专题02 二次根式 章末分层突破Ⅱ-运算及应用-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

专题02 二次根式 章末分层突破Ⅱ—运算及应用 一、单选题 1．下列运算中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．计算：（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．下列四个算式正确的是（　　） A． B． C．＝× D． 5．对于所有实数，下列等式从左到右一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 8．下列化简正确的个数（    ） ①；②；③；④ A．0 B．1 C．2 D．3 9．下列说法中，正确的是（  ） A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 10．已知a＞0，b＞0，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 二、填空题 11．计算： ． 12．计算的结果是 ． 13．计算： ． 14．比较大小： （填上“＞”或“＜”） 15．式子成立的条件是 ． 16．如果一个长方形的面积为，它的一边长是，那么这个长方形的周长是 ． 17．计算： ． 18．计算：= ． 19．计算： ． 20．不等式的解集是 ． 21．若的整数部分为a，小数部分为b，则的值为 ． 22．若实数、满足，，则 . 23．已知 ，，则 ． 24．已知 ， 且，则 ． 25．计算： ． 26．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 三、解答题 27．计算：． 28．计算： 29．计算： 30．化简： 31．化简： 32．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 33．计算下列各式： (1) (2) (3) 34．设的整数部分是，小数部分是，试求的值． 35．先化简，再求值： 已知，求的值． 36．化简求值：当时， (1)求的值； (2)求的值 37．如图，某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建两个形状、大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为 米，宽为 米． (1)求长方形的周长（结果化为最简二次根式）． (2)除去修建花坛的地方，其他位置全部修建为通道，通道上要铺上造价为26 元/平方米的地砖．要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少钱? 38．阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……． 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)令，，，…，，且，求T的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次根式 章末分层突破Ⅱ—运算及应用 一、单选题 1．下列运算中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的加减运算，二次根式的性质，进行计算即可． 【解析】A、，故该选项运算错误，不符合题意； B、 ，故该选项运算错误，不符合题意； C、 ，故该选项运算正确，符合题意； D、 ，故该选项运算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，次根式的性质，熟练掌握以上运算法则和性质是解题的关键． 2．下列各式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的相关运算法则进行计算作出判断即可． 【解析】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3．计算：（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简是解题的关键．先根据二次根式的性质化简括号内的式子，再进行减法运算，最后进行除法运算即可． 【解析】解：原式 ； 故选：C． 4．下列四个算式正确的是（　　） A． B． C．＝× D． 【答案】B 【分析】利用二次根式的各种运算的法则对各项进行运算即可． 【解析】解：A. ，故选项错误，不符合题意； B.，故选项正确，符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D.，故选项错误，不符合题意；． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5．对于所有实数，下列等式从左到右一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法法则，逐一判断即可解答． 【解析】解：当时，，当时，，故A不一定成立； 当都小于0时，，故B不一定成立； ，故C不成立； ，故D成立， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简，二次根式的乘法法则，熟知上述性质和计算法则是解题的关键． 6．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的混合运算，乘法公式，二次根式的混合运算即可求解． 【解析】解：， 把，代入得，， 故选：． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则，乘法公式，二次根式的运算法则是解题的关键． 7．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】先判断得到再代入代数式进行计算即可． 【解析】解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ， 故选：A 【点睛】本题考查的是不等式的性质，无理数的估算，二次根式的乘法运算，熟练的求解a，b的值是解本题的关键． 8．下列化简正确的个数（    ） ①；②；③；④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可求解． 【解析】①，故①错误， ②，故②正确， ③同号时，等号成立，a，b异号时，等式不成立，故③错误， ④，故④错误， 综上，正确的只有②， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 9．下列说法中，正确的是（  ） A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可． 【解析】A.，不是互为倒数，选项错误； B.若，由于，则，选项错误； C.若与是同类二次根式，则与3不一定相等，选项正确； D.由可得，结合可得，，则，选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记相关概念是解题是解题的关键． 10．已知a＞0，b＞0，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】∵, ∴ , ∴ , ∴ , , , ∴ , ∴ 故选B. 点睛：先把已知条件变形得到，移项合并得，再分解得到，则有a=4b，然后把a=4b代入原式进行计算即可． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式加法，熟练掌握二次根式加法法则是解题的关键． 合并同类二次根式即可． 【解析】解：原式． 故答案为：． 12．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行运算即可． 【解析】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，先根据二次根式的性质将式子中的根式化简，再进行计算是解答本题的关键． 13．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键； 直接利用二次根式运算法则进行计算即可． 【解析】解：原式 ， 故答案为：． 14．比较大小： （填上“＞”或“＜”） 【答案】＞ 【分析】利用它们的倒数来进行比较． 【解析】解：∵， 又∵， ∴． 故答案为：＞ 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是通过比较它们的倒数进行比较大小． 15．式子成立的条件是 ． 【答案】/ 【分析】利用二次根式商的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于0，分母的被开方数大于0，列出关于x的一元一次不等式组求解即可． 【解析】要使有意义，则 ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式商的性质，掌握二次根式商的性质是解题的关键． 16．如果一个长方形的面积为，它的一边长是，那么这个长方形的周长是 ． 【答案】 【分析】首先根据长方形的面积计算公式利用面积除以一边长得出另一边长，进一步利用长方形的周长计算公式求得周长即可． 【解析】解：由题意可得： 长方形的另一边长为：， ∴长方形的周长是， 故答案为：． 【点睛】此题考查二次根式的实际运用，掌握长方形的面积与周长计算方法以及二次根式的运算方法是解决问题的关键． 17．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的加减运算，熟练掌握分母有理化的方法是解答的关键．先分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则求解即可． 【解析】解： 故答案为：． 18．计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法和性质，先判断a，b的正负性，再运用二次根式的除法法则和性质运算即可． 【解析】解：依题意得：，， ∴， ∴原式， 故答案为：． 19．计算： ． 【答案】/ 【分析】先利用的积的乘法和平方差公式进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【解析】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键． 20．不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】根据移项，合并同类项，系数化为1即可． 【解析】 ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的解法以及二次根式的分母有理化，属于基础题． 21．若的整数部分为a，小数部分为b，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意估算出的取值范围是解答此题的关键．先估算出a、b的值，再代入代数式进行计算即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：2. 22．若实数、满足，，则 . 【答案】 【分析】先将两边平方，化简得出的值，再利用得出的值，再求的平方根即可得解． 【解析】解：， ， ， ， ，， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． 23．已知 ，，则 ． 【答案】 【分析】先利用平方差公式进行因式分解，再把a、b的值代入，利用二次根式的运算法则进行求值即可． 【解析】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值、二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式把整式进行因式分解是解题的关键． 24．已知 ， 且，则 ． 【答案】 【分析】先根据，且，判断出x、y的关系代入求出算式的值是多少即可． 【解析】∵， ∴， 又，， ∴，， ∴，即， 当时， 原式 ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 25．计算： ． 【答案】 【分析】利用，结合二次根式的性质进行化简即可得． 【解析】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 26．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，先求出，然后求出S，代入公式即可求S，再根据二次根式比较大小的方法，即可求解． 【解析】解：∵三角形的三边长为a、b、c，记，面积， ∴当三角形的三边长分别为5，6，7时，， ∴面积， ∵，， ∴， ∴， ∵S介于整数n和之间， ∴． 故答案为：14． 【点睛】本题考查二次根式的应用，估算二次根式的值，解题的关键是理解题意，求出，S；掌握二次根式比较大小的方法． 三、解答题 27．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则进行计算即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【解析】解：原式 ． 28．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，灵活运用二次根式的性质是解题的关键．先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，最后进行加减运算，即可解题． 【解析】解：原式          ． 29．计算： 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质和因式分解的方法得到，再把除法化为乘法，然后约分即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【解析】解：原式 ． 30．化简： 【答案】 【分析】题目主要考查二次根式的化简及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先将二次根式化简，然后计算加减法即可． 【解析】解： ． 31．化简： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的乘除混合运算．先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解． 【解析】解： ． 32．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【解析】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 33．计算下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)当，时，原式；当，时，原式 (3)当时，原式；当时，原式 【分析】（1）先将二次根式进行化简，然后去括号计算加减即可； （2）先将二次根式化简，然后分情况讨论即可； （3）先将二次根式化简，然后分情况讨论即可． 【解析】（1）解：原式 ； （2）原式 当，时，原式， 当，时，原式； （3）原式 当时，原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和计算，注意对字母取值范围的讨论． 34．设的整数部分是，小数部分是，试求的值． 【答案】10 【分析】化简，求出a、b的值，再代入求出即可． 【解析】解：，又， ， ，， ． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算的应用，解题的关键是求出a、b的值． 35．先化简，再求值： 已知，求的值． 【答案】，3 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．先化简得，再将代入即可得． 【解析】解：原式 = 当代入得： ． 36．化简求值：当时， (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1)；20 (2)； 【分析】（1）利用完全平方公式分解因式，再代入数据即可求解； （2）利用完全平方公式和提公因式分解因式，再代入数据即可求解． 【解析】（1）解：， ∵， ∴原式 ； （2）解：， ∵， ∴原式． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及二次根式分母有理化的能力． 37．如图，某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建两个形状、大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为 米，宽为 米． (1)求长方形的周长（结果化为最简二次根式）． (2)除去修建花坛的地方，其他位置全部修建为通道，通道上要铺上造价为26 元/平方米的地砖．要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少钱? 【答案】(1)长方形的周长为米 (2)要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【解析】（1）解：（米）， ∴长方形的周长为米． （2） （平方米）， 则（元）， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元． 38．阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……． 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)令，，，…，，且，求T的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查二次根式的运算中的规律探究，解题的关键是得到： （1）根据题意，抽象概括出面积记为的正方形边长即可； （2）根据已有等式，推导出的结果，利用平方差公式法因式分解计算求证即可； （3）利用（2）中点的结论，进行求解即可． 【解析】（1）解：∵将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，…… ∴面积记为的正方形边长为； 故答案为：； （2）猜想，证明如下： ∵， ∴ ； （3）∵， ∴ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$