14.1 平方根（分层作业，11大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

第十四章 实数 14.1 平方根（11大题型提分练） 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 题型一 求一个数的算术平方根 1．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）64的算术平方根是（    ） A．±8 B．8 C．±4 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根必须是非负数成为解题的关键． 直接根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：64的算术平方根是． 故选B． 2．（23-24七年级下·广东东莞·阶段练习）下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ． ，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级上·山东烟台·期末）请写出一个正整数n，使得是整数， ． 【答案】6（答案不唯一） 【分析】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：． ． 故答案为：6（答案不唯一）． 4．（23-24七年级下·福建三明·期末）一个正偶数的算术平方根为，则下一个正偶数的算术平方根为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根的定义，这个正偶数为，根据题意得到，则，易得和这个正偶数相邻的下一个偶数为，再根据算术平方根的定义易得和这个正偶数相邻的下一个偶数的算术平方根，解题的关键是熟记一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根． 【详解】解：设这个正偶数为，则 ， ∴， 则和这个正偶数相邻的下一个偶数为， ∴和这个正偶数相邻的下一个偶数的算术平方根为， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、绝对值、算术平方根，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 6．（23-24八年级下·广西南宁·期中）计算：． 【答案】5 【分析】本题主要考查了算术平方根及其相关运算，根据算术平方根定义，乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 题型二 利用算术平方根的非负性解题 1．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）下列各式中，无意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的性质，根据被开方数为非负数即可得出结果． 【详解】∵， ∴有意义，则A项不符合题意； ∵， ∴无意义，则B项符合题意； ∵， ∴有意义，则C项不符合题意； ∵， ∴有意义，则D项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）若，则a的值为（    ） A．3 B． C．81 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据算术平方根求原数，对于非负实数a、b，若满足，那么a就叫做b的算术平方根，且，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）当代数式取最大值时，x的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根为非负数，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴代数式取最大值时，取得最小值， 即当时原式有最大值， 故答案为：0． 4．（23-24八年级下·江苏·期中）若实数、满足，则 ； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式非负的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入计算即可得解 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 则， 故答案为： 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）求 取何值时， 的值最小，并求最小值． 【答案】，最小值为 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性的应用，由可得答案． 【详解】解：∵， ∴的最小值为， ∴， 解得：； 6．（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，根据算术平方根的非负性求出，的值，再代入计算即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴，， ∴． 题型三 估计算术平方根的取值范围 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）估计的值应在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】先估算的取值范围，然后得出的取值范围，进而可得的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，在确定形如（a≥0）的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算． 2．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）估计的值（   ） A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间 【答案】B 【分析】利用完全平方数进行估算，即可解答． 【详解】解：， ， 估计的值在和之间， 故选：B． 【点睛】本题考查了估算无理数大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键． 3．（23-24七年级下·山东日照·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】运用算术平方根解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根，解决本题的关键是掌握算术平方根的运算． 4．（23-24七年级下·天津静海·阶段练习）的值介于整数4和5之间，则整数的值可以是 ． 【答案】18（答案不唯一） 【分析】由可得，再确定整数即可． 【详解】解：根据题意知：， ∴， ∵是整数， ∴可以取18（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了算术平方根，求出的取值范围是解答本题的关键． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）一个正方形的面积是15，试估计它的边长大小． 【答案】 【分析】根据开方运算，可得边长，根据，可得答案． 【详解】解：一个正方形的面积是15， 边长是， ， 故答案为 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，是解题关键． 6．（23-24七年级下·广西玉林·阶段练习）新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)，； (2)的“青一区间”为． 【分析】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的算术平方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 题型四 与算术平方根有关的规律探索题 1．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）若，，则x的值是（    ） A．1060.9 B．10.609 C．106.09 D．1.0609 【答案】D 【分析】此题考查了算术平方根．根据算术平方根小数点移动的规律进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 25 根据以上规律，若，则（    ） A． B．379 C．12 D．120 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根和被开方数间关系，根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，则． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵， ∴， 故选：A． 3．（23-24七年级下·安徽淮南·阶段练习）已知，则 ． 【答案】0.25 【分析】本题考查了算术平方根，根据被开方数的小数点移动两位，算术平方根的小数点移动一位进行作答即可． 【详解】∵， ∴， 故答案为：0.25． 4．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键．根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴； 故答案为：． 5．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）（1）观察下表，发现规律并填空： （2）已知，根据第（1）题发现的规律，分别求和的近似值． 【答案】（1）200，2000；（2）0.161，161 【分析】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的之间的变化规律，根据表格发现规律是解答本题的关键．由表中数据可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动一位． 【详解】解：（1）由表中数据可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动一位． ，， 故答案为：200，2000； （2）∵， ∴，． 故答案为：0.161，161． 6．（23-24七年级下·重庆梁平·期末）（1）观察发现： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位． （3）规律运用： ①已知，则______； ②已知，则m＝______． 【答案】（1）0.1；10  （2）右；1   （3）① ②25 【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题： （1）直接计算即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【详解】解：（1），， 故答案为：，10； （2）由表格中的数据可知被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右，1； （3）①已知，则， ②已知，，则， ∴ 故答案为：①22.4；②25． 题型五 算术平方根的实际应用 1．（2024·江苏南京·一模）若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的概念，根据算术平方根的概念即可求解，正确理解算术平方根的概念解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知一个正方形的边长为，面积为，则下列说法中，正确的是（    ） A．的平方根是 B．是的算术平方根 C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式及算术平方根的定义即可作出判断 【详解】解：正方形的边长是a， ， 又正方形的面积为b， ， a是b的算术平方根， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的面积基本知识及算术平方根的定义，解题的关键是熟知算术平方根的定义． 3．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）已知，写出一个符合条件的x的值为 ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查算术平方根，利用算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：4（答案不唯一）． 4．（23-24七年级下·广东广州·期中）将图1中的长方形分成B，C两部分，一个B，两个C与正方形A拼接成如图2的大正方形．如果拼接后的大正方形的面积是5．则图1中原长方形的周长是 ． 【答案】 【分析】此题考查了算术平方根的实际应用．设的长为，宽为，则的长为，的边长为，求得的宽为，根据小正方形面积和大正方形面积利用算术平方根找到与之间的关系式即可求出最后结果． 【详解】解：设的长为，宽为，则大正方形的边长为，的长为，的边长为， ∴的宽为， ∵拼接后的大正方形的面积是5， ∴， ∴， ∴原长方形的长为：，宽为， ∴原长方形的周长为：， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）勤俭节约是中华民族传统美德，小轩的爸爸是能工巧匠，如图，他把两块废弃的正方形木板分割重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为平方米，其中他用的一块木板的边长为米，求另一块木板的边长是多少米？ 【答案】另一块木板的边长为米 【分析】本题考查算术平方根的应用，设另一块木板的边长为x米，根据两个较小正方形的面积和等于大正方形的面积和，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设另一块木板的边长为x米，则 ，即 ， ∵， ∴， 答：另一块木板的边长为米． 6．（23-24七年级下·山西朔州·期中）为宣传山西旅游资源，促进旅游业发展，山西某中学课外活动小组制作了精美的山西省景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 山西省景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… 【答案】正方形卡片能够直接装进长方形封皮中 【分析】此题考查了算术平方根的实际应用，设长方形的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为得到，求出，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可． 【详解】解：设长方形的宽为，则长为． 依题意，得， 整理，得，解得（负值已舍去）． ∵正方形卡片的面积为， ∴正方形卡片的边长为． ， 正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 题型六 平方根概念理解 1．（23-24七年级下·安徽·单元测试）下列各数中，没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握负数没有平方根是解题的关键．根据平方根的意义，负数没有平方根，即可求解． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴ A．0有平方根，是0，故本选项不符合题意； B． ，是正数，有平方根，故本选项不符合题意； C．，没有平方根，故本选项符合题意； D．，有平方根，故本选项不符合题意； 故选：C 2．（23-24七年级下·福建·期末）下列式子中表示“16的平方根是”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根的定义及表示方法．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．即一个非负数a的平方根为，据此即可判断． 【详解】解：表示16的平方根是， 故选：B． 3．（23-24七年级上·湖北·期中）一个正数x的平方根是与，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，则． 【详解】解：∵一个正数x的平方根是与， ∴， 解得：． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知与是同一个数的平方根，则的值是 . 【答案】或 【分析】本题主要考查的是平方根的性质依据平方根的性质，与相等或互为相反数列方程求解即可． 【详解】解：当时，， 当时，． 故答案为：或． 5．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）与是同一个正数的平方根，求a的值． 【答案】或 【分析】 本题考查平方根的性质，根据一个正数的平方根有2个，互为相反数，可知与相等或互为相反数，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意，得：或， 解得：或． 6．（23-24八年级上·江西抚州·期末）若实数m，n满足等式． (1)求m，n的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用算术平方根以及绝对值的性质分析得出答案； （2）结合（1）中所求，结合平方根的定义分析得出答案． 【详解】（1）解： （2）由（1）知 的平方根为； 【点睛】此题主要考查了平方根以及绝对值，正确得出m,n的值是解题关键． 题型七 求一个数的平方根 1．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）16的平方根是（   ） A．4 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的意义是解题关键． 根据平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：16的平方根是， 故选：D． 2．（23-24七年级下·甘肃平凉·期末）的平方根为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一个数的平方根，先化简再根据平方根的定义，求解即可． 【详解】解：，4的平方根为； 故选D． 3．（23-24七年级下·河北沧州·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了求一个数的平方根，根据平方根的概念求解即可． 【详解】∵ ∴． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·广东汕头·阶段练习）若是16的平方根，则a的值为 ． 【答案】或 【分析】根据平方根的定义，可得或，即可求解， 本题考查了，平方根的定义，解题的关键是：熟练掌握平方根的定义． 【详解】解：∵是16的平方根，16的平方根是或， ∴或，解得：或， 故答案为：或． 5．（2024七年级下·全国·专题练习）求下列各数的平方根和算术平方根： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)；7 (3)； 【分析】本题考查求一个数的平方根和算术平方根，熟记定义是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义，进行计算即可； （2）根据平方根和算术平方根的定义，进行计算即可； （3）根据平方根和算术平方根的定义，进行计算即可． 【详解】（1）解：的平方根是，算术平方根是； （2）的平方根是，算术平方根是7； （3）的平方根是，算术平方根是． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知：实数a，b满足． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查非负数的性质、绝对值以及平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出a与b的值即可； （2）将a与b的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：由题可知，，， 解得：，； （2）， 的平方根为； 题型八 求代数式的平方根 1．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）若，代数式（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意直接将代入代数式利用算术平方根性质进行计算即可． 【详解】解：将代入代数式． 故选：B． 【点睛】本题考查已知字母求代数式的值，熟练掌握并利用算术平方根性质化简是解题的关键． 2．（23-24七年级上·湖南永州·期末）若，则记，例如，于是．若，，，则c的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，随之问题得解． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 3．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）若，则= . 【答案】； 【分析】根据平方根的性质解答即可 【详解】∵ ∴=4 ∴x= 故答案是： 【点睛】本题考查了平方根，理解平方根的意义是关键． 4．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 5．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知x﹣2和y﹣2互为相反数，求x+y的平方根． 【答案】±2 【分析】根据相反数的定义可求x+y，再根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵x﹣2和y﹣2互为相反数， ∴x﹣2+y﹣2＝0， ∴x+y＝4，4的平方根是±2． 故x+y的平方根是±2． 【点睛】本题考查了相反数的性质和平方根的定义，属于基本题型，熟练掌握以上基本知识是解题关键． 6．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 1．（23-24七年级下·广东惠州·期末）一个正数的两个平方根分别为与，则的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义列出关于的方程，求出的值即可，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为与， ∴， 解得：， 故选：C． 2．（23-24七年级下·天津滨海新·期中）一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是（    ) A．5 B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程计算即可． 【详解】解：和同一个正数的两个不同的平方根， ， 解得：， 这个正数为：， 故选∶C． 3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）一个正数的两个平方根是和，则这个正数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握正数有两个平方根，且互为相反数． 根据正数的两个平方根互为相反数，可求得x的值，即可解题． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得：， ∴， ∴这个正数是， 故答案为：9． 4．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）一个正数M的平方根是和，则M的值 ，N的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的性质解决此题即可． 【详解】解：一个正数M的平方根是和， ， 解得：， ∴， 故答案为：16，2． 5．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知和是某个正数的平方根，求实数和的值． 【答案】， 【分析】本题考查的是平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数．利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴， ∴． 6．（23-24七年级下·甘肃庆阳·期中）已知正数x的平方根分别是和，且． (1)求x的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)49 (2)3 【分析】本题主要考查了平方根与算术平方根，熟记定义与性质是解题的关键． （1）根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，列出方程求得a的值，从而即可求得x的值； （2）根据算术平方根的定义求得b，再根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， ； （2）， ， ， ， ∴9的算术平方根为3． 题型十 利用平方根解方程 1．（2024七年级下·全国·专题练习）若，则x的值为（　　） A．3 B． C． D．81 【答案】C 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，先把常数项移到方程右边，再根据求平方根的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级上·河南周口·期末）方程的实数根是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】运用平方差公式计算，然后解方程即可求解． 【详解】解： 即 解得： 故选D． 【点睛】本题考查解方程，运用平方差公式进行计算是解题的关键． 3．（23-24七年级下·上海·期末）如果，那么 . 【答案】 【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义．根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·贵州安顺·期中）满足方程中的x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了本题考查了平方根的性质，根据平方根的性质求解即可． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：． 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式中x的值． (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了求平方根知识点，熟练掌握求平方根的方法是解本题的关键； （1）将等式整理为，再直接开平方计算求值即可； （2）直接开平方计算求值即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）， ， 或 6．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）（1）计算； （2）求下列式子中的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了算术平方根，平方根的计算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算算术平方根，然后计算加减； （2）根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1） （2） ． 题型十一 平方根的应用 1．（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）已知正数的两个平方根是和，则的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键． 直接利用平方根的定义得出a的值，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故选：D． 2．（23-24七年级下·贵州安顺·阶段练习）在做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为，小华将铁块从溢水杯中拿出来后，量得溢水杯的水位下降了，则溢水杯内部的底面半径为（取3）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的应用，弄清题意是解本题的关键．由圆柱的体积公式求出底面半径即可． 【详解】解：设溢水杯内部的底面半径为， 根据题意得：， 即 解得：或（舍）， 答：溢水杯内部的底面半径约为． 故选：D． 3．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如果一个正数的两个平方根为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的性质，根据正数的两个平方根有两个，互为相反数，据此即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为，则这个长方形的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了求平方根的实际应用，设这个长方形的宽为，则长为，根据面积是列方程求出x的值，然后根据周长公式计算即可．根据题意列出方程是解答本题的关键． 【详解】解：设这个长方形的宽为，则长为， 由题意得：，即， ∵， ∴，即这个长方形的宽为，长为， 则这个长方形的周长． 故答案为：24． 5．（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别为和，求这个正数． 【答案】 【分析】考查了平方根的定义，根据一个数的两个平方根互为相反数，列式解答即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为和， ∴ 解得：， ∴ ∴这个正数为． 6．（23-24七年级下·陕西安康·期中）勤俭节约是中华民族传统美德，小轩的爸爸是能工巧匠，如图，他把两块废弃的正方形木板分割重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为平方米，其中他用的一块木板的边长为米，求另一块木板的边长是多少米? 【答案】另一块木板的边长为米 【分析】本题主要考查了平方根的应用，根据题意列出方程并用平方根的定义求解是解题的关键．设另一块木板的边长为x米，根据面积得到并解方程即可得到答案． 【详解】解：设另一块木板的边长为x米，则 ，即 ， ∵， ∴， 答：另一块木板的边长为米． 1．（23-24八年级上·河南南阳·期末）的算术平方根等于（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】此题考查了求一个数的算术平方根，计算，由此解答即可，正确掌握算术平方根的定义：一个正数的平方等于a，则这个数是a的算术平方根，熟记定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故选：． 2．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）已知，，则（    ） A．34 B．0.034 C．3400 D．340 【答案】D 【分析】本题考查了求算术平方根，关键是算术平方根定义的掌握．由题意得出被开方数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位，即可得解． 【详解】解：，， 被开方数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位， ， 故选：D 3．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如果一个正方形的面积为10，那么它的边长为（　　） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的应用．根据正方形的边长等于面积的算术平方根计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ∴正方形的边长为， 故选：C． 4．（23-24七年级下·广东广州·单元测试）若与是同一个正数的平方根，则这个正数为（　　） A．4 B．4或100 C．100 D． 【答案】B 【分析】根据平方根的性质即可求出答案．本题考查算术平方根，解题的关键是正确理解平方根的性质，本题属于基础题型． 【详解】解：∵与是同一个正数的平方根， 当， ， ， 这个正数为4， 当 ∴ ∴ ∴一个正数是 故选：B． 5．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（    ）    A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米，根据扩大后的正方形黄瓜地的种植面积是现在的3.24倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米， 依题意得：， 即 ∴ 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴需要延长边长4米． 故选：C 6．（2023·江苏扬州·二模）的值等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了算术平方根，熟记定义是解题的关键．根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】的值等于4． 故答案为：4． 7．（23-24七年级下·北京东城·期中）请写出与间的一个整数 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】估算出与的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴与间的一个整数为2或3， 故答案为：2（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了算术平方根的估算，估算出与的取值范围是解题的关键． 8．（2024·广西·模拟预测）面积为9的正方形，其边长等于 ． 【答案】3 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根定义是解本题的关键．根据正方形面积公式，利用算术平方根定义计算即可得到结果． 【详解】解：面积为9的正方形的边长表示为， 故答案为：3． 9．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）一个正数的两个平方根中，若正的平方根为，负的平方根为，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查平方根的特征，解题关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． 【详解】由题意得， 解得． 故答案为2． 10．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）观察表格 a 0.0001 0.01 1 100 10000 … 0.01 0.1 1 10 100 … 按表中规律若已知，用含m的式子表示n，则 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的规律探究，通过表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位， ∵， ∴； 故答案为：． 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的意义是解题的关键． （1）把带分数化假分数，求出算术平方根即可； （2）把带分数化假分数，求出平方根即可． 【详解】（1）解：； （2）． 12．（23-24七年级下·新疆和田·期中）（1）已知，求的值． （2）求x的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查求代数式的值，以及算术平方根和绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握定义． （1）根据算术平方根和绝对值的非负性求出、的值，将、的值代入求解，即可解题； （2）根据平方根定义解方程即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 解得，， 将，代入中， 有． （2）解：， ， ． 13．（23-24八年级上·山东青岛·期末）一个正数x的两个平方根分别是与，则a是多少，x是多少？ 【答案】， 【分析】本题考查平方根，根据一个正数的平方根互为相反数，得到，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴． 14．（23-24七年级上·浙江·周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】(1)21 (2)37 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）将代入关系式计算即可； （2）将代入关系式求解即可． 【详解】（1）解：当时， （厘米）， 答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米． （2）解：当时， 即， ， 答：冰川约是在37年前消失的． 15．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）如图1是一个面积为2的正方形，图2是由4个图1的正方形拼图而成，图3是由4个图2的正方形拼图而成……拼图所得图形均是正方形，根据拼图的启示解决下列问题． (1)图2正方形的面积是________，边长是________，于是得到等式________；图3正方形的面积是________，边长是________，于是得到等式________． (2)直接写出由图4可得到的等式为________． (3)利用（1）（2）的结论，计算： 【答案】(1)4；2；；16；4； (2) (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，与实数有关的规律探索： （1）根据正方形面积与其边长之间的关系进行求解即可； （2）图4是由4个图3组成的，写出面积与边长之间的关系即可； （3）当图1的面积为2时，其边长为，则分别表示图2，图3，图4的正方形边长，再根据图2，图3，图4的正方形与图1正方形边长之间的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，图2正方形的面积是，图2正方形的边长为，则可得等式； 图3正方形的面积是，图3正方形的边长为，则可得等式； 故答案为：4；2；；16；4；； （2）图4是由4个图3组成的，则图4的面积为，其边长为8，则可得等式， 故答案为：； （3）解：当图1的面积为2时，其边长为，则图2的边长为，图3边长为，图4的边长为， ∵图2的边长是图1的2倍，图3的边长是图1的4倍，图4的变成是图1的8倍， ∴ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 实数 14.1 平方根（11大题型提分练） 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 题型一 求一个数的算术平方根 1．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）64的算术平方根是（    ） A．±8 B．8 C．±4 D．4 2．（23-24七年级下·广东东莞·阶段练习）下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·山东烟台·期末）请写出一个正整数n，使得是整数， ． 4．（23-24七年级下·福建三明·期末）一个正偶数的算术平方根为，则下一个正偶数的算术平方根为 ． 5．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）计算：． 6．（23-24八年级下·广西南宁·期中）计算：． 题型二 利用算术平方根的非负性解题 1．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）下列各式中，无意义的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）若，则a的值为（    ） A．3 B． C．81 D． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）当代数式取最大值时，x的值为 ． 4．（23-24八年级下·江苏·期中）若实数、满足，则 ； 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）求 取何值时， 的值最小，并求最小值． 6．（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）已知，求的值． 题型三 估计算术平方根的取值范围 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）估计的值应在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 2．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）估计的值（   ） A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间 3．（23-24七年级下·山东日照·期末）已知，则 ． 4．（23-24七年级下·天津静海·阶段练习）的值介于整数4和5之间，则整数的值可以是 ． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）一个正方形的面积是15，试估计它的边长大小． 6．（23-24七年级下·广西玉林·阶段练习）新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 题型四 与算术平方根有关的规律探索题 1．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）若，，则x的值是（    ） A．1060.9 B．10.609 C．106.09 D．1.0609 2．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 25 根据以上规律，若，则（    ） A． B．379 C．12 D．120 3．（23-24七年级下·安徽淮南·阶段练习）已知，则 ． 4．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知，若，则 ． 5．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）（1）观察下表，发现规律并填空： （2）已知，根据第（1）题发现的规律，分别求和的近似值． 6．（23-24七年级下·重庆梁平·期末）（1）观察发现： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位． （3）规律运用： ①已知，则______； ②已知，则m＝______． 题型五 算术平方根的实际应用 1．（2024·江苏南京·一模）若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 2．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知一个正方形的边长为，面积为，则下列说法中，正确的是（    ） A．的平方根是 B．是的算术平方根 C． D． 3．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）已知，写出一个符合条件的x的值为 ． 4．（23-24七年级下·广东广州·期中）将图1中的长方形分成B，C两部分，一个B，两个C与正方形A拼接成如图2的大正方形．如果拼接后的大正方形的面积是5．则图1中原长方形的周长是 ． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）勤俭节约是中华民族传统美德，小轩的爸爸是能工巧匠，如图，他把两块废弃的正方形木板分割重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为平方米，其中他用的一块木板的边长为米，求另一块木板的边长是多少米？ 6．（23-24七年级下·山西朔州·期中）为宣传山西旅游资源，促进旅游业发展，山西某中学课外活动小组制作了精美的山西省景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 山西省景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… 题型六 平方根概念理解 1．（23-24七年级下·安徽·单元测试）下列各数中，没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建·期末）下列式子中表示“16的平方根是”的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·湖北·期中）一个正数x的平方根是与，则 ． 4．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知与是同一个数的平方根，则的值是 . 5．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）与是同一个正数的平方根，求a的值． 6．（23-24八年级上·江西抚州·期末）若实数m，n满足等式． (1)求m，n的值； (2)求的平方根． 题型七 求一个数的平方根 1．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）16的平方根是（   ） A．4 B． C．16 D． 2．（23-24七年级下·甘肃平凉·期末）的平方根为（   ） A．4 B．2 C． D． 3．（23-24七年级下·河北沧州·期中）若，则 ． 4．（23-24七年级下·广东汕头·阶段练习）若是16的平方根，则a的值为 ． 5．（2024七年级下·全国·专题练习）求下列各数的平方根和算术平方根： (1) (2) (3) 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知：实数a，b满足． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 题型八 求代数式的平方根 1．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）若，代数式（ ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南永州·期末）若，则记，例如，于是．若，，，则c的值为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）若，则= . 4．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 5．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知x﹣2和y﹣2互为相反数，求x+y的平方根． 6．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 1．（23-24七年级下·广东惠州·期末）一个正数的两个平方根分别为与，则的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 2．（23-24七年级下·天津滨海新·期中）一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是（    ) A．5 B． C． D．或 3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）一个正数的两个平方根是和，则这个正数是 ． 4．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）一个正数M的平方根是和，则M的值 ，N的值 ． 5．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知和是某个正数的平方根，求实数和的值． 6．（23-24七年级下·甘肃庆阳·期中）已知正数x的平方根分别是和，且． (1)求x的值； (2)求的算术平方根． 题型十 利用平方根解方程 1．（2024七年级下·全国·专题练习）若，则x的值为（　　） A．3 B． C． D．81 2．（23-24八年级上·河南周口·期末）方程的实数根是（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（23-24七年级下·上海·期末）如果，那么 . 4．（23-24七年级下·贵州安顺·期中）满足方程中的x的值为 ． 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式中x的值． (1) (2) 6．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）（1）计算； （2）求下列式子中的值． 题型十一 平方根的应用 1．（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）已知正数的两个平方根是和，则的值为（   ） A． B． C．1 D．4 2．（23-24七年级下·贵州安顺·阶段练习）在做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为，小华将铁块从溢水杯中拿出来后，量得溢水杯的水位下降了，则溢水杯内部的底面半径为（取3）（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如果一个正数的两个平方根为，，则 ． 4．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为，则这个长方形的周长为 ． 5．（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别为和，求这个正数． 6．（23-24七年级下·陕西安康·期中）勤俭节约是中华民族传统美德，小轩的爸爸是能工巧匠，如图，他把两块废弃的正方形木板分割重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为平方米，其中他用的一块木板的边长为米，求另一块木板的边长是多少米? 1．（23-24八年级上·河南南阳·期末）的算术平方根等于（ ） A．4 B． C．2 D． 2．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）已知，，则（    ） A．34 B．0.034 C．3400 D．340 3．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如果一个正方形的面积为10，那么它的边长为（　　） A．10 B． C． D． 4．（23-24七年级下·广东广州·单元测试）若与是同一个正数的平方根，则这个正数为（　　） A．4 B．4或100 C．100 D． 5．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（    ）    A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米 6．（2023·江苏扬州·二模）的值等于 ． 7．（23-24七年级下·北京东城·期中）请写出与间的一个整数 ． 8．（2024·广西·模拟预测）面积为9的正方形，其边长等于 ． 9．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）一个正数的两个平方根中，若正的平方根为，负的平方根为，则 ． 10．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）观察表格 a 0.0001 0.01 1 100 10000 … 0.01 0.1 1 10 100 … 按表中规律若已知，用含m的式子表示n，则 ． 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 12．（23-24七年级下·新疆和田·期中）（1）已知，求的值． （2）求x的值． 13．（23-24八年级上·山东青岛·期末）一个正数x的两个平方根分别是与，则a是多少，x是多少？ 14．（23-24七年级上·浙江·周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 15．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）如图1是一个面积为2的正方形，图2是由4个图1的正方形拼图而成，图3是由4个图2的正方形拼图而成……拼图所得图形均是正方形，根据拼图的启示解决下列问题． (1)图2正方形的面积是________，边长是________，于是得到等式________；图3正方形的面积是________，边长是________，于是得到等式________． (2)直接写出由图4可得到的等式为________． (3)利用（1）（2）的结论，计算： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$