17.5 反证法-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学设计（冀教版）河北专版

课时目标 1.通过实例体会反证法的含义. 2.掌握反证法证明命题的一般步骤,能用反证法进行简单的推理证明. 3.借助实例感受反证法的思想. 学习重点 从生活实例中体会反证法的方法步骤. 学习难点 能用反证法进行简单的推理证明. 课时活动设计 导入新课 在证明一些命题为真命题时,一般用直接证明的方法,但有时用间接的证明方法可能更方便.反证法就是一种常用的间接证明方法. 设计意图:开门见山,直接引出本节课所学. 探究新知 在第九章中,我们已经知道“一个三角形中最多有一个直角”这个结论.怎样证明它呢? 思考:该命题直接去证明,显然比较麻烦,所以,我们如何去证明呢? 学生初步说出解决问题的思路,假设有两个直角的时候,不满足三角形的内角和定理,此时,教师可做出示范,引出本节课所学内容. 已知:如图,△ABC. 求证:在△ABC中,如果它含直角,那么它只能有一个直角. 证明:假设在△ABC中,有两个(或三个)直角,不妨设∠A=∠B=90°. ∵∠A+∠B=180°, ∴∠A+∠B+∠C>180°. 这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾. 因此,三角形有两个(或三个)直角的假设是不成立的. 所以,如果三角形含直角,那么它只能有一个直角. 设计意图:通过学生思考,教师规范过程,让学生初步感受反证法的一般过程. 归纳总结 同学们,观察老师的写题思路,上面的证明过程,是先假设原命题结论不正确,然后从这个假设出发,经过逐步推理论证,最后推出与学过的三角形内角和定理相矛盾的结果,因此,假设是错误的,原结论是正确的. 这种证明命题的方法叫做反证法. 现在你能总结反证法的一般思路吗? 学生思考,说出自己的想法,最后教师总结. 用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤: 第一步,假设命题的结论不成立. 第二步,从这个假设和其他已知条件出发,经过推理论证,得出与学过的概念、基本事实,已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果. 第三步,由矛盾的结果,判定假设不成立,从而说明命题的结论是正确的. 设计意图:学生独立思考,加深学生对反证法的理解. 典例精讲 例1　用反证法证明平行线的性质定理一:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等. 已知:如图,直线AB∥CD,直线EF分别与直线AB,CD交于点G,H,∠1和∠2是同位角. 求证:∠1=∠2. 思考:应该假设什么? 证明:假设∠1≠∠2. 过点G作直线MN,使得∠EGN=∠1. ∵∠EGN=∠1,∴MN∥CD(基本事实). 又∵AB∥CD(已知), ∴过点G有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行, 这与“经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾. ∴∠1≠∠2的假设是不成立的. 因此,∠1=∠2. 例2　用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'. 求证:△ABC≌△A'B'C'. 证明:假设△ABC与△A'B'C'不全等,即BC≠B'C'. 不妨设BC<B'C'.如图.在B'C'上截取C'D=CB,连接A'D. 在△ABC和△A'B'C'中, ∵AC=A'C',∠C=∠C',CB=C'D, ∴△ABC≌△A'DC'(SAS). ∴AB=A'D(全等三角形的对应边相等). ∵AB=A'B'(已知), ∴A'B'=A'D(等量代换). ∴∠B'=∠A'DB'(等边对等角). ∴∠A'DB'<90°(三角形的内角和定理), 即∠C'<∠A'DB'<90°(三角形的外角大于和它不相邻的内角). 这与∠C'=90°相矛盾. 因此,BC≠B'C'的假设不成立,即△ABC与△A'B'C'不全等的假设不成立. 所以,△ABC≌△A'B'C'. 设计意图:让学生利用反证法对以前的知识进行证明,加深学生对反证法的理解. 巩固训练 1.用反证法证明: (1)如果a·b=0,那么a,b中至少有一个等于0. (2)两条直线相交,有且只有一个交点. 证明:(1)假设a≠0且b≠0,则ab≠0,与ab=0相矛盾. ∴假设不成立.∴a=0或b=0. (2)假设直线a与直线b相交没有交点或有两个及两个以上交点. 若直线a与直线b没有交点,则直线a与直线b平行,与两直线相交矛盾; 若直线a与直线b有两个及两个以上交点,根据两点确定一条直线,可知直线a与直线b重合,与两条直线相交矛盾,综上,假设不成立,所以直线a与直线b有且只有一个交点. 2.已知:直线a⊥b,直线c与b相交,且c与b不垂直.用反证法证明:a与c相交. 证明:假设直线a与c不相交,即a∥c. ∵a⊥b,a∥c, ∴b⊥c. 这与已知直线c与b不垂直相矛盾, ∴假设a与c不相交不成立. ∴a与c相交. 设计意图:学生通过习题的练习,能够熟练利用反证法解决问题. 课堂小结 反证法证明的一般步骤: 第一步,假设命题的结论不成立. 第二步,从这个假设和其他已知条件出发,经过推理论证,得出与学过的概念、基本事实,已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果. 第三步,由矛盾的结果,判定假设不成立,从而说明命题的结论是正确的. 设计意图:通过对本节课所学内容的归纳总结,加深学生对所学知识的理解和掌握,培养学生归纳、总结能力. 随堂小测 1.“a<b”的反面应是(　D　) A.a≠b　　　　　B.a>b　　　　　C.a=b　　　　　D.a=b或a>b 2.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”,第一步应假设(　B　) A.三角形中至少有一个直角或钝角 B.三角形中至少有两个直角或钝角 C.三角形中没有直角或钝角 D.三角形中三个角都是直角或钝角 3.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”,应先假设这个三角形中(　B　) A.有一个内角小于60° B.每一个内角都小于60° C.有一个内角大于60° D.每一个内角都大于60° 4.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角,那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是　假设如果一个三角形没有两个相等的角,那么这个三角形是等腰三角形　.  5.完成下列证明.在△ABC中,如果∠C是直角,那么∠B一定是锐角. 证明:假设结论不成立,则∠B是　直角　或　钝角　.  当∠B是　直角　时,则　∠A+∠B+∠C>180°　,这与　三角形的内角和等于180°　矛盾;  当∠B是　钝角　时,则　∠A+∠B+∠C>180°　,这与　三角形的内角和等于180°　矛盾.  综上所述,假设不成立. ∴如果∠C是直角,那么∠B一定是锐角. 设计意图:当堂训练,当堂检测,查漏补缺. 课堂8分钟. 1.教材第164页习题第1,2题. 2.七彩作业. 17.5　反证法 　 反证法证明的一般步骤: 第一步,假设命题的结论不成立. 第二步,从这个假设和其他已知条件出发,经过推理论证,得出与学过的概念、基本事实,已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果. 第三步,由矛盾的结果,判定假设不成立,从而说明命题的结论是正确的. 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$