第13章 微探究小专题3 巧作辅助线构造全等三角形 正文-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步习题课件（冀教版）河北专版

2024 冀教版 八年级上册 数学 2 第十三章　全等三角形 微探究小专题3　巧作辅助线构造 全等三角形 方法1　添加边或角构造全等三角形 1. 如图， AB ＝ DC ， DB ＝ AC . 1 2 3 4 5 6 (1)证明：如图，连接 AD . 在△ BAD 和△ CDA 中，∵ ∴△ BAD ≌△ CDA (SSS). ∴∠ ABD ＝∠ DCA (全等三角形对应角相等). (1)求证：∠ ABD ＝∠ DCA (证明过程要求给出每一步结论成立的依据)； 微探究小专题3　巧作辅助线构造全等三角形 (2)在(1)的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？ (2)解：作辅助线的意图是构造全等三角形，添加两个三角形的公共边. 1 2 3 4 5 6 微探究小专题3　巧作辅助线构造全等三角形 方法2　“倍长中线法”构造全等三角形 2. 如图， AD 是△ ABC 的边 BC 上的中线， AB ＝7， AD ＝5，则 AC 的 取值范围为 ⁠. 3＜ AC ＜17　 1 2 3 4 5 6 微探究小专题3　巧作辅助线构造全等三角形 方法3　利用“截长法”或“补短法”构造全等三角形 3. 如图， AB ∥ CD ， CE ， BE 分别平分∠ BCD 和∠ CBA ，点 E 在 AD 上，求证： BC ＝ AB ＋ CD . 证明：如图，在 BC 上取点 F ，使 BF ＝ BA ，连接 EF ， ∵ BE ， CE 分别是∠ ABC 和∠ BCD 的平分线， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 在△ ABE 和△ FBE 中，∵ 1 2 3 4 5 6 微探究小专题3　巧作辅助线构造全等三角形 ∴△ ABE ≌△ FBE (SAS).∴∠ A ＝∠5. ∵ AB ∥ CD ，∴∠ A ＋∠ D ＝180°. ∴∠5＋∠ D ＝180. ∵∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠ D . 在△ CFE 和△ CDE 中，∵ ∴△ CFE ≌△ CDE (AAS).∴ CF ＝ CD . ∵ BC ＝ BF ＋ CF ，∴ BC ＝ AB ＋ CD . 1 2 3 4 5 6 微探究小专题3　巧作辅助线构造全等三角形 4. 如图，在正方形 ABCD 中， E 为 BC 上的一点， F 为 CD 上的一点， BE ＋ DF ＝ EF ，求∠ EAF 的度数. 解：如图，延长 EB 到点 G ，使得 BG ＝ DF ，连接 AG . ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB ＝ AD ，∠ ABE ＝∠ ADF ＝90°.∴∠ ABG ＝90°. ∴∠ ABG ＝∠ ADF . 在△ ABG 和△ ADF 中，∵ 1 2 3 4 5 6 微探究小专题3　巧作辅助线构造全等三角形 ∴△ ABG ≌△ ADF (SAS). ∴∠ BAG ＝∠ DAF ， AG ＝ AF . 又∵ EF ＝ DF ＋ BE ＝ BG ＋ BE ，∴ EF ＝ EG . 在△ AEG 和△ AEF 中，∵ ∴△ AEG ≌△ AEF (SSS).∴∠ EAG ＝∠ EAF . ∵∠ DAF ＋∠ EAF ＋∠ BAE ＝90°， ∴∠ BAG ＋∠ EAF ＋∠ BAE ＝90°. 又∵∠ BAG ＋∠ BAE ＝∠ EAG ， ∴∠ EAG ＋∠ EAF ＝90°.∴∠ EAF ＝45°. 1 2 3 4 5 6 微探究小专题3　巧作辅助线构造全等三角形 方法4　“角平分线遇到垂线”延长垂线构造全等三角形 5. 如图，△ ABC 的面积为6 cm2， AP 与∠ B 的平分线垂直，垂足是 P ， 则△ PBC 的面积为 ⁠. 3 cm2　 1 2 3 4 5 6 微探究小专题3　巧作辅助线构造全等三角形 6. 如图，在△ ABC 中， AC ＝ BC ，∠ C ＝90°， BD 为∠ ABC 的平分 线，若点 A 到直线 BD 的距离 AD 为2 cm，求 BE 的长. 解：如图，延长 AD ， BC ，它们的延长线交于点 M . ∵ BD 为∠ ABC 的平分线，∴∠1＝∠2. 由题意，得∠ ADB ＝∠ MDB ＝90°， AD ＝2 cm. 在△ ABD 和△ MBD 中，∵ 1 2 3 4 5 6 微探究小专题3　巧作辅助线构造全等三角形 ∴△ ABD ≌△ MBD (ASA).∴ AD ＝ MD . ∴ AM ＝2 AD ＝4 cm. ∵∠3＋∠ AED ＝∠2＋∠ BEC ＝90°， 又∵∠ AED ＝∠ BEC ，∴∠2＝∠3. 在△ AMC 和△ BEC 中，∵ ∴△ AMC ≌△ BEC (ASA).∴ AM ＝ BE . ∴ BE ＝4 cm. 1 2 3 4 5 6 微探究小专题3　巧作辅助线构造全等三角形 $$