常用逻辑用语讲义-2025届高三数学一轮复习（江苏专用）

( 高三数学 0 2 )§1.2　常用逻辑用语 课标要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定． 高考要求多以选择题出现涉及知识点比较多难度不大易错 知识梳理 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的____________条件，q是p的____________条件 p是q的____________条件 p⇒q且q⇏p p是q的____________条件 p⇏q且q⇒p p是q的____________条件 p⇔q p是q的________________条件 p⇏q且q⇏p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“__________”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 否定 ∃x∈M，p(x) 常用结论 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若p是q的充分条件，则A⊆B； (2)若p是q的充分不必要条件，则A B； (3)若p是q的必要不充分条件，则B A； (4)若p是q的充要条件，则A＝B. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反． 课前预习 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(　　) (2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　　) (3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(　　) (4)命题“∃x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．(　　) 2． (多选)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是(　　) A．p是真命题 B．p：∀x∈R，x＋2>0 C．p是真命题 D．p：∃x∈R，x＋2>0 3．设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为________________________. 典例精讲 例1　设p：x<3，q：－1<x<3，则q是p成立的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 变式训练（1）若a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中是真命题的有(　　) A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件 C．“a＜5”是“a＜3”的必要条件 D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 例2　 不等式x(x－2)＜0成立的一个必要不充分条件是(　　) A．x∈(0,2) B．x∈[－1，＋∞) C．x∈(0,1) D．x∈(1,3) 变式训练（1）命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥9 B．a≤9 C．a≥10 D．a≤10 （2）※已知P＝{x|－2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________． 例3　(多选)下列说法正确的是(　　) A．“正方形是菱形”是全称量词命题 B．∃x∈R，ex<ex＋1 C．命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0” D．命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5” 变式训练　(多选)下列命题中的真命题是(　　) A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2 课堂小结 课后反思 常用逻辑用语限时训练 一、选择题 1．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 　　　　　　　　　　　　　　 2.“a＞b＋1”是“2a＞2b”的(　　) A. 充分不必要条件　B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3.若命题“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．(－∞，2] D．(－∞，5] 4.（多选）下列四个条件中，能成为x>y的充分不必要条件的是(　　) A. xc2>yc2 B. <<0 C. |x|>|y| D. lnx>lny 5.(多选)命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 6※. （多选） 下列叙述中不正确的是(　　) A. 若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0” B. 若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c” C. “a<1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D. “a>1”是“<1”的充分不必要条件 二、填空题 7. 已知p：－1＜x－a＜1，q：(x－4)(8－x)＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 8※. 若x∈{－1，m}是不等式2x2－x－3≤0成立的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________． 三、解答题 9. 已知p：(x＋1)(2－x)≥0，q：关于x的不等式x2＋2mx－m＋6>0恒成立． (1) 当x∈R时q成立，求实数m的取值范围； (2)※ 若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$