13.1 命题与证明-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学设计（冀教版）河北专版

课时目标 1.了解互逆命题、证明、互逆定理的概念. 2.能正确写出一个命题的逆命题,并会判断它是否正确. 3.初步了解证明的格式、方法和步骤,体会证明步骤的严谨性. 4.能运用基本事实和相关定理进行简单的证明. 学习重点 理解逆命题、逆定理和证明的概念,能进行简单的证明. 学习难点 理解证明的必要性. 课时活动设计 复习回顾 1.什么是命题?命题的形式是什么?命题的组成部分有哪些? 解:能够进行肯定或否定判断的语句叫做命题.命题的形式:如果……那么……. 命题是由条件和结论两部分组成的,“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论. 2.什么是真命题与假命题? 解:正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题. 设计意图:回忆、思考命题的知识,为后面给出逆命题的概念做准备,从已有的知识体系自然地构建出新知识. 探究新知 对于平行线,我们知道: 教师提出问题,学生独立完成. 问题1:在这两个命题中,其中一个命题的条件和结论,与另一个命题的条件和结论有怎样的关系? 解:一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件. 问题2:请再举例说明两个具有这种关系的命题. 解:两个命题分别为同旁内角互补和互补的两个角是同旁内角. 像这样,一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题,称为互逆命题.在两个互逆命题中,如果我们将其中一个命题称为原命题,那么另一个命题就是这个原命题的逆命题. 做一做　写出下列命题的逆命题,并判断原命题与逆命题的真假. (1)内错角相等. (2)如果两个角相加等于180°,那么这两个角互为邻补角. 学生独立思考后组内交流,最后展示答案,教师点评. 解:(1)相等的两个角是内错角,原命题和逆命题都是假命题; (2)如果两个角互为邻补角,那么这两个角相加等于180°,原命题是假命题,逆命题是真命题. 命题,有真命题,也有假命题.要说明一个命题是假命题,只要举出反例即可.要说明一个命题是真命题,则要从命题的条件出发,根据已学过的基本事实、定义、性质、和定理等,进行有理有据的推理.这种推理的过程叫做证明. 例　证明:平行于同一条直线的两条直线平行. 已知:如图,直线a,b,c,a∥c,b∥c. 求证:a∥b. 证明:如图,作直线d,分别与直线a,b,c相交. ∵a∥c(已知), ∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等). ∵b∥c, ∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等). ∴∠1=∠3(等量代换). ∴a∥b(同位角相等,两直线平行),即平行于同一条直线的两条直线平行. 总结:像这样用文字叙述的命题的证明,应当按照下列步骤进行: 第一步,依据题意画图,将文字语言转换为符号(图形)语言. 第二步,根据图形写出已知、求证. 第三步,根据基本事实、已有定理等进行证明. 如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.一个定理和它的逆定理是互逆定理. 设计意图:通过小组合作交流,学生展示后教师点评,强调易错点.通过复习旧知识和创设动手操作活动,激发学生的学习兴趣,及时归纳总结重点,形成脉络. 典例精讲 例　证明:对顶角相等. 已知:如图,直线AB和CD相交于点O. 求证:∠1=∠2. 证明:∵∠1+∠AOD=180°(平角的定义), ∠2+∠AOD=180°(平角的定义), ∴∠1+∠AOD=∠2+∠AOD(等量代换). ∴∠1=∠2(等式的性质). 设计意图:熟练应用文字叙述的命题的证明过程. 巩固训练 1.下列命题的逆命题是假命题的是(　D　) A.直角三角形的两个锐角互余 B.两直线平行,内错角相等 C.三条边对应相等的两个三角形是全等三角形 D.若x=y,则x2=y2 2.“如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等”的逆命题是“如果两个实数的绝对值相等,那么这两个实数相等”,这个逆命题是　假　命题(填“真”或“假”).  3.已知:如图,点O在直线AB上,OD,OE分别是∠AOC,∠BOC的平分线. 求证:OD⊥DE. 证明:∵点O在直线AB上, ∴∠AOC+∠BOC=180°(平角的定义). 又∵∠DOC=∠AOC,∠EOC=∠BOC(角平分线的定义), ∴∠DOC+∠EOC=(∠AOC+∠BOC)=×180°=90°. ∴OD⊥OE(垂直的定义). 设计意图:通过练习,巩固所学知识,发挥学生作为教学主体的主动性,让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦. 课堂小结 1.逆命题和逆定理的概念. 2.用文字叙述命题的证明过程. 设计意图:通过回顾与反思总结知识和数学方法,帮助学生自行建构知识体系,提高学习能力. 课堂8分钟. 1.教材第34页练习第1,2题,习题第1,2,3题. 2.七彩作业. 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、单元学习主题 本单元是“图形与几何”领域“图形的性质”主题中的“全等三角形”. 二、单元学习内容分析 1.课标分析 《标准2022》指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题.学生将进一步学习点、线、面、角、三角形、多边形和圆等几何图形,从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究这些图形的基本性质和相互关系. “图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形,在用几何直观理解几何基本事实的基础上,从基本事实出发推导图形的几何性质和定理,感悟几何体系的基本框架:通过定义确定论证的对象,通过基本事实确定论证的起点,通过证明确定论证的逻辑,通过命题确定论证的结果. 2.本单元教学内容分析 　　冀教版教材八年级上册第十三章“全等三角形”,本章包括四个小节:13.1命题与证明;13.2全等图形;13.3全等三角形的判定;13.4三角形的尺规作图. 本章的知识内容是从认识一般的全等图形开始,学习全等三角形,理解全等三角形的性质,掌握三角形全等的判定,会依据全等条件用尺规作出三角形.另外,在本章的开始,先进一步学习了命题与证明. 本章还负有培养推理能力的重要任务:一方面,借助于全等图形的认识、全等三角形性质的获得、三角形判定方法的确认,来培养学生合情推理能力与发现问题、提出问题的良好习惯;另一方面,借助于全等三角形判定方法及其性质的应用,来有效地落实对演绎推理能力的培养. 本章在几何与整个初中数学学习中,都具有重要的地位和作用.其一,从知识角度看,全等三角形在几何知识系统中既是一块重要的基石,又是一种被广泛应用的工具;其二,推理(合情与演绎)能力的培养,是贯穿于整个几何(乃至整个数学)学习进程之中的.但从本章开始,证明的论述要求严密与规范表达,这是推理能力培养的一个重要环节与阶段,对学生推理能力的系统发展具有很大影响. 三、单元学情分析 本单元内容是冀教版教材数学八年级上册第十三章全等三角形,对于三角形,学生已经非常熟悉,并且知道三角形的有关元素的概念.本章主要以研究形状的图形表示、图形之间的全等关系,来实现对图形的性质以及图形关系的研究.因此,全等图形是平面几何研究的重要内容,全等三角形又是全等图形中主要的研究对象.通过本章的学习,学生的演绎推理能力将得到很大的提升,为后续的学习打下基础. 四、单元学习目标 1.经历用分式、分式方程表示现实情境中数量关系的过程,了解分式、最简分式1.结合具体实例,了解原命题及逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立但其逆命题不一定成立.了解定理、逆定理和互逆定理. 2.知道证明的意义和证明的必要性,知道证明要合乎逻辑,知道证明的过程可以有不同的表达形式,掌握综合法证明的格式. 3.理解全等图形,理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角.知道全等三角形的对应边相等,对应角也相等. 4.经历从三角形全等的概念出发,提出三角形全等条件的设想,探索三个对应条件下两个三角形全等条件的过程. 5.掌握基本事实SSS,SAS,ASA,会用这些基本事实和有关定理进行简单问题的证明. 6.会利用尺规作三角形:已知三边作三角形;已知两角及夹边作三角形;已知两边及夹角作三角形.了解作图的道理,保留作图痕迹. 五、单元学习内容及学习方法概览 六、单元评价与课后作业建议 本单元课后作业整体设计体现以下原则: 针对性原则:每课时作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况. 层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识、基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识. 根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业. 学科网（北京）股份有限公司 $$