2.1.1 直线的倾斜角与斜率（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

2.1.1 直线的倾斜角与斜率 分层作业 1、 题型研究 题组一　已知两点坐标求直线斜率与倾斜角 【例题1】求经过下列两点的直线的斜率、倾斜角： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 题组二　利用斜率相等求参数值 【例题2】（1）若经过，两点的直线的倾斜角为，则m等于（    ） A．2 B．1 C． D． （2）若，，三点在同一条直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 题组三　利用直线的方向向量求斜率、倾斜角 【例题3】若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 题组四　已知倾斜角的范围求斜率的范围 【例题4】已知某直线的倾斜角，则该直线的斜率的范围为 ． 题组五　已知斜率的范围求倾斜角的范围 【例题5】若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 ) A． B． C． D．或 题组六　直线与线段的相交关系求斜率范围 【例题6】设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 2、 基础达标 1．若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．已知直线过点和，则直线的倾斜角为 . 3．已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数 ． 4．若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是 ． 5．已知三点共线，则实数m的值为 ． 6．（多选）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）下列命题中，是假命题的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C．若斜率的取值范围是，则直线倾斜角 D．若直线的斜率为，则直线的倾斜角不一定为 8．已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知点，，，点Q是线段AB上的动点． (1)求直线PQ的斜率的范围； (2)求直线PQ的倾斜角的范围． 3、 能力提升 1．如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角是（    ） A．0 B． C． D． 3．直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 5．（多选）直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知．若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 4、 直击高考 1．（2023·安徽合肥·三模）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2006·北京·高考真题）若三点，，，（）共线，则的值等于 . 4．（2023·湖南衡阳·模拟预测）点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.1 直线的倾斜角与斜率 分层作业 1、 题型研究 题组一　已知两点坐标求直线斜率与倾斜角 【例题1】求经过下列两点的直线的斜率、倾斜角： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)斜率为，倾斜角为 (2)斜率为，倾斜角为 (3)斜率为，倾斜角为 (4)斜率不存在，倾斜角为 【分析】（1）（2）（3）（4）应用两点式求斜率，结合斜率和倾斜角的关系求倾斜角的大小. 【详解】（1）设直线倾斜角为，则直线斜率为，故. （2）设直线倾斜角为，则直线斜率为，故. （3）设直线倾斜角为，则直线斜率为，故. （4）由两点横坐标相等，则直线斜率不存在，倾斜角为. 题组二　利用斜率相等求参数值 【例题2】（1）若经过，两点的直线的倾斜角为，则m等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】根据直线的斜率公式，由题中条件列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为， 所以，解得. 故选：A. （2）若，，三点在同一条直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三点共线得，利用斜率的坐标公式建立方程求解即可. 【详解】因为A，B，C三点在同一条直线上，所以，所以， 解得. 故选：D 题组三　利用直线的方向向量求斜率、倾斜角 【例题3】若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角即可. 【详解】设直线的倾斜角为， 若向量是直线的一个方向向量， 则直线的斜率为， 因为，所以. 故选：A. 题组四　已知倾斜角的范围求斜率的范围 【例题4】已知某直线的倾斜角，则该直线的斜率的范围为 ． 【答案】 【分析】根据倾斜角和斜率关系确定斜率范围即可. 【详解】当，斜率， 当，斜率不存在， 当，斜率， 综上，，则. 故答案为： 题组五　已知斜率的范围求倾斜角的范围 【例题5】若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 ) A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】作出正切函数在的图象，根据斜率的范围结合图象确定出的范围. 【详解】作出正切函数在的图象如下图，    如图所示，当，即， 解得或， 即或， 故选：D. 题组六　直线与线段的相交关系求斜率范围 【例题6】设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，结合直线相交关系及斜率公式可求答案. 【详解】如图，直线的斜率为；直线的斜率为； 当直线与线段相交时，则的斜率的取值范围是或. 故选：B. 2、 基础达标 1．若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据直线的倾斜角与斜率之间的关系求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，则 因为，所以， 当时，即，则； 当时，即，则， 所以直线的倾斜角为或. 故选：B. 2．已知直线过点和，则直线的倾斜角为 . 【答案】// 【分析】根据两点可求直线的斜率，再根据斜率求倾斜角. 【详解】 直线的斜率为，所以倾斜角为 故答案为： 3．已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数 ． 【答案】 【分析】 根据直线斜率的定义和两点求斜率公式建立方程，解之即可. 【详解】由题意知， 该直线的斜率为， 解得. 故答案为：. 4．若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是 ． 【答案】 【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，然后可求直线的倾斜角. 【详解】因为直线l的方向向量为，所以直线的斜率为，即直线的倾斜角的大小是. 故答案为：. 5．已知三点共线，则实数m的值为 ． 【答案】0 【分析】根据A，B，C三点共线可得 ，然后利用两点间的斜率公式代入求解即可. 【详解】由三点共线可得， 即，解得. 故答案为：0. 6．（多选）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意设点B的坐标为或，根据斜率公式计算即可． 【详解】当点B在轴上时，设，由，可得，解得，， 当点B在轴上时，设，由，可得，解得， ， 所以点B坐标为或. 故选：BC. 7．（多选）下列命题中，是假命题的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C．若斜率的取值范围是，则直线倾斜角 D．若直线的斜率为，则直线的倾斜角不一定为 【答案】ABC 【分析】 根据倾斜角和斜率的定义，即可判断选项. 【详解】A. 若直线的倾斜角是锐角，则斜率大于零，若直线的倾斜角是钝角，则斜率小于零，所以该选项错误； B.若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误； C.若斜率的取值范围是，则直线倾斜角，所以该选项错误； D.若直线的斜率为，但是直线的倾斜角为不是，而是，所以该选项正确. 故选：ABC 8．已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数单调性得到斜率的取值范围. 【详解】函数在上单调递增， 又，， 故的取值范围是. 故选：C 9．已知点，，，点Q是线段AB上的动点． (1)求直线PQ的斜率的范围； (2)求直线PQ的倾斜角的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两点式求直线的斜率，数形结合判断直线PQ的斜率的范围即可； （2）由（1）所得斜率范围，结合倾斜角范围确定直线PQ的倾斜角的范围. 【详解】（1）如下图，，， 则直线PQ的斜率范围为. （2）令直线倾斜角为，而直线对应倾斜角分别为， 则直线PQ的倾斜角范围为. 3、 能力提升 1．如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的倾斜角的大小，即可判断斜率大小. 【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为钝角时，斜率为负， 所以. 故选：A 2．直线的倾斜角是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角的定义判断. 【详解】直线与轴垂直，所以倾斜角为. 故选：D. 3．直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据倾斜角的范围，正切的性质判断“”与“”的逻辑关系即可. 【详解】因为直线，的倾斜角分别为，， 所以， 若，则， 若，则都不存在， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 4．已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点连线的斜率公式知表示点和点连线的斜率，再数形结合，即可求出结果. 【详解】如图，因为表示点和点连线的斜率， 又，所以，， 由图知，的最小值为，    故选：C. 5．（多选）直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据斜率的取值范围求得倾斜角的取值范围，进而选择正确答案. 【详解】设的倾斜角分别为，直线的斜率， ，又， 直线的倾斜角的取值范围是. 故选：AD. 6．（多选）已知．若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】． 【分析】根据角度关系得，再根据两点斜率公式即可求出的坐标，则得到直线倾斜角. 【详解】设．．． 又， ，即． 又，垂直于轴． 直线的倾斜角为． 4、 直击高考 1．（2023·安徽合肥·三模）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由方向向量的坐标得出直线的斜率，再求倾斜角即可. 【详解】由题意可得：直线的斜率，即直线的倾斜角为. 故选：A 2．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系，由两角差的正切公式以及同角三角函数之间的基本关系计算可得结果. 【详解】设直线，的倾斜角分别为，则,; 因此； 所以. 故选：C 3．（2006·北京·高考真题）若三点，，，（）共线，则的值等于 . 【答案】/0.5 【分析】由三点共线，利用斜率的公式可得，进而可求目标式的值. 【详解】由题知，直线的斜率存在，由三点共线可知. 由得：，即，又， ∴. 故答案为： 4．（2023·湖南衡阳·模拟预测）点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】把转化为与点所成直线的斜率，作出函数在部分图象上的动点，结合斜率公式，即可求解. 【详解】由表示与点所成直线的斜率， 又由是在部分图象上的动点， 如图所示：可得，则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$