4.1 相交线-【指南针·课堂优化】2024-2025学年七年级上册数学（华东师大版）

第4章相安孩与年行孩 第4章 相交线与平行线 4.1 相交线 第1课时 对顶角 典例精析 知 识 理 考点①对顶角的识别 【例1】直线AB、CD、EF相交于点O,图 1.相交的定义 中共有几对顶角？如果有m条直线相交于O 如果两条直线只有一个公共点，就说这两 点，则有多少对对顶角？ 条直线相交.该公共点叫做这个两条直线的 交点 2.对顶角定义 若两个角具有相同的顶点，且一个角的两 边与另一个角的两边互为反向延长线，则称这 样的两个角为对顶角： 3.对顶角的性质 规律与方法：对顶角有公共的顶点，两个对顶角 对顶角 的两边互为反向延长线， 4.邻补角定义 【变式训练1】如图，直线AB、CD相交于 如果两个角有一条公共边，它们的另一边 O,射线OE平分∠AOC,图中的对顶角有 互为反向延长线，则称这样的两个角互为邻 对，分别是 补角. 5.邻补角性质 邻补角之和等于 注意：对顶角、邻补角不仅具有数量关系，还具 有位置关系；而互余、互补的两角只要满足相应的数 考点②对顶角的性质 量关系即可，与两角所在的位置无关 【例2】如图，直线AB、CD、EF相交于点 ·145· 格南针·课堂犹化·七年熊上册·数学(HS) O,∠AOF=3∠BOF,∠A(OC=90°，求∠EOC 的度数. 课后 演练 【基础过关】 1.如图，BE,CF是直线，BE,CF交于点O,OA, OD是射线，其中互为对顶角的是 () A.∠AOE与∠COD B.∠AOD与∠BOD 【例3】如图，已知AB、CD相交于点O C.∠BOF与∠COE D.∠AOF与∠BOC ∠EOB=90°，OF平分∠AOD,∠1=2630'，求 ∠2，∠3，∠4，∠5的度数 第1题困 第2题图 2.如图，直线AB,CD相交于点O,∠AO℃ 75°，∠1=25°，则∠2的度数为 () A.45 B.50° C.55 D.60° 3.如图，三条直线相交于点O,则∠1+∠2+∠3 的度数等于 () A.210 B.180° C.150° D.120° 规律与方法：对顶角相等的性质常和互余，互补， 邻补角、角平分线的定义等知识结合在一起综合 运用， 【变式训练2】如图，直线AB,CD,EF相 第3题图 第4题图 交于点O 4.如图，取两根木条a,b,将它们钉在一起并把 (1)写出∠COE的邻补角： 它们想象成两条直线，就得到一个相交线模 (2)分别写出∠COE和∠BOE的对顶角： 型，测量发现∠1=∠2，其数学原理是 (3)如果∠BOD=60°，∠BOF=90°，求 ∠AOF和∠FOC的度数. 5.如图，直线AB、EF、HG相交于点C,F,D、G在 同一直线上，∠ACE的对顶角是 ∠ADF的对顶角是 :∠ACF的对 顶角是 ∠CDG的对顶角是 ·146· 第4章相安孩与年行孩 6.如图，直线a,b,c两两相交，∠1=80°，∠2=9.如图所示，直线AB,CD,EF相交于点O,∠1 2∠3，则∠4= 度 与∠2互余，∠2与∠3互余，且∠DOF=39°， \2b 求∠1，∠2，∠3的度数. 3 第G题图 第7題图 7.如图，已知直线AB与CD交于点O,ON平分 ∠DOB,若∠BOC=110°，则∠AON的度数 为 度 8.如图，直线CD,AB相交于点O,∠BOD和 ∠AON互余，∠AON=∠COM. 【能力提升】 10.如图，直线1，l2,l3相交于O,则下面四个选 项正确的是 () (1)求∠MOB的度数； (2)若∠COM=号∠BOC,求∠BOD的度数。 30 (60 A.∠1=90°，∠2=30°，∠3=90°，∠4=60 B.∠1=∠3=90°，∠2=∠4=60° C.∠1=∠3=90°，∠2=∠4=30° D.∠1=∠3=90°，∠2=60°，∠4=30 11.观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）： ×米 ② (1)如图①，图中共有 对对顶角： (2)如图②，图中共有 对对顶角； (3)如图③，图中共有 对对顶角： (4)研究(1)~(3)小题中直线条数与对顶角 的对数之间的关系，若有n条直线相交于一 点，则可形成 对对顶角： (5)若有100条直线相交于一点，则可形成 对对顶角 ·147· 格南针·课堂犹化·七年熊上册·数学(HS) 12.如图所示，直线AB,CD交于点O,OE平分 2:3,求∠AOE的度数. ∠AOD,OF平分∠DOB. (1)若∠AOC=60°，求∠DOF与∠DOE的 度数，并计算∠EOF的度数： (2)当∠AOC的度数变化时，∠EOF的度数 是否变化？说明理由. 第2课时垂线 知 识榄 理 L.垂直的概念 在两条直线相交所构成的四个角中，有一 个角是 时，就说这两条直线互相垂直. 其中一条直线是另外一条直线的 ,它 们的交点叫做 2.垂线的基本事实 过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直. 3.垂线段 核 心素 直线外一点与直线上各点连接的所有线段 中， 13.如图，直线AB,CD相交于点O,OE把 4.点到直线的距离 ∠BOD分成两部分： 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度 (1)直接写出图中∠AOC的对顶角为 叫做点到直线的距离。 ,∠BOE的邻补角为 5.垂线的画法 (2)若∠AOC=70°，且∠BOE:∠EOD= 口诀：一对、二靠、三移、四画、五标 ·148· 第4章相安孩与年行孩 两学校影响越来越大？在哪一段对两学校影响 典例精析 越来越小？在哪一段上对M学校影响逐渐减小 考 点① 而对N学校影响逐渐增大？ 垂线（段）的有关概念及垂线的画法 【例1】如图，直线AB,CD相交于点O,P 是CD上一点. (1)过点P画AB的垂线段PE: (2)过点P画CD的垂线，与AB相交于 F点； (3)说明线段PE,PO,FO三者的大小关 系，其依据是什么？ 【变式训练1】(1)下列过P点作线段AB 的垂线正确的是 () B (2)点P位于直线l外一点，点A、B、C在 直线l上，若PA=4cm,PB=5cm,PC=6cm.则 点P到线！的距离是 () 【例2】如图，一辆汽车在直线形公路AB A.4cm B.小于4cm 上由A向B行驶，M、N是分别位于公路AB两 C.不大于4cm D.5cm 侧的两所学校。 【变式训练2】如图，小刚准备在C处牵牛 (1)汽车在公路上行驶时，会对两所学校教 到河边AB处给牛饮水， 学都造成影响，当汽车行驶到何处时，分别对两 (1)请用三角板在图1中作出小刚行走的最 所学校影响最大？请在图上标出来 短路线（不考虑其他因素），并说明理由： 。M (2)如图2，若小刚在C处牵牛到河边AB 处给牛饮水，并且必须先到河边D处观察河的 水质情况，请作出小刚行走的最短路线，并说明 (2)当汽车从A向B行驶时，在哪一段上对理由. ·149· 捣南针·课堂花化·七年纸上册·数学(HS) 考点③列方程进行角的相关计算 【例4】如图，OA⊥OC于O,OB⊥OD于 O,且∠AOD-3∠BOC,求∠BOC的度数， 图1 图2 规律与方法：在有关角的计算问题中，根据条件 给出的角与角的关系，利用方程的思想方法进行 考点②利用垂直的定义计算 角的相关的计算，简洁明快。 【例3】如图，直线AB与CD相交于点O, 课 OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF=65°，求∠BOE和 后 演 练 ∠AOC的度数. 【基础过关】 1.下列选项中，过点P画AB的垂线CD,三角 板放法正确的是 () 2.如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站， 规律与方法：若两条直线垂直，那么它们所得的 为了使李庄人乘车方便，请你在铁路线上选 四个角中每个角都是90°.在计算角的度数时，根 一点来建火车站，应建在 () 据需要选用一个即可，两条直线互相垂直可得直 A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 角，由直角可产生互余的角.两直线互相垂直常 和互余、对顶角的性质结合起来考虑， 【变式训练3】如图，已知直线AB、CD相 交于点O,OE⊥AB,∠EOC=28°，则∠AOD 李庄 度 第2题图 第3题图 3.(陕西中考)如图，AC⊥BC,直线EF经过点 C,若∠1=35°，则∠2的大小为 () A.65° B.55° C.45 D.35° ·150· 第4章相安孩与年行孩 4.如图，已知OA⊥OB,OC⊥(OD,∠AOC=27°， 【能力提升】 则∠BOD的度数是 () A.117° B.127° C.153° D.163 9.如图，∠PQR=138°，SQ⊥QR,QT⊥PQ,则 ∠SQT等于 () A.42 B.64° C.48 D.24 第4题图 第5题图 5.如图，AC⊥BC,AC=3,BC=4,AB=5,则点 2 第9题图 第10题图 B到AC的距离是 ,点A到BC的距离 10.如图，直线AB、CD相交于O,OE平分 是，A、B两点间的距离是.过C作 ∠AOD,FO⊥OD于O,∠1=40°，则∠2 CD⊥AB于点D,则CD ,∠3= 11.点P与∠A的位置关系如图所示. 6.(河南中考)如图，直线AB,CD相交于点O, EO⊥AB于点O,∠EOD=50°，则∠BOC的 度数为 ② (1)在图①、图②、图③中，以P为顶点作出 ∠P(0°<∠P<90),使∠P的两边所在的 直线分别和∠A的两边垂直： 第6题图 第7题图 (2)量一量∠P和∠A的度数，分别写出∠P 7.如图，AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,则线 与∠A的数量关系： 段CD、AC、AB按从大到小的顺序排列为 在图①中，∠P= ,依据是 在图②中，∠P= 8.如图，直线AD、BE、CF相交于点O,OG⊥ 在图③中，∠P AD,且∠BOC=35°，∠FOG=30°.求∠DOE (3)请你说明图②所得的结论是正确的. 的度数. ·151· 格南针·课堂花化·七年纸上册·数学(HS) 核 素 养 第3课时 同位角、内错角、同旁内角 12.如图，直线EF,CD相交于点O,OA⊥OB,且 知 识榄理 OC平分∠AOF, 同位角、内错角、同旁内角的识别特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 在两条被戴直 形如字母“F”(或倒 同位角 线的同旁，在 2 置，反置) (1)若∠AOE=40°，求∠BOD的度数： 或线的同侧 在两条被戴直 (2)若∠AOE=a,求∠BOD的度数；（用含a 形如宇母“Z”(或反 内错角 线之间，在截 To 的代数式表示) <14 置) 线两侧（交错） (3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE和 在两条被戴直 ∠BOD有何关系？ 同旁内角 线之间，在哉 形如字母“儿U” 线的同侧 656 典 例 精析 考 点① 识别同位角、内错角、同旁内角 【例1】 如图所示，直线AD、BC、EF相交 于点O: 14 7 (1)直线AB和CD被EF所截，∠5与∠6 是 ,∠7与∠8是 ,∠5和 ∠8是 ,∠6和∠7是 ； (2)直线BC截直线AB与CD,则∠3和 ∠4是 (3)直线AB截直线EF和BC,则∠3和 ∠6是 ,∠3与∠8是 (4)直线EF截直线AD与CD,则∠7与 ∠9是 ,∠7与∠10是 ·152· 第4章相安孩与年行孩 规律与方法：沿着角的边把图形补全，或把多余 【变式训练2】如图，∠1和∠3是直线 的线暂时除去，找到三线角的图形进而判定这两 和 被直线 所截而成的内 个角的位置关系，“F型”为同位角，“Z型”为内错 错角：图中与∠2是同旁内角的角有 个 角，“U型”为同旁内角。 【变式训练1】(1)如图所示，∠1和∠2是 同位角的图形是 盘是女 【变式训练3】两条直线被第三条直线所 截，∠1和∠2是同旁内角，∠3和∠2是内错角. (2)如图，下列判断：①∠A与∠1是同位 (1)根据上述条件，画出符合题意的示 角：②∠A与∠B是同旁内角：③∠4与∠1是内 意图； 错角：④∠1与∠3是同位角，其中正确的是 (2)若∠1=3∠2，∠2=3∠3，求∠1，∠2的 度数 考点②识别同位角、内错角、同旁内角及其“三 线” 【例2】如图所示： (1)∠BAO与∠AOC是由直线 课后演练 被 所截的 角： (2)∠AOB与∠BCD是由直线 【基础过关】 被 所截的 角； (3)∠B与∠BCE是由直线 1.(贺州中考)如图，下列两个角是同旁内角的 被 所截的 角： 是 () (4)∠DAE与∠AOC是由直线 被 所截的 角. 规律与方法：利用同位角、内错角、同旁内角的定 义识图.首先从裁线入手，截线是三线角的公共 A.∠1与∠2 B.∠1与∠3 边，而另外两边是被截直线。 C.∠1与∠4 D.∠2与∠4 ·153· 格南针·课堂犹化·七年熊上册·数学(HS) 2.(青海中考)数学课上老师用双手形象的表示 (3)∠C和∠ABC是两直线 被直 了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表 线 所截而成的 角 被截直线，食指代表截线).从左至右依次表 7.如图，把各图形的序号填人空格中： 示 年含写 及盘以用列 2 B C D A.同旁内角、同位角、内错角 (1)∠1与∠2是同位角： B.同位角、内错角、对顶角 (2)∠1与∠2是内错角： C.对顶角、同位角、同旁内角 (3)∠1与∠2是同旁内角 D.同位角、内错角、同旁内角 8.如图，已标出的8个角中，同位角，内错角，同 3.如图所示，直线a、b被直线c所截，∠1=40°， 旁内角各有几对？ ∠2=105°，则∠1的同位角、∠4的内错角、 ∠3的内旁内角的度数分别是 () A.75°，40°，75 B.40°，75°，75 C.105°，40°，75 D.以上都不对 第3题图 第4题图 4.如图，已知直线11、L2、l3两两相交，在所标记的 角中，下列判断错误的是 () A.∠1与∠3是对顶角 B.∠6的同位角有∠2 C.∠9的内错角有∠5，∠2 D.∠5的同旁内角有∠8 5.如图，∠1的内错角是 ,同位角是 ,同旁内角是 第5题图 第6题图 6.如图： (1)∠1和∠2是两直线 被直线 所截而成的 角： (2)∠A和∠3是两直线 被直线 所截而成的 角： ·154·青南竹·说堂倪化·七年视上普·段字(H5)参考答案 【变式训炼】1)略2)平行.平行于同一直线 (3)可房内角两直线平行：可秀内角互补 第4章相交线与平行线 2.》∠仪0=20Q)∠D= 的再直线五相平行，(3)成立 典例结析 【a》从1的结果中能君出∠茶=2∠度D课后演达 【变式炼】C 第3跟时同位角，内错角，同旁内角 1B2.C3已4.C5.m直 【度式训等2】山两直线平行，内情角相等∠4 4.1相交线 最不平行经过直线外点有且其有一条直线与已 (2)用直线平行，同旁内角互补∠B 典例精桥 加直线平行 【变式国练3】AD内错角相等，两直线平行 第1课时对萌的 【要式键练1】(1)A(2)① 7.A'B'.CD'.CD BB'.C.DD D下F再直线平行，同位角相等等量代接 【变式领练2】A8 AC DE3 知识龄里 发平行下同一直线的两直线平行 【变式训练4】B 【变式W练3】(1路《2)∠1一62，∠2- 皇作肌略 课后演抹 3相等5180 混后演练 1n.ED则D,A.E三点在同一直线1.B2.C3C4.D 先制精桥 【变式训体1】皇∠AOD与∠仪X 1B1D3,A4D5∠3∠5∠2 上，由平行线的基本事实可得 5,(1)CDA出丙直线平行，内辑角相等 .DAD.BCD内蜡 11,C ()ADC周直线平行，可位角朝等 ∠C与∠mD (2)AD、CAE同位 12.1)a∥b(2ub8@,b相交 6,251 【变式训练】1)∠E的邻补角为∠仪州 3CD,AC同旁内 《4)重合《5年，6相交a作 %.明略 和∠E 7.(D)A.D (2F (3C.E 13略 9.10010.150 (2)∠E程∠E的利商角分则为∠D 8.同位角有两对：∠5和∠8，∠1和∠3 结心素养 L,任明略 和∠AP. 内错角有国对：∠2和∠5，∠1释∠了.∠4和14略 核心素养 1》∠AFm90,∠PX=1B0. ∠7、∠3和∠6 12,略 课后演练 门旁内角有七对：∠1和∠8，∠2和∠T,∠2 第2跟时 平行找的判定 1.心2.B3,日4，对1度角相等 和∠3，∠3雅∠？，∠4和∠5，∠1和∠6，：知识随理 专题训练五平行线中作辅助线的方法 5.∠卡∠G∠XE∠D ∠G相∠8， (同位角 21内情角8)可旁内角(1)平行 1,C2.B35”4.50元10 6.1407.145 .(1)∠1与∠2是内墙角，∠1与∠8是门旁内 (G)重直 6.∠n+∠月-∠7-18g下.∠2-155 除1U∠邓=9学2)∠仪D一7. 角，∠1与∠4是同位角： 卖例精朝 8.略 线.∠1-3r,∠2-51，∠3-3g (2》∠1与∠5不是内错角 【[壶式耳练1】D 10.D (3》∠1与3互补 【变式国练1】1)ABE 月分内角互帮，两直 第4章章末测试 11,(1)22)6f3112(4)u-1)5190间 10.A11.42岁0 线平行 一，选择蹈 12,(1)∠1XN=an.∠是=60°，∠f=0 12(1图中4对对原角： (2)A自CE内储角相等，胸直线整行 I C 2,C 3D 4 C 5H 6B 7A 8.R (2)∠F的度数不发生燮化，理由略 2)图中12对部释角 ()AE内桥角相等，两直线平行 二，填空题 核衣素养 (3图中有8时同位角： (4》DE通位角相等，两直线早行 9.承线段最坷10.10 B.(1D∠D∠E2∠A0E-15 (图中有4对同旁内角： 【变式国连3】C∥DE.A出以CD.理由略 1l.6”12.121 第2课时垂线 5》图中内墙角有：∠M和∠A.∠(3课后谓结 3.AECF问位角图等，再直误平行周直线平 和∠B,∠CG和∠MH,∠N和1C2B3B4,C5,∥ 行，内皆角相等∠3∠4∠3∠4内错 知识硬理 ∠GB,∠NG和∠GH 9090 AB EFEF CD AB CD 角相等，两直线平行 上.直角质线乐足支垂线段最题 披心素养 T.③养F与D平行.理由事 14.30 陕例精桥 1线导 A山∥EF,理h略10.A 三，解答题 【变式炼1】(1)C(:0 4.2平行线 1L.45线135 15.(山略《2)暗(3O川44)线段C的长度 【变式训峰】略 12.1)∠1与∠8亚余（∠1+∠2=0 (5XOCPO>PR 【娈式练3】 8 (2)∠1一∠2.(81∠1一∠2.开h略 I6∠以4=017，证明图 课后演炼 第1课时平行线 级心素养 18.∠D-2.6 LC2A3B4e5488号 如识梳理 13.证明略 9.(I)∠BAE+∠AEP+∠EPC+∠D 1.4)不相交(2平行 =540 金107.A用AC(D看线段最知 典倒精析 第3深时平行线的性质 (2)720,900.80(n+1). 浅∠1D=29,A10605 【变式辑练】C 知识镇理 1山，(1路H8-∠A∠A∠A3)正明路 【变式诵练2】略 1.1)同位角两直设平行，闻位角相等 核心煮养 【变式练3】平行 2)内情角 内直宜线平行，内情角相等 217 218