥稳定的是丁， 故答案为：丁． 13. 如图，是的直径，点，是上的两点．若则的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆内接四边形性质、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握圆内接四边形性质、圆周角定理是解决问题的关键．连接，如图所示，由圆内接四边形性质得到，再由直径所对的圆周角是直角及直角三角形性质即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是圆内接四边形， ， 是的直径， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．当点，，在同一条直线上时，则的大小是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，邻补角，等边对等角．熟练掌握旋转的性质，等边对等角是解题的关键． 由旋转的性质可得，，，由三点共线，可知，根据，计算求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，点E是中点，点F在上，，点P是矩形边上一动点．若点P从点F出发，沿的路线运动，当时，的长是_________． 【答案】4或8##8或4 【解析】 【分析】如图，连接，取的中点O，连接．以O为圆心，的长度为半径画，只要证明，即可推出，解决问题． 【详解】解：如图，连接，取的中点O，连接． ∵四边形是矩形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵O是的中点， ∴， ∵点E是的中点， ∴是梯形的中位线， ∴． 以O为圆心，的长度为半径画，则经过点A、点D和点F． ∵ ∴， ∴． ∴， ∴， 故答案为：4或8． 【点睛】本题考查矩形的性质、锐角三角函数、圆周角定理的推论、梯形中位线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：． （2）化简： 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先算乘方，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，再算加减即可； （2）先算括号里的运算，能分解的因式进行分解，除法转为乘法，最后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17. 我市某校为了落实“阳光体育活动”，在八年级开展了篮球赛．比赛规则是：八年级10个班级每个班级派出一支队伍参赛，赛制采用的是单循环积分赛（每个班级都与其他9个班级进行一场比赛），胜一场记2分，负一场记1分，然后按照积分高低进行排名．赛程过半，小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分． （1）求小明所在班级胜、负的场次各是多少； （2）根据分析，总积分超过15分才能确保进入前两名，小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得几场胜利？ 【答案】（1）小明所在的班级胜4场，负1场 （2）小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得3场胜利 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．（1）设小明所在班级胜了场，负了场，根据小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设小明的班级在剩下的比赛中还要胜场，根据总积分超过15分才能确保进入前两名，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设小明所在的班级胜场，负场，依题意得 解得， 答：小明所在的班级胜4场，负1场． 【小问2详解】 设小明的班级在剩下的比赛中还要胜场，依题意得 解得， 为正整数， 答：小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得3场胜利． 18. 年月日“中国航天日”主场活动在武汉举行，今年的主题是“极目楚天，共襄星汉”，这是自年以来的第九个“中国航天日”．在武汉举行的主场活动，包括启动仪式、中国航天大会、航天科普系列展览等多项内容．为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：．；．；．；．；．．已知组的数据为．根据以上数据，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了_______名学生，其中成绩在组的有________名学生． （2）在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数是________． （3）随机抽取的这部分学生的成绩的中位数是________分． （4）该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校名学生中获得一等奖的学生人数． 【答案】（1）； （2） （3） （4）名 【解析】 【分析】（1）用组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数；用总人数减去四个组的人数得到组的人数，即可补全频数分布直方图； （2）用乘以组所占的百分比即可； （3）将抽取的学生数据按顺序排列，居于中间位置的数就是中位数； （4）根据一等奖的人数占抽取样本的比例求出该校一等奖的人数即可． 【小问1详解】 根据频数分布直方图和扇形统计图组的情况，可知本次随机抽查的人数为：（人） 组的人数为（人） 故答案为：； 【小问2详解】 扇形统计图中，组所在扇形圆心角为： 故答案为：； 【小问3详解】 随机抽取了人 中位数是第和第中间的人 根据题意，第名和第名学生的成绩分别为：， 中位数是： 故答案为： 【小问4详解】 （名） 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图、抽样调查以及中位数，正确读懂统计图是解题的关键． 19. 智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． （1）当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； （2）加热一次，求水温不低于的时间． 【答案】（1） （2）加热一次，水温不低于的时间为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用． （1）待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出的值，即可； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点代入，得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，， ， ∴与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时，设一次函数的表达式为， 将点代入一次函数的表达式，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 令，则； 在降温过程中，当水温为时，有，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 20. 如图1，绿植是家中最常见的装饰品之一，它不仅能够美化家居环境，还能净化空气，调节湿度，然而，将绿植放在空调出风口附近会对它的生长造成影响．如图2是小聪家客厅横截面示意图，将空调近似地看作，绿植近似地看作、已知客厅横截面是一个矩形，客厅的高，两面墙之间的距离，绿植的高是1.2m，空调出风口到地面的距离，可以通过调节挡风板控制空调出风口向下吹风的角度，，与地面平行． （1）当时，请通过计算判断绿植能否避开空调直接吹送出的风．（参考数据：，，） （2）如图3，若小聪发觉空调的遥控器坏了，无法调节空调出风口吹风的角度，求小聪需将绿植向点B处至少移动多少米才能让绿植避开空调直接吹送的风．（结果保留两位小数．参考数据：，） 【答案】（1）绿植能避开空调直接吹送出的风，见解析 （2）小聪需将绿植向点处至少移动才能让绿植避开空调直接吹送的风 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质及解直角三角形的应用， （1）分别延长，交于点，，先证明四边形是矩形，得出，，求出，进而求出即可解决； （2）分别延长，交于点，，把绿植平移至处，使恰好经过点，过点作于点，证明四边形是矩形，求出，进而求出，即可求出结论； 【小问1详解】 解：如图1，分别延长，交于点，， 四边形是矩形， ，，，， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， ， 绿植能避开空调直接吹送出的风； 【小问2详解】 如图2，分别延长，交于点，，把绿植平移至处，使恰好经过点，过点作于点， 由（1）可知四边形是矩形，则 ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 中，， ， ， ， 答：小聪需将绿植向点处至少移动才能让绿植避开空调直接吹送的风 21. 如图，内接于，，，连接并延长，交于点，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，则，即，，由圆周角定理得，则，，即； （2）由（1）可知，，则，，由，可得，即，，由，可得，根据，求解作答即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，含的直角三角形，正切等知识．熟练掌握切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，含的直角三角形，正切是解题的关键． 22. 如图，在矩形中，，点为射线上一点（点不与点重合），将沿折叠，得到直线与直线交于点． （1）如图1，当点与点关于直线对称时，若， ①求证： ②求的长． （2）当点E在矩形外时，若如图2，当点在线段上时，求的长． （3）如图3，当点在线段的延长线上时，若（2）中其他条件不变，请直接写出的长． 【答案】（1）①见解析；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①折叠得到，对称得到，，进而推出，锐角三角函数得到，得到，推出，即可得出结论；②设，得到，根据，得到，构建方程求出的值即可； （2）连接，在中，勾股定理求出，在中，勾股定理求出，设，在中，勾股定理求出的值，即可得出结果； （3）连接，同法（2）利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 ①证明：根据题意，得． 点与点关于直线对称， ，． ． ， ． 四边形是矩形， ． 在中， ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ②解：由①得． 设，则． ， ． ． ． ． ． 【小问2详解】 解：如图1，连接． ， ． 在中，由勾股定理，得． ． 四边形是矩形， ． ． 由折叠的性质，可知． 在中，由勾股定理，得． 设，则，． 在中，由勾股定理，得，即． ． ． 【小问3详解】 的长是． 如图2，连接． ，， ． 在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得． 设，则，． 在中，由勾股定理，得，即． ． ． 【点睛】本题考查矩形与折叠，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键． 23. 如图1，垂直于轴的直线与抛物线相交于，两点，我们把线段称为抛物线的“碗宽”．例如，当，，时，直线与抛物线相交于，两点，则就是抛物线的“碗宽”． （1）抛物线的“碗宽”长为_______；抛物线的“碗宽”长为______；抛物线的“碗宽”长为________；抛物线的“碗宽”长为_______．（后两空均用含的式子表示） （2）抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，两条抛物线与直线的交点按从左往右的顺序依次是点，，，，若点在点的左侧且不是抛物线的“碗宽”． ①如图2，当，两点重合时，求，两点之间的距离． ②如图3，当，两点不重合时，求与之间的数量关系． 【答案】（1）2，2 ，， （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）由“碗宽”定义，列方程求解即可得到答案； （2）①由“碗宽”定义，得到，，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点，，连接，如图1所示，由矩形判定与性质求解即可得到答案；②由题意，结合①分三种情况求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：直线与抛物线相交，即，解得，， ； 直线与抛物线相交，即，解得，， ； 直线与抛物线相交，即，解得， ； 直线与抛物线相交，即，解得， ； 故答案为：2，2 ，，； 【小问2详解】 解：①抛物线的“碗宽”为， ，， 分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点，，连接，如图1所示： 图1 由二次函数的对称性可知，，， ，即， 点，的纵坐标相等， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ； ②Ⅰ、当，分别为抛物线和的“碗宽”时，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，，连接，如图2所示： 图2 ，， ，， ， 由①可知，四边形是矩形， ，即； Ⅱ、当，分别为抛物线和的“碗宽”时，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，，连接，如图3所示： 图3 ，， ，， ， 由①可知，四边形是矩形， ，即； Ⅲ、当抛物线继续沿轴水平向左移动或抛物线沿轴水平向右移动时，不符合题意，舍去； 综上所述，与之间的数量关系是或 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及函数新定义、二次函数图象与性质、解一元二次方程、矩形判定与性质、二次函数图象平移等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、矩形判定与性质，数形结合是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$