14.1 平方根-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学设计（冀教版）河北专版

第1课时　平方根 课时目标 1.了解数的平方根的概念,会用根号表示一个数的平方根. 2.了解开平方与平方是互逆运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根. 学习重点 探索平方根的概念,掌握平方根的性质. 学习难点 会用根号表示一个数的平方根. 课时活动设计 情境引入 小明家有一块面积为100 m2的正方形花圃.花圃周围要用护栏围起来,需要护栏多少米? 要求出护栏的长,需要知道正方形花圃的边长. 求花圃的边长就是已知一个数的平方等于100,求这个数. 我们已经学习了有理数的加、减、乘、除和乘方的运算,知道加与减、乘与除互为逆运算,那么乘方是否也有一种对应的逆运算呢? 类比加与减、乘与除的互逆运算的探究过程,已知一个数,我们就可以求出这个数的平方,反过来,如果已知某个数的平方,能否求出这个数呢?让我们带着问题一起走进今天的新课——平方根. 设计意图:复习回顾旧知识,通过实例提出问题,为学新知识作铺垫. 探究新知 探究1　平方根的概念 做一做 (1)和-的平方等于多少?10和-10的平方等于多少? (2)平方等于的数有哪些?平方等于100的数呢? (3)满足x2=25的x的值是多少? 解:(1);100. (2),-;10,-10. (3)5,-5. 通过做题,思考:这三个问题之间有什么关系?你能总结出平方根的概念吗? 学生讨论并回答,教师补充. 总结:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根. 探究2　平方根的性质及表示方法 填写下表: x … -3 - -1 0 1 3 … x2 … 9      1 0　 1     9  … 　　通过观察填写后的表格,思考: (1)当一个正数和一个负数互为相反数时,它们的平方有什么关系? (2)正数的平方根有几个,它们之间有什么关系? (3)0有平方根吗?如果有,它是什么数? (4)负数有平方根吗? 学生小组交流、讨论,请学生代表发言,教师进行总结. 总结:一个正数有两个平方根,它们互为相反数. 0只有一个平方根,是0本身. 负数没有平方根. 一个正数有两个平方根:一个正数,一个负数.我们把正数a的正的平方根用符号“”表示,读作“根号a”;把正数a的负的平方根用符号“-”表示,读作“负根号a”. 正数a的两个平方根记为±,其中,a称为被开方数. 探究3　平方与开平方之间的区别与联系 1.观察框图,说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系. 我们可以借助平方运算来求一个正数的平方根. 2.开平方的概念:我们把求一个数的平方根的运算,叫做开平方. 如:因为(±5)2=25,所以25的平方根为±5,即±=±5. 所以±也表示为25的开平方运算. 总结:对于正数来说,开平方与平方互为逆运算. 设计意图:通过“做一做”,学生初步感受数与其平方数之间的对应关系,在对这种特殊的对应关系有了一定认识的基础上,总结出平方根的概念.通过具体实例,教师引导学生认识平方根的性质.对比平方和开平方的符号语言,使学生初步认识开平方与平方互为逆运算. 典例精讲 例　求下列各数的平方根: (1)81;　　　　　(2);　　　　　(3)0.04. 解:(1)因为(±9)2=81,所以81的平方根为±9,即±=±9. (2)因为=,所以的平方根为±,即± = ±. (3)因为(±0.2)2=0.04,所以0.04的平方根为±0.2,即± = ±0.2. 设计意图:通过例题,学生掌握平方根的计算方法,强化对平方根概念的理解,规范学生解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性. 巩固训练 1.5的平方根是　±　.  2.如果-4是某个数的一个平方根,那么这个数是　16　.  3.若x2=2 0162,则x=　±2 016　.  设计意图:通过练习,学生熟练掌握平方根的运算方法,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力. 课堂小结 1.平方根的概念是什么? 2.平方根的性质有哪些? 3.平方与开平方之间有什么区别和联系? 设计意图:通过小结,学生梳理本节课的内容,提高学生的语言概括能力和发散思维能力. 课堂8分钟. 1.教材第62页练习第1,2,3题,习题A组第1,2,3,4题,B组第1,2题. 2.七彩作业. 教学反思 第2课时　算术平方根 课时目标 1.了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根. 2.会求非负数的算术平方根,掌握算术平方根的非负性. 3.知道表示的是非负数a的算术平方根. 学习重点 了解算术平方根的概念,会求一个非负数的算术平方根. 学习难点 平方根与算术平方根之间的区别和联系. 课时活动设计 情境引入 学校要举行美术作品比赛,小美想裁出一块面积为9 dm2的正方形画布,临摹自己最喜欢的作品参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少分米? 设计意图:通过现实生活情境,提出问题,引起学生的兴趣,增强好奇心,为新课学习作铺垫. 探究新知 探究1　算术平方根的概念 上一个教学活动中的问题应该怎样解决?请同学们分小组进行交流. 分析:根据题干的描述,我们可以知道正方形画布的边长的平方等于9.假设正方形画布的边长为a,则a2=9,所以a=±3,而正方形画布的边长应该大于0,故a=3. 由于面积的不变性和边长大于0的特点,这道题就变成了求一个正数,使得这个正数的平方等于9.这个正数称为9的算术平方根. 教师引导学生总结出算术平方根的概念. 算术平方根的概念:一个正数的两个平方根互为相反数.我们把一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根. 当求得一个正数的算术平方根后,它的负的平方根可相应求得. 例如,9的算术平方根为3,它的负的平方根就是-3,即=3,-=-3. 的算术平方根为,它的负的平方根就是-,即 = ,- = -. 0的平方根只有一个,就是0,我们也说0的算术平方根为0,即=0. 探究2　算术平方根的性质 一个正数的算术平方根有几个?0的算术平方根有几个?是什么数?-1有算术平方根吗?负数有算术平方根吗? 学生思考、交流并总结. 总结:一个正数的算术平方根有一个;0的算术平方根有一个,是0;-1没有算术平方根,负数没有算术平方根. 知识拓展　平方根与算术平方根的区别和联系 区别:(1)概念不同.如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根;非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根. (2)表示方法不同.正数a的平方根表示为±,正数a的算术平方根表示为. (3)个数及取值不同.一个正数的算术平方根只有一个,是正数;一个正数的平方根有两个,一正一负且互为相反数. 联系:(1)具有包含关系.平方根包含算术平方根,一个数的算术平方根是一个数的平方根中正的一个. (2)存在条件相同.平方根和算术平方根都只有非负数才有. (3)0的平方根、算术平方根都是0. (4)求算术平方根、平方根都可看成是平方的逆运算. 设计意图:通过解决情境引入的问题,引出算术平方根的概念,学生通过思考、归纳、概括得出算术平方根的性质,学生通过对比平方根与算术平方根的区别和联系,能够理解并梳理所学知识.培养学生发现问题、解决问题和归纳概括的能力. 新知讲解 求下列各数的算术平方根: (1)144;　(2)0.01;　(3);　(4)132;　(5)(-16)2;(6)0. 解:(1)=12.(2)=0.1.(3) = .(4)=13. (5)=16.(6)=0. 观察发现,被开方数大于等于0,开方运算的结果大于等于0,满足双重非负性. 总结:=|a|= 设计意图:让学生在经历活动环节和独立思考后,总结出自己的发现,学生发现的过程就是在观察,表达的过程就是在用数学的语言表达世界,在此过程中培养学生的表达能力和总结能力,学会用数学语言表达现实世界. 典例精讲 例1　计算下列各式: (1);　　　(2)-;　　　(3)±;　　　(4)-. 解:(1)==1.3.　　　(2)-=-=-15. (3)± = ±= ±. (4)-=-=-17. 例2　某小区有一块长方形草坪,如图.为了加强保护,小区管理人员准备用篱笆沿草坪边缘将其围起来.已知该长方形草坪的长是宽的4倍,草坪的面积是900 m2,求所需篱笆的总长度. 解:设这块长方形草坪的宽为x m,则长为4x m. 因为长方形草坪的面积是900 m2, 所以4x·x=900,即x2=225. 所以x=±=±=±15. x=-15不合题意,舍去. 所以x=15,2×(15+4×15)=150(m). 答:所需篱笆的总长度是150 m. 设计意图:通过例题对算术平方根进行巩固,学生进一步熟悉算术平方根的概念和性质,并学会用算术平方根的性质解决问题.在此过程中也培养了学生思维的多样性,促进了学生对教学内容的整体理解和把握,培养学生解决问题的能力.规范步骤,让学生养成良好的书写习惯. 课堂小结 1.和同学一起交流算术平方根的概念和性质. 2.谈谈算术平方根和平方根之间的联系与区别. 设计意图:通过小结,学生梳理本节课所学内容,引导学生总结自己的收获,培养学生的表达能力. 课堂8分钟. 1.教材第64页练习第1,2,3题,65页习题A组第1,2,3,4题. 2.七彩作业. 第2课时　算术平方根算 术 平 方 根 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、单元学习主题 本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“实数”. 二、单元学习内容分析 1.课标分析 《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体. 本章的主要内容是平方根、立方根的概念及其求法,实数的概念及其性质,近似数的概念及其应用.通过数的开方引入无理数的概念,进而将数的范围从有理数扩充到实数,并说明实数和数轴上的点一一对应.教材从实际问题出发,用图形拼接的问题来引入实数,让学生认识到数系的发展和扩充是现实生活的需要,同时也是数学发展的必然规律. 2.本单元教学内容分析 　　冀教版教材八年级上册第十四章“实数”,本章包括五个小节:14.1平方根;14.2立方根;14.3实数;14.4近似数;14.5用计算器求平方根与立方根. 本章内容包括平方根、算术平方根和立方根,通过开平方和开立方,学生认识到不同于有理数的数,在此基础上引入无理数,使数的范围由有理数扩充到实数.在实数范围内,不仅能进行加、减、乘、除四则运算,还能对0和任意正数进行开平方运算,对任意实数进行开立方运算.本章教材在初中数学中具有重要的地位,是学习其他内容的理论基础和运算基础(如一元二次方程、解直角三角形、二次根式等).实数与数轴上的点具有一一对应关系:任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上任意一点都表示一个实数,这种对应关系使得“数”与“形”紧密结合起来,充分体现了“数形结合”的数学思想,为数学研究带来很大方便. 三、单元学情分析 本单元内容是冀教版教材数学八年级上册第十四章实数.本章包括平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数、用计算器求平方根与立方根等内容.在此之前学生已学习了加、减、乘、除、乘方五种运算,学习了有理数的概念,具备了学习数的开方和无理数的条件,大部分学生对后继知识的学习有较强的欲望,但也有个别学生由于对有理数的概念理解不透,对无理数的学习信心不足,产生畏难和厌学情绪,教学中要注意及时引导. 四、单元学习目标 1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根,会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根. 2.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能求实数的相反数和绝对值. 3.了解近似数的概念,能按要求取近似数. 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 5.会用计算器求平方根和立方根. 五、单元学习内容及学习方法概览 六、单元评价与课后作业建议 本单元课后作业整体设计体现以下原则: 针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况. 层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识. 生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用的价值. 根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业. 学科网（北京）股份有限公司 $$