2024-2025学年上学期高二开学测试模拟卷数学-4（19题型 新高考区专用）

2024-2025学年第一学期高二开学测试模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知复数z满足(1－i)z＝2＋i，则z的共轭复数为(    ) A． B． C． D． 2．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2且面积为的扇形，则这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知，，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为（    ） A．900 B．1200 C．1500 D．1800 5．已知：表示不同的直线，表示不同的平面，现有下列命题：①，②，③，④，其中真命题有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（    ）． A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，M是边上的中点，P是上一点，且满足，则（    ）． A． B． C． D． 8．如图，四边形中，，，且、的周长相等，则（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，若与共线，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．直线是图象的一条对称轴 C．在上单调递增 D．图像关于原点对称 11．如图，直角梯形中，，E是边中点，将沿翻折，得到四棱锥，在翻折的过程中，下列说法正确的是（    ） A．面 B． C．三棱锥体积的最大值是 D．点C到面距离的最大值是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则这个正四棱台的体积为 . 13．某公园有一座摩天轮，其旋转半径米，最高点距离地面米，匀速运行一周大约分钟某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第分钟时，他距地面大约为 米 14．如图，中，为钝角，，，过点B向的角平分线引垂线交于点P，若，则的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知C是平面上一点，，． (1)若，求的值； (2)若，求的最大值． 16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：；(2)若，，求a的值． 17．如图，在三棱锥S—ABC中，SA＝SB，AC＝BC，O为AB的中点，SO⊥平面ABC，AB＝4，OC＝2，N是SA的中点，CN与SO所成的角为α，且tanα＝2. (1)证明：OC⊥ON；(2)求三棱锥S—ABC的体积． 18．某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成，，，，，六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组． (1)求并估计开业当天所有滑雪的人年龄在有多少人？ (2)由频率分布直方图估计样本平均数和中位数；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替） (3)在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率． 19．如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．    (1)求证：E、F、C、四点共面： (2)求异面直线与BC所成角的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期高二开学测试模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知复数z满足(1－i)z＝2＋i，则z的共轭复数为(    ) A． B． C． D． 2．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2且面积为的扇形，则这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知，，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为（    ） A．900 B．1200 C．1500 D．1800 5．已知：表示不同的直线，表示不同的平面，现有下列命题：①，②，③，④，其中真命题有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（    ）． A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，M是边上的中点，P是上一点，且满足，则（    ）． A． B． C． D． 8．如图，四边形中，，，且、的周长相等，则（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，若与共线，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．直线是图象的一条对称轴 C．在上单调递增 D．图像关于原点对称 11．如图，直角梯形中，，E是边中点，将沿翻折，得到四棱锥，在翻折的过程中，下列说法正确的是（    ） A．面 B． C．三棱锥体积的最大值是 D．点C到面距离的最大值是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则这个正四棱台的体积为 . 13．某公园有一座摩天轮，其旋转半径米，最高点距离地面米，匀速运行一周大约分钟某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第分钟时，他距地面大约为 米 14．如图，中，为钝角，，，过点B向的角平分线引垂线交于点P，若，则的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知C是平面上一点，，． (1)若，求的值； (2)若，求的最大值． 16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：；(2)若，，求a的值． 17．如图，在三棱锥S—ABC中，SA＝SB，AC＝BC，O为AB的中点，SO⊥平面ABC，AB＝4，OC＝2，N是SA的中点，CN与SO所成的角为α，且tanα＝2. (1)证明：OC⊥ON；(2)求三棱锥S—ABC的体积． 18．某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成，，，，，六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组． (1)求并估计开业当天所有滑雪的人年龄在有多少人？ (2)由频率分布直方图估计样本平均数和中位数；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替） (3)在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率． 19．如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．    (1)求证：E、F、C、四点共面： (2)求异面直线与BC所成角的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期高二开学测试模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知复数z满足(1－i)z＝2＋i，则z的共轭复数为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【详解】∵(1－i)z＝2＋i， ∴(1－i)(1＋i)z＝(2＋i)(1＋i)，化为2z＝1＋3i，∴， 则z的共轭复数为， 故选：B． 2．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2且面积为的扇形，则这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用圆锥侧面展开图的面积公式求得展形图的弧长，该弧长即为圆锥底面圆的周长，进而可求得该圆锥的底面半径. 【详解】不妨设圆锥侧面展开图的面积为，半径为，弧长为，则圆锥的母线为，底面圆周长为，底面半径为，则 ，即，得，故， 故由得，得. 故选：B. 3．已知，，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知算出，根据投影向量的定义即可求解. 【详解】因为，所以，即， 又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 4．为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为（    ） A．900 B．1200 C．1500 D．1800 【答案】B 【分析】先求出高三年级出去的人数和所占比例，再用高三年级学生数除以其所占比例即为总人数. 【详解】解：由题意知，高三年级抽取了：人， 高三年级抽取的人数占总抽取人数的比例数为： 所以该校学生总人数为：人 故选：B. 【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题. 5．已知：表示不同的直线，表示不同的平面，现有下列命题：①，②，③，④，其中真命题有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】试题分析：①中或，故①错；②中设经过的平面与交于，则，因为，所以，所以，故②正确；③中可能在内也可能与平行还可能与相交，故③错；④中或，故④错，故选B． 6．如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的性质判断点是否共面，并应用平面的性质画出截面即可判断. 【详解】由正方体性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点显然不共面． 对于D选项，如下图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF， 易知ADCEBF为平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面． 故选：D 7．如图，在中，，，，M是边上的中点，P是上一点，且满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量表示，由条件根据平面向量基本定理求， 再由数量积的定义和性质求. 【详解】因为P是上一点，故可设， 因为M是边上的中点，所以， 所以， ， 又，所以，故， 所以， 所以， 因为，，，所以， 所以， 故选：D. 8．如图，四边形中，，，且、的周长相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，设，可得出，根据已知条件求出的值，可求出的正弦值和余弦值，进一步可求得的正弦值和余弦值，然后利用二倍角的正弦公式可求得结果. 【详解】，，所以，为等腰直角三角形， 所以，，， 设，则， 因为、的周长相等，则，解得，则， 于是，， 故， . 因此，． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，若与共线，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先根据向量共线求解出的值，然后再逐项判断即可. 【详解】因为，且与共线， 所以，所以，故A错误； 由题可知，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，且，所以，故D正确, 故选：BCD. 10．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．直线是图象的一条对称轴 C．在上单调递增 D．图像关于原点对称 【答案】ACD 【分析】利用三角函数图象变换规律得出，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；计算的值可判断B选项；由，在的单调性可判断C选项；利用奇函数的定义可判断D选项. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象 . 对于A选项，函数的最小正周期为，A选项正确； 对于B选项，，B选项错误； 对于C选项，，则，，在上单调递增，C选项正确； 对于D选项，函数的定义域为，， 所以，函数为奇函数，D选项正确. 故选：ACD. 11．如图，直角梯形中，，E是边中点，将沿翻折，得到四棱锥，在翻折的过程中，下列说法正确的是（    ） A．面 B． C．三棱锥体积的最大值是 D．点C到面距离的最大值是 【答案】ABD 【分析】结合点线面的位置关系，对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】由题意，，且， ∴四边形是平行四边形， 又∵，∴四边形是正方形. ∵，且平面，平面， ∴面，即A正确； 在梯形中中，，翻折过程中， ∵，∴平面， ∵平面， ∴，即B正确； 在翻折过程中，当平面时，三棱锥体积最大， 所以该三棱锥体积的最大值为， 故C错误； 作于，作于，连接， 由平面，可得， ∵，且平面， ∴平面， ∵平面， ∴， 又∵，且平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. 在中，作于， ∵平面平面， ∴平面， 由题易知平面，可知即为点C到面的 距离， 设，则，即， 在中，，， ∴， 易知函数在上单调递增， ∴，当时，取得最大值. ∴点C到面距离的最大值是. 故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则这个正四棱台的体积为 . 【答案】 【分析】由棱台体积公式计算即可求解. 【详解】该正四棱台的体积为. 故答案为：. 13．某公园有一座摩天轮，其旋转半径米，最高点距离地面米，匀速运行一周大约分钟某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第分钟时，他距地面大约为 米 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求出某人第分钟时所在位置关于的解析式，利用函数解析式求出时的值即可． 【详解】解：如图设为地面，圆为摩天轮，其旋转半径米，最高点距离地面米， 则摩天轮的最低点离地面米，即， 以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第分钟时所在位置的高度为， 则， 由题意，， 则， 所以， 当时，． 故答案为：． 14．如图，中，为钝角，，，过点B向的角平分线引垂线交于点P，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设，，利用直角三角形的边角关系和余弦定理求得x和的值，再计算以及、和的值，从而求得的面积． 【详解】如图所示， 设，， 则， 由余弦定理得，， 解得，； ； ， ， ， ， 即的面积为． 【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知C是平面上一点，，． (1)若，求的值； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的几何意义做出图形，然后根据向量的线性运算及数量积运算法则进行计算即可；（2）令为的中点，则结合当三点共线时，最大，即可求解. 【详解】（1）如图①，因为，所以，且， 则， 又，则， 又因为    （2）如图②，令为的中点， 则所以三点共线， 若形成三角形，则有, 故 所以当三点共线时，最大，为， 此时,故的最大值为 16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：； (2)若，，求a的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理，两角和与差的正弦函数公式化简已知等式可得，可得，或，分类讨论即可证明； （2）由，求解，利用，求解，结合正弦定理即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理可得，， ， 即， 所以， 整理得， 即， 又，是的内角， 所以，， 所以或（舍去）， 即． （2）由及可知，． 由可知，，． 由可得，． 在中，由正弦定理 可得，，解得， 17．如图，在三棱锥S—ABC中，SA＝SB，AC＝BC，O为AB的中点，SO⊥平面ABC，AB＝4，OC＝2，N是SA的中点，CN与SO所成的角为α，且tanα＝2. (1)证明：OC⊥ON； (2)求三棱锥S—ABC的体积． 【答案】（1）证明见解析（2） 【分析】（1）根据等腰三角形性质得OC⊥AB，再根据线面垂直性质得OC⊥SO，最后根据线面垂直判定定理得OC⊥平面SAB，即得结果，（2）先确定线面角，解得高SO，再根据锥体体积公式求结果. 【详解】(1)证明∵AC＝BC，O为AB的中点， ∴OC⊥AB，又SO⊥平面ABC，OC⊂平面ABC， ∴OC⊥SO，又AB∩SO＝O，AB，SO⊂平面SAB， ∴OC⊥平面SAB， 又∵ON⊂平面SAB， ∴OC⊥ON. (2)解设OA的中点为M，连接MN，MC， 则MN∥SO，故∠CNM即为CN与SO所成的角α， 又MC⊥MN且tanα＝2， ∴MC＝2MN＝SO， 又MC＝＝＝， 即SO＝， ∴三棱锥S—ABC的体积 V＝Sh＝24＝. 【点睛】本题考查线面垂直判定与性质以及锥体体积公式，考查基本分析论证求解能力，属中档题. 18．某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成，，，，，六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组． (1)求并估计开业当天所有滑雪的人年龄在有多少人？ (2)由频率分布直方图估计样本平均数和中位数；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替） (3)在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据频率和为1求x的值，进而估算人数； （2）根据频率分布直方图求平均数，分析可知，结合中位数的概念运算求解； （3）求各层人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）由题意可得：， 则， 所以估计开业当天滑雪的人年龄在内有人. （2）由题意可得：， 又因为， 可知，则解得：. （3）中的人数：，分别记为； 中的人数：，分别记为 中的人数：，记为 则任选两人的情况有 ，共种， 其中来自同一组有 ，共种， 所以两个人来自同一组的概率为. 19．如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．    (1)求证：E、F、C、四点共面： (2)求异面直线与BC所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，即可得四点共面； （2）由平行关系将异面直线所成角转化为相交直线所成角，在平面内解三角形即可. 【详解】（1）连接. 在中，点E，F分别为棱，AB的中点， 则， 在正方体中，， ，且， 四边形是平行四边形， ，则， 故、、、四点共面.    （2）由（1）知，， 则即为所求异面直线与BC所成的角， 设正方体的棱长为， 在中，， 则， 所以. 故所求异面直线与BC所成角的余弦值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$一、 单选题 (40分) 二、 多选题 (18分) 三、 填空题 (15分) 四、 解答题 (77分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效第1页（共4页） 缺考填涂标记 2024-2025学年第一学期高二开学测试模拟卷 数学 注 意 事 项 姓名：　　　　　　　　　　    班级：　　　　　　　　　　 考号：　　　　　　　　　　    考场：　　　　　　　　　　 座位号：　　　　　　　　　 1、主观题必须使用0.5毫米黑色签字笔填写。 2、不得使用涂改液、修正带。 3、不得在打分框内书写、涂抹。 4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 准考证号 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 A B C D 11 A B C D 12.　　　　　　　　　 　13.　　　　　　　　 14.　　　　　　　　 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效第2页（共4页） 16.(15分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效第3页（共4页） 18.(17分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效第4页（共4页） 19.(17分)