3.6 角-【指南针·课堂优化】2024-2025学年七年级上册数学（华东师大版）

第3章 感形的初步认识# 3.6 角 5.度量角的工具是 ,角的单位 第1课时 角 是 6.角的换算 知识梳理 (1)1周角= *,1平角三 *,1 。,1- 直角 ',1'- 1.角的定义 (2)1周角 =__平角=直角 (1)由两条有公共端点的 组成的 叫做角的顶点,___ -360”. 图形叫做角: 叫做角的边; 7.方位角 一般以 (2)角也可以看成是一条射线绕着它的端 为基准. 点 所形成的图形,射线的端点叫做角 典例精析 的顶点,起始位置的射线叫做角的始边,终止位 置的射线叫做角的终边 考 点①角的定义及表示方法 2.角的表示方法(共有四种) 【例1】如图: (1)以B为顶点的角有几个?把它们表示出来 (2)指出以射线BA为边的角 (3)以D为顶点,DC为边的角有几个?分 别表示出来 (1)用 表示,如图 /BCA,BAC,表示角的项点的字母写在中间 (2)用 表示单独一个角 如图1和乙2; (3)用 表示一个单独(在 规律与方法:我们研究的角是小于平角的角,角 一个顶点处只有一个角)的角,如图A,B; 可用数字或希腊字母表示,但密在靠近顶点处加 (4)用 表示单独的一个 驱线,所有的角都可以用三个大写字母表示,但 角,如图、乙B、>等 表示顶点的字母写在中间,顶点处只有一个角, 3.平角 也可以用表示顶点的大写字母表示. 射线绕着它的端点旋转到角的终边和始边 【变式训练1】 (1)下列说法中正确的是 在 时所成的角 4.周角 ①如果用放大镜看一个角,那么这个角的 射线绕着它的端点旋转到角的终边和始边 度数就变大了; 时所成的角。 ②角的大小与角的边的长短无关; ·127. 指而针·课堂优化·七年级上·数学(HS) ③两条线段组成的图形叫做角; 【变式训练2】 如图,以E,D为顶点且小 ④角的两边是两条射线 于180{的角有几个?分别把它们表示出来 D.③④ B.②④ C.②③ A.①② (2)下列图中的1也可以用0表示的是 ) #) D 考 点③度、分、秒的换算 C ,边是 (3)如图,角的顶点是。 【例3】换算: 用三种不同的方法表示该角为 (1)用度、分、秒表示47.53* (2)用度表示54*4'12” ### 第(3)题图 第(4)题图 (4)如图,1可以表示成 或 ,2可以表示成 或 考 点②角的计数 【例2】从一个点引出两条射线可以组成 一个角,那么引出三条射线可以组成几个角?4 条呢?”条呢?(我们这里的角指的是小于平角 的角,任意两条射线都不在同一直线上) 规律与方法:将度化成度、分、秒,只要把度的小 数乘以60',若有小数的,把小数再乘以60”;将 度、分、秒化成度,先把秒化成分,再将分化成度. 【变式训练3】 (1)若a-5.12,则g用 ( 度、分、秒表示为 ) A.5*12’ B.5~7'12" C.5~7/2” D.5*10'2” 规律与方法:在数角的个数时,类比数线段的条 (2)填空: 数的方法。 51^{48= 度; ·128· 第3幸 &形的初步认识## 41.73{- 度 分_ 秒; 0. 25*- 考 点4度、分、秒的运算 _ .2 【例4】计算: (1)14'28'+42{42' (2)180*-21°13'24” 规律与方法:度、分、秒的加减运算要求度与度相 【变式训练5】 如图,学校A在蕾蕾家B 加、分与分相加、秒与秒相加,然后再进位 南偏西25{}的方向上,点C表示超市所在的位 置,ABC=90{*,则超市C 有_ 【变式训练4】 计算: 在蕾蕾家的 (1)71*42'+34^45'17”; () A. 北偏东55的方向上 B. 南偏东55的方向上 C. 北偏东65的方向上 D. 南偏东65{的方向上 课演练 (2)7518'-18*29'17” 【基础过关】 1.如图,下列表示1的方法中,正确的是( _~ A./C B.D C.ADB D. BAC 2.已知a、3是两个钝角,计算(a十③)的值.甲、 考 点方位角 乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案 【例5】如图,A地和B地都是海上观测 分别为24^{},48^{},76^{},86^{},其中只有一个是正 站,从A地发现它的北偏东60{}方向有一艘船 确的,则正确的答案是 ) 同时,从B地发现这艘船在它的北偏东30*}方 A.86* B.76* 向,试在图中确定这艘船的位置 C.48* D.24* ·129. 指南针·课堂优化·七年级上册·数学(HS) 3.如图,在四个图形中,能用乙1,AOB,0 8.射线BA与射线BC是一个角的边,这个角记 为 三种方法表示同一个角的是 ,顶点是 9.小明在画周角时,发现作出角的两边互相重 合,于是他说,周角就是一条射线,他的说法 对吗? 4.如图,下列说法正确的是 ) /C A. 1与OAB表示同一个角 B. AOC也可以用/O表示 C. 图中共有三个角:乙AOB,乙AOC和BOC D.3表示的是/COA 【能力提升】 平角一 直角一 10.如图,以A.B.C,D为顶点的角共有 ) 度。 (2)120*- 直角= 平角一 A.8个 C.12个 周角. B.10个 D.16个 6.如图,A,O,B三点在一条直线上,写出图中小 11.如图, 于平角的角: (1)图中能用一个大写字母表示的角是 7.观察图形填空: (2)以点A为顶点的角有 个,是 (3)分别以点D,E为顶点,且小于平角的角 有 (1)图中能用一个大写字母表示的角是 12.一张桌子有四个角,一刀截去一个角,还有 多少个角? (2)以B为顶点的小于平角的角有 个, 是 (3)以D为顶点的小于平角的角是 · 130· 第3幸 &形的初步认识 13.如图,射线OA的方向是北偏东15{*},射线 核 心素养 OB的方向是北偏西40{},AOB=AOC. 射线OD是OB的反向延长线 14.观察图,回答下列问题 (1)射线OC的方向是 (1)在图①中有几个角? (2)求/COD的度数; (2)在图②中有几个角? (3)若射线OE平分COD,求AOE的 (3)在图③中有几个角 度数. (4)以此类推,如图④所示,若一个角内有 条射线,此时共有多少个角? _.....东 ...程 · 131. 指而针·课堂优化·七年级上册·数学(HS) 15.如图,观察时钟,解答下列问题 第2课时 角的比较和运算 (1)在2时和3时之间什么时刻,时针和分针 的夹角为直角? 知识梳理 (2)小明下午五点多有事外出时,看到墙上 钟面的时针和分针的夹角为90{},下午不到 1.两个角的大小比较方法 六点回家时,发现时针与分针的夹角又为 (1) 90^{},那么小明外出了多长时间 (2) 2.作一个角等于已知角 (1)可以用量角器量出已知角的度数,然后 画出等于这个度数的角来 (2)可以用尺规作图 3.角的和差 如图,这里有三个角:AOC,AOB, COB.它们之间有如下关系: (1)乙AOB- (2)AOC- (3)_COB- 4.角平分线 (1)从角顶点引出一条射线,把这个角分成 两个相等的角,这条射线就叫做这个角的平 分线; (2)如图,若射线OC把/AOB分成两个相 等的角,则: 2 ·132. 第3幸 &形的初步认识# 考 点②会计算角的和差 典例精析 【例2】计算下列各题: 考 点①角的和差 (1)153^19'42"+26'40'28”; 【例1】已知 AOB=100{} BOC=60{*$$ (2)903"-57*21'44”; 求AOC的度数 (3)33*15'16"×5 (4)182*36'-4. 规律与方法:位置关系是几何类题目中重要的研 考 点③角平分线的定义 究对象,利用图形分析每个角之间的关系,根据 【例3】如图,{AOB=90{,BOC=30*$$$$ 图形把一个角分成几个角的和或把几个角的和 OM平分AOC,ON平分BOC,求MON的 用一个角来表示, 度数. 【变式训练1】 (1)如图:若AOB /COD.那么 - A.1>2 B.1<2 C.1-2 D. 1,2大小不确定 (2)如图所示,/AOD=AOB十 -/AOE- - COD+ ·133· 指而针·课堂优化·七年级上·数学(HS) 【变式训练2】 在同一平面内,下列式子不 课后演练 能表示OC是AOB的平分线的是 A. AOC-/BOC-1 -AOB 【基础过关】 B. AOB=2/AOC 1.用一副三角尺不能全部画出的一组角的度数 C. AOB-2 BOC 是 ( _~ D. AOC+BOC=AOB A.15*,30{,45* B.45*,60*,75。 【变式训练3】如图,OP平分DOE C.90{,105{.120{ D.100{,135{*,150{ 2. 如图,OB是AOC的角平分线,OD是 COE的角平分线,如果AOB三40*; (1)若 POD-25^{*,则 POE COE=60{,则 BOD的度数为 DOE- A.50* B.60{ C.65。 D.70* (2)若 DOE-56{*,则 POD= <POE- # 【变式训练4】 如图,OE是COA的平分 线,AOE=40*,AOB=COD=18{*$$ 第2题图 (1)求BOC的度数; 第3题图 (2)比较 AOC和BOD的大小,并说明 3.如图所示,已知O是直线AB上一点,1= 理由: 40*}.QD平分/BOC,则/2的度数是。 A.20* B.25* C.30* D.70* 4.如图,AOB=120{},COD在 AOB的内 部,且COD=60{,则下列结论中一定正确的 ☆ A. AOC= BOD B. AOD-BOC C. COD-2BOD D. AOD+BOC-180 $.(1)已知 AOB=70*,BOC=10^30',那么 AOC的度数为 (2)已知 AOB=60{},过O的射线OC使 AOC :乙AOB-3:2,则 BOC- . 6.如图,点O为直线AB上一点,若OM平分 AOC,ON平分BOC,则MON= 度。 #_## .134· 第3章 形的和步认识# 7.计算下列各题; 10.如图,在之AOB的内部有3条射线OC,OD. (1)131*28'-3215” OE. 若AOC=50。 (2)58'38'27"+47*42'40” <BOE (3)25*38'45"×3; (4)1091524"-4. DOE- (用含”的代数式表示). 11.如图,已知 AOB=75*,OC是 AOB内部 的一条射线,过点O作射线OD,使得COD -乙AOB. (1)若乙AOD-120*,则乙BOC-_; (2)若 AOD=5 BOC,则 BOD= (3)当COD绕着点O旋转时,AOD+ 8.如图,BD平分 ABC,且ABE:EBC=2:5. BOC是否变化?若不变,求出其大小;若 DBE-24^{*},求 ABC的度数 变化,说明理由 【能力提升】 9.如图,AOB=40{,过点O作射线OC,OD 使 AOC=BOD=60*,则 COD ·135· 指而针·课堂优化·七年级上册·数学(HS) 核心素养 第3课时 余角和补角 12.如图,OC是AOB内的一条射线,OM平分 知识梳理 AOB,ON平分BOC (1)如果 AOC=90{,BOC=30*},求 1.互余、互补 MON的度数; (1)互余:如果两个角的和等于 .就 (2)如果 AOC=90{*, BOC=$(B<90{*}),$$$$ 说这两个角互为余角,简称互余,其中一个角叫 求MON的度数; (3)如果 AOC=,BOC=20{*,求 MON 做另外一个角的余角; (2)互补:如果两个角的和等于 的度数; ,就 (4)从上面三个小题的结果中,你能发现什 说这两个角互为补角,简称互补,其中一个角叫 么规律? 做另外一个角的补角。 2.余角、补角的性质 ()若 1+2=90,1+3=90.则 ,即同角的余角 (2)若 1+2=90{},3+4=90{,且1 -乙3,则 ,即等角的余角 ; (3)同角或等角的补角 3.邻补角 若两个角有公共顶点和一条公共边,且和 为180{},则这两个角互为邻补角 典例精析 考 点①余角、补角的定义 【例1】如图,A,O,B三点在同一条直线 上, AOD= BOD= EOC=90*$BOC:$ 乙AOE-3:1. (1)图中有哪几对角互为余角? (2)图中有哪几对角互为补角? ## .136·垂南什·暴堂优化·七年级上骨·最平(H5)家考答聚 2.(1)EF=6n 12.3或4个发5个 典例结析 35最基本的图形一点和线 (2)议程E下的长度不发生变化理由路 13.1)北篇东7(2)∠D=70 【查式调年】C 3)∠，=0 【变式圳练2】(177内6分16716行〔2115 第1课时点和线 aw-m4器-经 坡心素秀 3130 典例精析 5.(1)4m(2》4m 14.1D128a64u十1x+3 【变式训练3】(19时〔245 【变式训炼1】(1)B(2)两点之问，线段量烟 6,(1)20en(26m 【查式训年】C【爱式语练】略 【蛮式圳练2】国略 7,aM=受2e=8 1技山准之时曾分林，时针和分针的类角为直角 课后演练 【变式谓练】50 l,2,B3A4 课后商炼 ()是，理由略E=? 2个哪外出了警分诈 5,肖∠AD和∠B∠做T)问角的余角相等 1.D2D3.B4.B5666.6 3.6角 7.图略礼如9在2题 第2课时角的比较和运算 6.(1D∠M(2∠3∠4 (3)∠1来(4)∠ME 核心素养 第1课时帝 知识梳埋 7.13567.587590150 10.(1)161+1+2十3+4+3 1.(1度量法2)叠合法 9.∠WD10810D1L.157,5 ()L+w+1) 知明梳理 2 L.(1)线公我演这博条财线2靛转 支1U∠MC ∠LT期2)∠AB ∠ 12.(1)∠B=120,其补角为6的了 3)∠AM∠M (2)∠DC-33,∠A40E-25 第2课时线段的长短北校 2.(小)三个大写英文字母2)数学 (3)一个大写字母(》小写希替字号 4①∠A·∠出 ∠AB ∠E与∠B互林，理由酵 知识确理 3.一条直线4重合5.量角器提 四∠AOB ∠AC∠ 依心素养 2①AB22AC21 肉例精析 6.()3018000i0234 13,1》∠C=60°《2)/+/D=I80 肉例精析 【变式到炼1】《1C 7,正北正南 1)成克.∠OC+∠D=19 【变式训体】心 典例精析 (2)∠BD∠D ∠MC [座式塔2】1)4 BC CD AC 【变式铺练1】(1B(?)A 【座式炼2】D 专题训练四角的计算 (2)AB BD AB CD 【资式引线3】1D2502)225 3)0,(∠M4,∠（人∠1 (32m(4125 【座式1搞+】1)∠℃=2 44)∠1∠C0∠B∠4 1.(5 【蜜式圳练3】(1)C()1或3 (2),∠A=∠误点理山略 【变式训等2】&个 【变式谓体4】E=4,C里=6 课后流婚 (3)∠以好=豆9，理由略 ∠BED,∠FED.∠(OEB,∠(F,∠CTDN. 课后清塔 1D2,1D304 ∠ADN,∠ADE,∠TE LC 2B 3.D 5.1)500或5u30'(2)30域150 2∠a求=#理由略 【变式W等3】1H 410k(2)BAB3)1.44》8 690 4215L.8414a4815000 3,这个角为4 多.6cm图略7.P-一2 元.111303545(2110621'7 【蛮式练4】(1》10717”()5483 4,(1)76(2)∠kN=7”43)∠1CN=75 深弘集，1m (31785415”【4》271851 【变式W练5】D 1n.(1)DE=a+20 第3章章束测试 课后演峰 &∠AK=112线0或160减r1m四 (2)a=6 (3)共有10条线段，其中D=DE,C=D I.C 2,C 3.B 4C 11.(1)30°20 一，进择题 AB-BD. 5(n方章302片导吉 8)生∠0德看点口旋转时，∠40十 1,日2，C3,A4D5,D6B7,%D 极我有7种不同的题价， ∠摄=0，其值不变 二，填空题 6,∠M∠ME,∠(E,∠(a班，∠期 核心素腾 线.两点端定一条直就 级心素养 7)∠A.∠C 1L.(1D是2)4或8或8 12.1)∠AN=5(2)∠NN=45 10.(15423131442313”(312.5 (26∠AC.∠AHD.∠ABE∠FBD ∠AN=克W∠AN=日∠AC 山13年12613130北棉西50矿 (当1-号，号时：P为A,Q巧点：当=， ∠EC,∠DE 1知-1) (3)∠BDC。∠E 2 严时Q为A,P巧点 8.∠A点 第3课时余角和补角 三，解苦题 从.饱的说法不对，周角的两边是两条重合的财现 知识梳理 15.图略16.-，5em 专题训练三线段的计算 1.90°1 7.∠(B的补角为10'.∠AN的余角为825 1望(2a)MN-婴m 1L.10∠A,∠C(21∠4C 11)∠一∠3相等(2)∠空一∠1相等 18.(1①∠uhM=0°②∠(M=w+35 3》∠ADH,∠CDM,∠AB,∠EH (3)相等 (2)旋转时何为10修 21s 216