第13章 微探究小专题2 全等三角形中的常见模型 正文-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步习题课件（冀教版）河北专版

2024 冀教版 八年级上册 数学 2 第十三章　全等三角形 微探究小专题2　全等三角形中的 常见模型 类型1　平移模型 1. 如图，点 A ， D ， C ， F 在同一条直线上， AB ∥ DE ，∠ B ＝∠ E ， AD ＝ CF . 1 2 3 4 5 微探究小专题2　全等三角形中的常见模型 (1)证明：∵ AB ∥ DE ， ∴∠ A ＝∠ EDF . ∵ AD ＝ CF ， ∴ AD ＋ DC ＝ CF ＋ DC ，即 AC ＝ DF . 在△ ABC 和△ DEF 中，∵， ∴△ ABC ≌△ DEF (AAS). (1)求证：△ ABC ≌△ DEF ； 1 2 3 4 5 微探究小专题2　全等三角形中的常见模型 (2)若∠ A ＝50°，∠ F ＝70°，求∠ B 的度数. (2)解：∵△ ABC ≌△ DEF ， ∴∠ ACB ＝∠ F ＝70°. ∵∠ A ＝50°，∴∠ B ＝180°－∠ A －∠ ACB ＝60°. 1 2 3 4 5 微探究小专题2　全等三角形中的常见模型 类型2　对称模型 2. (2023·廊坊广阳区月考)如图，已知 AB ＝ AC ，点 D ， E 分别在 AC ， AB 上，且 AE ＝ AD ，∠ B ＝∠ C ，连接 EC ， BD ， EC 交 BD 于点 M ，连接 AM . 1 2 3 4 5 微探究小专题2　全等三角形中的常见模型 (1)证明：∵ AB ＝ AE ＋ BE ， AC ＝ AD ＋ CD ， 又∵ AB ＝ AC ， AE ＝ AD ， ∴ BE ＝ CD . 在△ EBM 和△ DCM 中， ∵， ∴△ EBM ≌△ DCM (AAS). (1)求证：△ EBM ≌△ DCM ； 1 2 3 4 5 微探究小专题2　全等三角形中的常见模型 (2)嘉淇说：“若 S△ BEM ＝ S△ ADM ，则 E 是 AB 的中点”.请你运用所学知 识判断嘉淇的说法是否正确，若正确，请给出证明；若不正确，请说出 理由. (2)解：嘉淇的说法正确. 证明：∵△ EBM ≌△ DCM ，∴ ME ＝ MD . 在△ AEM 和△ ADM 中，∵ 1 2 3 4 5 微探究小专题2　全等三角形中的常见模型 ∴△ AEM ≌△ ADM (SSS). ∴ S△ AEM ＝ S△ ADM . ∵ S△ BEM ＝ S△ ADM ，∴ S△ BEM ＝ S△ AEM . 如图，过点 M 作 MF ⊥ AB 于点 F ， 则 S△ BEM ＝ BE · MF ， S△ AEM ＝ AE · MF ， ∴ BE · MF ＝ AE · MF . ∴ AE ＝ BE ，即 E 是 AB 的中点. 1 2 3 4 5 微探究小专题2　全等三角形中的常见模型 类型3　旋转模型(手拉手模型) 3. (2023·廊坊霸州市期中)两个大小不同的等腰直角三角尺按如图1所示 的方式放置，图2是由图1抽象出的几何图形，其中 AB ＝ AC ， AE ＝ AD ，∠ BAC ＝∠ EAD ＝90°， B ， C ， E 在同一条直线上.连接 DC . 1 2 3 4 5 微探究小专题2　全等三角形中的常见模型 解：(1)△ ABE ≌△ ACD . 证明：∵∠ BAC ＝∠ EAD ＝90°， ∴∠ BAC ＋∠ CAE ＝∠ EAD ＋∠ CAE ， 即∠ BAE ＝∠ CAD . 　 在△ ABE 和△ ACD 中， ∵， ∴△ ABE ≌△ ACD (SAS). (1)请找出图2中与△ ABE 全等的三角形，并给予证明； 1 2 3 4 5 微探究小专题2　全等三角形中的常见模型 (2)试判断 DC 和 BE 的位置关系，并说明理由. 解：(2) DC ⊥ BE . 理由：∵ AB ＝ AC ，∠ BAC ＝90°， ∴∠ ABC ＝∠ ACB ＝45°. 由(1)可知，△ ABE ≌△ ACD ， 则∠ ACD ＝∠ ABE ＝45°. ∴∠ BCD ＝∠ ACB ＋∠ ACD ＝90°. ∴ DC ⊥ BE . 1 2 3 4 5 微探究小专题2　全等三角形中的常见模型 类型4　一线三等角模型 4. 如图1，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ，过点 C 在△ ABC 外作直线 MN ， AM ⊥ MN ， BN ⊥ MN ，垂足分别是 M ， N . (1)求证： MN ＝ AM ＋ BN ； (1)证明：∵ AM ⊥ MN ， BN ⊥ MN ， ∴∠ AMC ＝∠ CNB ＝90°. ∴∠ MAC ＋∠ ACM ＝90°. ∵∠ ACB ＝90°， 1 2 3 4 5 微探究小专题2　全等三角形中的常见模型 ∴∠ NCB ＋∠ ACM ＝90°. ∴∠ MAC ＝∠ NCB . 在△ AMC 和△ CNB 中，∵ ∴△ AMC ≌△ CNB (AAS). ∴ AM ＝ CN ， MC ＝ NB . ∵ MN ＝ NC ＋ CM ， ∴ MN ＝ AM ＋ BN . 1 2 3 4 5 微探究小专题2　全等三角形中的常见模型 (2)若过点 C 在△ ABC 内作直线 MN ，如图2， AM ⊥ MN ， BN ⊥ MN ， 垂足分别是 M ， N ，则 AM ， BN 与 MN 之间有什么关系？只需写出结 论即可. (2)解： MN ＝ NB － AM . 1 2 3 4 5 微探究小专题2　全等三角形中的常见模型 类型5　半角模型 5. 【问题背景】如图1，在四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ，∠ BAD ＝120°，∠ B ＝∠ ADC ＝90°， E ， F 分别是 BC ， CD 上的点，且 ∠ EAF ＝60°，试探究图中线段 BE ， EF ， FD 之间的数量关系. 1 2 3 4 5 微探究小专题2　全等三角形中的常见模型 小王同学探究此问题的方法：延长 FD 到点 G ，使 DG ＝ BE ，连接 AG ，先证明△ ABE ≌△ ADG ，再证明△ AEF ≌△ AGF ，可得出结 论，他的结论应是 ⁠. EF ＝ BE ＋ DF 　 1 2 3 4 5 微探究小专题2　全等三角形中的常见模型 【探索延伸】如图2，若在四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ，∠ B ＋∠ D ＝ 180°， E ， F 分别是 BC ， CD 上的点，且∠ EAF ＝ ∠ BAD ，上述结 论是否仍然成立，并说明理由. 1 2 3 4 5 微探究小专题2　全等三角形中的常见模型 【探索延伸】解：结论 EF ＝ BE ＋ DF 仍然成立. 理由：如图，延长 FD 到点 G ，使 DG ＝ BE ，连接 AG ，则∠ ADC ＋∠ ADG ＝180°. ∵∠ B ＋∠ ADC ＝180°， ∴∠ B ＝∠ ADG . 在△ ABE 和△ ADG 中， ∵， 1 2 3 4 5 微探究小专题2　全等三角形中的常见模型 ∴△ ABE ≌△ ADG (SAS). ∴ AE ＝ AG ，∠ BAE ＝∠ DAG . ∵∠ EAF ＝ ∠ BAD ， ∴∠ BAE ＋∠ DAF ＝ ∠ BAD . ∴∠ DAG ＋∠ DAF ＝∠ GAF ＝ ∠ BAD . ∴∠ EAF ＝∠ GAF . 1 2 3 4 5 微探究小专题2　全等三角形中的常见模型 在△ AEF 和△ AGF 中， ∵， ∴△ AEF ≌△ AGF (SAS). ∴ EF ＝ FG . ∵ FG ＝ DG ＋ DF ＝ BE ＋ DF ， ∴ EF ＝ BE ＋ DF . 1 2 3 4 5 微探究小专题2　全等三角形中的常见模型 【学以致用】如图3，四边形 ABCD 是边长为5的正方形，点 E ， F 分别 在 AD ， CD 上，∠ EBF ＝45°，直接写出△ DEF 的周长. 【学以致用】解：△ DEF 的周长为10. 1 2 3 4 5 微探究小专题2　全等三角形中的常见模型 $$